高中数学解题四大思想方法

1、 思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。例1 （10安徽）设则的大小关系是（ ）例2 已知函数（1） 讨论函数的单调性；（2） 证明：若则对任意方法2 选择主从变量，揭示函数关系含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。例3 对于满足的实数，使恒成立的的取值范围是 .方法3 变函数为方程，求解函

2、数性质实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。例4 函数的值域是（ ）思想方法二、数形结合思想方法1 函数与不等式问题中的数形结合研究函数的性质能够借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法。所以，解决不等式问题要常联系对应的函数图像，利用函数图像，直观地得

3、到不等式的解集，避免复杂的运算。例1 （10新课标全国卷）已知函数若互不相等，且则的取值范围是（ ）变式：函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .方法2 解析几何中的数形结合解析几何是用方程研究曲线的问题，蕴含着丰富的数形结合思想，往往要先把题目中的几何语言转化为几何图形，然后再结合这种图形（一般为曲线）的几何特征，用代数语言即方程表现出来，从而用代数的方法解决几何问题。例2 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）例3 已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标为，则的最小值是 .方法3 参数范围问题中的数形结合如

4、果参数具有明显的几何意义，那么能够考虑应用数形结合思想解决问题。一般地，常见的对应关系有：（1）中的表示直线的 ，表示直线在 轴上的 ；（2）表示连接和两点直线的 ；（3）表示两点和之间的 ；（4）导数表示曲线在点处的 。利用这些对应关系，由数想形，能够巧妙的利用几何法解决。例4 若直线与圆交于两点，且（其中为原点），则的值为（ ）变式：直线与圆交于两点，若，则的取值范围值是（ ）思想方法三、分类讨论思想方法1 概念分类型有很多核心的数学概念是分类的，比如：直线的斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念相关的问题往往需要根据数学概念实行分类，从而全面完整得解决问题。例1 若函数有两个零点，

5、则实数的取值范围是 方法2 运算需要型分类讨论的很多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要实行分类讨论.例2 设函数.（1） 对于任意实数恒成立，求的最大值.（2） 若方程有且仅有一个实数，求的取值范围.方法3 参数变化型很多问题中参数的不同取值会对结果产生影响，所以，需要对参数的取值实行分类，常见的问题有：含参不等式的求解；解析式中含有参数的函数的性质问题；含参二元二次方程表示的曲线类型；参数的几何意义等.例3

6、 已知函数（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；（2） 讨论函数的单调性.思想方法四、转化与化归思想方法1 抽象问题与具体问题化归具体化原则，就是把一些抽象问题化归为具体问题，从而解决问题.一般地，对于抽象函数、抽象数列等问题，能够借助于熟悉的具体函数、数列等知识，探寻抽象问题的规律，找到解决问题的突破口和方法.例1 若定义在上的函数满足：对任意有，则下列说法一定准确的是（ ）方法2 一般问题与特殊问题化归数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性.解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题.其解题模式是：首先设法使问题特殊（或一般）化，降低难度，然后解这个特殊（或一般）性的问题，从而使原问题获解.例2 （其中为自然常数）的大小关系是（ ）方法3 正向思维与逆向思维化归逆向思维水平是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换水平.如果经常注意对问题的逆向思考，不但能够加深对可逆仅仅的理解，而且能够提升思维的灵活性.例3 已知集合，若，则实数的取值范围为 .方法4 命题与等价命题化