解三角形应用举例(经典)

1、1.正弦定理：正弦定理： C c B b A a sinsinsin R2 222 2bacaccosB 222 2 acb cosB ac 2. 2.余弦定理和推论：余弦定理和推论： 222 2cababcosC 222 2bacaccosB 222 2 acb cosB ac 222 2 abc cosC ab 222 2abcbccos A 222 2 bca cosA bc 高度高度角度角度距离距离有关三角形计算有关三角形计算 经纬仪，测量水平角和竖直角的经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器仪器。 是根据测角原理设计的。目前最常用是根据测角原理设计的。目前最常用 的是的是光学经纬仪光学经纬

2、仪。 光学经纬仪光学经纬仪 钢卷尺钢卷尺 引例：如图，引例：如图，A,BA,B两点在河两岸，现有经纬仪和两点在河两岸，现有经纬仪和 钢卷尺两种工具，如何测量钢卷尺两种工具，如何测量A,BA,B两点距离？两点距离？ ）的距离（精确到求 通过测量得： mAB CAmAC 1 . 0 ,50,75,50 00 引例引例2. 2.如图在铁路建设中需要确定隧道两端如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,BA,B的的 距离，请你设计一种测量距离，请你设计一种测量A,BA,B距离的方法？距离的方法？ B A C b a ，则为角 以及距离为 测量得出取某一点 C abBCAC C , , 由余弦定理得： cos

3、2 22 abbaAB 引例引例3.3.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速 行驶，某人在另一岸的行驶，某人在另一岸的C C点看到汽车从点看到汽车从A A 点到点到B B点用了点用了t t秒，请你设计方案求秒，请你设计方案求 汽车的速度？汽车的速度？(A(A、B B两点不可到达两点不可到达) ) 分析：分析：用引例的方法，可以计算出用引例的方法，可以计算出AC,BC 的距离，再测出的距离，再测出BCA的大小，借助于余的大小，借助于余 弦定理可以计算出弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。 A C B 公路公路 河流河流 A C B

4、 公路公路 河流河流 D 解：在岸边选定一点解：在岸边选定一点D，测得，测得CD=a,并且在并且在C、D两点分别测得两点分别测得 BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，中， 应用正弦定理得应用正弦定理得 )sin( )sin( )(180sin )sin( a a AC )sin( sin )(180sin sin aa BC 计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计算出中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离两点间的距离 cos2 22 BCACBCACAB t AB v 所以，汽车的速度 如图如图,隔河看两目标隔河看两目标A、B，但不

5、能到达，但不能到达， 在岸边选取相距在岸边选取相距 千米的千米的C、D两点，并测两点，并测 得得ACB=75ACB=750 0,BCD=45,BCD=450 0,ADC=30,ADC=300 0，ADBADB =45=450 0(A(A、B B、C C、D D在同一平面在同一平面) )，求两目标，求两目标ABAB 之间的距离。之间的距离。 3 A B C D 练习练习1 测量问题之一：测量问题之一： 水平距离的测量水平距离的测量 两点间不能到达，又不能相两点间不能到达，又不能相 互看到。互看到。( (如图如图1 1所示所示) ) 需要测量需要测量CBCB、CACA的长和角的长和角C C的大小，

6、由余弦定理的大小，由余弦定理, ,可求可求 得得ABAB的长。的长。 两点能相互看到，但不能到达。两点能相互看到，但不能到达。( (如图如图2 2所示所示) ) 需要测量需要测量BCBC的长、角的长、角B B和角和角C C的的 大小，由三角形的内角和，求大小，由三角形的内角和，求 出角出角A A然后由正弦定理，可求边然后由正弦定理，可求边 ABAB的长。的长。 图1 图2 两点都不能到达两点都不能到达 1、分析分析：理解题意，画出示意图 2、建模建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序 地解这些三角形，求得数学模型的解。 4、检验检验：检验所求的解

7、是否符合实际意义， 从而得出实际问题的解。 实际问题实际问题数学问题（三角形）数学问题（三角形） 数学问题的解（解三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解实际问题的解 解应用题的一般步骤是：解应用题的一般步骤是： 小结小结 0000 45303927419和改成和题，将组第练习：AP A B P Q 300 450 一海轮以一海轮以20n mile/h的速度向正东航行的速度向正东航行, 它在它在A点测得灯塔点测得灯塔P在船的北在船的北600东东,2个小时个小时 后船到达后船到达B点时点时,测得灯塔在船的北测得灯塔在船的北450东东,求求 (1)船在船在B点时与灯塔点时与灯塔P的距离的距离.

