经典控制理论——第七章3

1、一离散系统的稳定性一离散系统的稳定性 1 1 采样系统的稳定条件采样系统的稳定条件 在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根 据特征方程的根在 s 平面的位置。若系统特征方 程的所有根都在 s 平面左半平面，则系统稳定。 对线性离散系统进行了Z 变换以后，对系统的分 析要采用 Z 平面，因此需要弄清这两个复平面的 相互关系。 s 域到 z 域的映射: 复变量s和z的相互关系为 z=esT ，式中T为采样周期 s域中的任意点可表示为 ，映射到z域 则为 js TjTTj eeez ）（ 于是，s域到z域的基本映射关系式为 Tzez T ， 若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时sj， 对应的复变量

2、 。后者是Z平面上的一个向量， 其模等于1，与频率无关；其相角为T，随频率 而改变。 Tj ez 可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原 点为圆心的单位圆。 当s位于S平面虚轴的左边时，为负数， 小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为 正数， 大于1。s平面的左、右半平面在z平 面上的映像为单位圆的内、外部区域。 T ez T ez 图7-20：线性采样系统结构图 线性采样系统稳定的充要条件线性采样系统稳定的充要条件 线性采样系统如图7-20所示。 其特征方程为 01）（）（zGHzD 显然，闭环系统特征方程的根1、2、n即 是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统 稳定充要

3、条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在 z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1， 相应的线性定常系统是稳定的。 应当指出，如同分析连续系统的稳定性一样， 用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定 性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的 判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就 是劳斯判据。 2 2 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析 系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接 应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别 特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。 因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单 位圆，在新的坐标系中的

4、映象为虚轴。这种新的 坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。 根据复变函数双线性变换公式，令 1 1 w w z 1 1 z z w 或 式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部 相加的形式，即 jvuwjyxz 2222 22 ) 1( 2 ) 1( 1 1 1 yx y j yx yx jyx jyx w 当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时， 应满足： 1 22 yx 0 ) 1( 1 22 22 yx yx u 左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平 面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图7-21。 因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。 图7-21：Z平面和W平面的对

5、应关系 离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH （z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转 换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半 W平面。 例例7-17 设闭环离散系统如图7-22所示，其中采样 周期T=1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。 图7-22：例7-17闭环系统图 解：解：求出G(s)的z变换 1)1 . 01 ( )( s k s k ss k sG 368. 0368. 1 632. 0 368. 01 )( 2 zz kz z kz z kz zG 闭环系统脉冲传递函数为 )(1 )( )( zG zG z 故闭环系统特征方程为 0368. 0)368

6、. 1632. 0()(1 2 zkzzG 1 1 w w z令代入上式，得 0368. 0) 1 1 )(368. 1632. 0() 1 1 ( 2 w w k w w 化简后，得W域特征方程 0)632. 0736. 2(264. 1632. 0 2 kwkw 列出劳斯表 0632. 0736. 2 0264. 1 632. 0736. 2632. 0 0 1 2 kw w kkw 从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统 稳定，必须使k0，2.736-0.632k0，即k0 特征方程的系数，按照下述方法构造(2n3) 行、(n+1)列朱利阵列，见下表： 表 朱利阵列 在朱利阵列中，第2k

7、+2行各元，是2k+1行各 元的反序排列。从第三行起，阵列中各元的定义如 下： k kn n k a a a a b 0 k kn n k b b b b c 1 1 0 k kn n k c c c c d 2 2 0 0 3 3 0 0 p p p p q 1 2 3 0 1 p p p p q 2 1 3 0 2 p p p p q k=0,1,n1 k=0,1,n2 k=0,1,n3 朱利稳定判据朱利稳定判据 特征方程D(z)=0的根，全部位于z 平面上单位圆内的充分必要条件是 D(1)0，D(1) 0， 当n为偶数时； D(1)0， D(1)0， 当n为奇数时； 以及下列(n1)个约

8、束条件成立 |a0|bn-1|， |c0|cn-2| |d0|dn3|， |q0|q2| 只有当上述诸条件均满足时，离散系统才是稳 定的， 否则系统不稳定。 例例7-18：已知离散系统闭环特征方程为 002. 008. 04 . 0368. 1 234 zzzzzD）（ 试用朱利判据判断系统的稳定性。 解解 由于n=4, 2n3=5, 故朱利阵列有5行5列。根 据给定的D(z)知： a0=0.002, a1=0.08, a2=0.4, a3=1.368, a4=1 计算朱利阵列中的元素bk和ck： 1 0 4 4 0 0 a a a a b 368. 1 1 3 4 0 1 a a a a b

9、 399. 0 2 2 4 0 2 a a a a b 082. 0 3 1 4 0 3 a a a a b 401. 1 1 2 2 0 1 b b b b c 511. 0 2 1 3 0 2 b b b b c 993. 0 0 3 3 0 0 b b b b c 作出如下朱利阵列： 因为D(1)=0.1140, D(1)=2.690 |a0|=0.002, a4=1, 满足|a0|b3| |c0|=0.993, |c2|=0.511, 满足|c0|c2| 故由朱利稳定判据知，该离散系统是稳定的。 4 4 采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期与开环增益对稳定性的影响 例例7-19 设