8、 (2)已知以已知以P为圆心为圆心,55n mile的半径的圆形水的半径的圆形水 域内有暗礁域内有暗礁,那么船工继续向正东航行那么船工继续向正东航行,有无有无 触礁的危险触礁的危险. 练习练习1 会 练习练习2：海中有岛：海中有岛A，已知，已知A岛周围岛周围8海里内有暗礁，今有一海里内有暗礁，今有一 货轮由西向东航行，望见货轮由西向东航行，望见A岛在北岛在北75东，航行东，航行20 海里后，海里后， 见此岛在北见此岛在北30东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触 礁危险。礁危险。 2 A BC M 北北 北北 220 解：解：在在ABC中中ACB=120B

9、AC=45由正弦定理得：由正弦定理得： 45sin120sin BCAB 由由BC=20 ,可求可求AB 得得AM= 8.978 2 65215 无触礁危险无触礁危险 A BC M 北北 北北 220 75 30 高度和角度的测量高度和角度的测量 解应用题中的几个角的概念解应用题中的几个角的概念 1 1、仰角、俯角的概念：、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线所 成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，在水平线下方的 角叫做俯角。如图： 2 2、方向角：、方向角：指北或指 南方向线与目标方向线 所成的小于90的水平 角，如图 3、方位角：从正北方向按照顺时针方向到目标、方位角：从正北方向

10、按照顺时针方向到目标 方向线的水平夹角方向线的水平夹角 . . ,1 的方法物高度 设计一种测量建筑为建筑物的最高点 不可到达的一个建筑物是底部、例 AB A BAB B E A H G DC )sin( sin a AC h a hAChAEAB )sin( sinsin sin 解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使 H,G,B三点在同一条直线上。在三点在同一条直线上。在 H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的仰的仰 角分别是角分别是，CD=a,测角仪器测角仪器 的高是的高是h.那么，在那么，在ACD中，根中，根 据正弦定理可得据正弦定理可得 练习练习1: 在山顶铁塔上

11、在山顶铁塔上B处测得地处测得地 面上一点面上一点A的俯角的俯角 60 ，在塔，在塔 底底C处测得处测得A处的俯角处的俯角30。 已知铁塔已知铁塔BC部分的高为部分的高为28m，求，求 出山高出山高CD. 分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设 法计算出法计算出AB或或AC的长的长 D A B C )(42 )3060sin( 60sin30cos28 )sin( sincos sin, m BC BADABBDABDRt 得，解 CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为答：山的高度约为14米。米。 )sin( cos )sin( )90sin( BCBC AB

12、所以， 解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根根 据正弦定理，据正弦定理， )90sin()sin( ABBC 例例2 2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶， 到到A A处时测得公路北测远处一山顶处时测得公路北测远处一山顶D D在西偏北在西偏北1515 的方向上，的方向上， 行驶行驶5km5km后到达后到达B B处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北2525 的方向上，的方向上， 仰角为仰角为8 8 ，求此山的高度，求此山的高度CD.CD. 14. 08tan ,17. 010sin,

13、26. 015sin 0 00 例例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有 一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速 度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿 着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要 多少时间才追赶上该走私船？ 14 35 38sin 0 9,14,10ACxABxCB BxAB 追上走私船，则 处小时后在方向经过解：设巡逻船沿 000 1204575ACB 0222 0222 120cos1092)10(9)14( 120cos2 xxx BCACBCACAB 即 由余弦定理得 )( 16 9 2 3 , 0273032 2 舍

14、去或解得化简得：xxxx 21,15ABCB 14 35120sin sin 0 AB CB BAC 0 38BAC 答：巡逻艇应该沿北偏东答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过方向去追，经过1.5小时才追赶上小时才追赶上 该走私船该走私船. 1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 ， 沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2 ， 再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4 ， 求 的大小和建筑物AE的高。 3 BCD E A 24 练习练习2 某货轮在某货轮在A处看灯塔处看灯塔S在北偏东方向在北偏东方向.它它 以每小时以每小时36海里的速度向正北方向航行海里的速度向正北方向航行,经过经过 40分钟航行到分钟航行到B处看灯塔处看灯塔S在北偏东在北偏东 方向方向.求此时货轮到灯塔求此时货轮到灯塔S的距离的距离. 30 75 16.97米 某人在高出海面某人在高出海面600m的山上的山上P处，测处，测 得海面上的航标得海面上的航标A在正东，俯角为在正东，俯角为300， 航标航标B在南偏东在南偏东600 ，俯角为，俯角为450，求，求 这两个航标间的距离。这两个航标间的距离。 W N E S 45 30 P C B A