10、有零阶保持器的离散系统如图7-23所示， 试求： （1）当采样周期T分别为1(s)，0.5(s)时，系统的临 界开环增益Kc。 （2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4(s)时， 系统的输出响应c(kT)。 图7-23 例7-19离散系统 )(1( )1 () 1( )1 ()( 1)(SS k 1 2 T ezz t Te T ezT T e k ZzzG 2 1s ( )1( )0 ( )(0.3681.368)(0.2640.368)0 TD zG z D zzkzk 时 0)104. 0736. 2( )528. 0264. 1 (632. 0)( 2 k wkk

11、wwD 由劳斯判据KC=2.4 T=0.5s 时 W域： 0)017. 0214. 3( )18. 0786. 0(197. 0)( 2 k wkkwwD 由劳斯判据KC=4.37 )(1 )( )( zG zG z )1 ()1 () 1( )1 () 1( 2TTTTT TTT eTeeKzeTeKz TeezTeK 且由 ，可求得C(z)表达式 1 )( z z zR 取K=1，T=0.1, 1, 2, 4s，可由C(z)求Z反变换得到 c(kT)，见图7-24 图7-24 不同T时的响应 线性连续系统计算稳态误差的方法都可以推广 到采样系统中来。 下面仅介绍稳态误差系数的计算。 设单位

12、反馈采样系统如图7-25所示： 图7-25 单位反馈采样系统 系统的开环脉冲传递函数为G(z) 采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样 时刻上的数值c(nT) (n=0，1，2)与输入信号相 比较外，还可以应用Z变换的终值定理来计算。 )( )(1 )( )()()()( )(1 )( )(, )()()( zR zG zG zRzYzRzE zG zG zzRzzY )()()( )(1 1 zRzzR zG e 利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 )(1 )() 1( lim)() 1(lim)(lim)( 11 * zG zRz zEztee zzt 上式表明，系统的稳态误差与

13、G(z)及输入信号的形式 有关。 与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系 统型别的概念，由于 的关系，原线性连续系 统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分 系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传 递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型 别,称v=0,1,2,.的系统为0型、I型、II型离散系统。 sT ez 下面分析几种典型输入作用下的稳态误差。 (1)单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差 p z zz kzG z z zG z zEze 1 )(1 lim 1 1)(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 1 11 式中 称为静态位置误差系

14、数。 )(1 lim 1 zGk z p 对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp, 从而e()0；对I型、II型以上的离散系统（有一个 或一个以上 z=1的极点），则 Kp=，从而e()=0。 因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在 采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统， 在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。 （2）单位斜坡输入时的稳态误差）单位斜坡输入时的稳态误差 v z zz k T zGz T z Tz zG z zEze )() 1(lim ) 1()(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 1 2 11 式中 称为静态速度误差系数。 因为0型系统的k

15、v=0， I型系统的kv为有限值， II型和II型以上系统的kv= ，所以有如下结论：0型 离散系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统 在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以 上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。 )() 1(lim 1 zGzk z v （3）单位加速度输入时的稳态误差）单位加速度输入时的稳态误差 a z zz k T zGz T z zzT zG z zEze 2 2 1 2 3 2 11 )() 1(lim ) 1(2 ) 1( )(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 式中 称为静态加速度误差系数。)() 1(lim 2 1 zGzk z

16、 a 由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常 值，III型及III型以上系统的 ka=,因此有如下结 论成立： 0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数 作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下 存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系 统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时 的稳态位置误差。 在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点 在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。 与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递 函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。 零、极点分布的关系零、极点分布的关系 设闭环系统的脉冲传递函数为 nn nnn mm mmm azaz

17、azaza bzbzbzbzb zN zM z 1 2 2 1 10 1 2 2 1 10 )( )( ) （ 式中m0时， （若令 ） akT i k iii eApAkTy)( i p T aln 1 动态过程为按指数规律变化脉冲序列。 pi 1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆外，动态响应为振荡脉冲序列； 若| pk |=1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆上，动态响应为等幅振荡脉冲序列； 若| pk |1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列,且| pk |越小, 即复极点越靠近原点,振荡收敛越快； 闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关 系，如图7-2

18、7所示 图7-27 复数极点分布与响应的关系 通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数 的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质 和特点。 当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分 量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位 于正实轴上，暂态分量按指数衰减。一对共扼复数 极点的暂态分量为振荡衰减，其角频率为kT。 若极点位于负实轴上，也将出现衰减振荡，其振荡 角频率为T。为了使采样系统具有较为满意的暂 态响应，其z传递函数的极点最好分布在单位圆内 的右半部靠近原点的位置。 在线性连续系统中采用的，根据一对主导极 点分析系统暂态响应的方法，也可以推广到采样 系统。 综上所述,离散系统的动态

19、特性与闭环极点的 分布密切相关。当闭环实极点位于z平面上左半单 位圆内时,由于输出衰减脉冲交替变号,故动态过程 质量很差;当闭环复极点位于左半单位圆内时,由于 输出衰减高频振荡脉冲,故动态过程性能欠佳。 因此因此,在离散系统设计时在离散系统设计时,应把闭环极点安置在应把闭环极点安置在 z平面的右半单位圆内平面的右半单位圆内,且尽量靠近极点。且尽量靠近极点。 例例-20 若系统结构如图7-28所示，试求其单位阶 跃响应的离散值，并分析系统的动态性能。采样周 期T=0.2秒。 图7-28 例7-20系统结构图 解：解：系统的闭环脉冲传递函数为 0173. 06048. 07728. 0 0198. 04990. 03805. 0 )( 23 2 zzz zz z