2020年辽宁省大连市高考数学第一次模拟试卷（理科）(Word版 含解析)

1、2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1设集合Ax|2x3，B1，0，1，2，3，则集合AB为（）A2，1，0，1，2B1，0，1，2C1，0，1，2，3D2，1，0，1，2，32若复数z满足（1+i）z2，则z的虚部为（）A1BiCiD13下列函数中是偶函数，且在（0，+）是增函数的是（）Ayln|x|BycosxCyx2Dyx34设Sn为等差数列an的前n项和，若a4+a512，则S8的值为（）A14B28C36D485PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35g/m3以下空气质量为一级，在3575g/m3空气质量为二级

2、，超过75g/m3为超标如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C这10天中恰有5天空气质量不超标D这10天中PM2.5 日均值的中位数是436已知抛物线y24x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A（1，1）B（2，3）C（4，4）D(4，3)7设a，b是非零向量，则“ab”是“|a+2b|a-2b|的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件8如图是函数f（x）2sin（x+）（0，|2）的部分图象，则，的值分别为（）

3、A1，3B1，-6C2，-6D2，69设数列an的前n项和为Sn若a11，an+12Sn+1，nN*，则S5值为（）A363B121C80D4010已知a0，b0，1a+1b=1，则a+b的最小值为（）A14B12C2D411已知a，b是两条直线，是三个平面，则下列命题正确的是（）A若a，b，ab，则B若，a，则aC若，a，则aD若，a，则a12易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）（）A15B1

4、6C17D314二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13已知x，y满足约束条件x-y0，x0，y2则zx+y的最大值为 14双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，则该双曲线的离心率e 15定义在（1，+）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x（1，+）恒有f（2x）2f（x）成立；（2）当x（1，2时，f（x）2x则f（6）的值是 16如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，二面角A1BDP的平面角为，用图中字母表示角为 ，sin的最小值是 三.解答题：（本大题共

5、5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设函数f（x）2sinxcosx2cos2（x+4）（）求f（x）的单调递增区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B2）0，a1，c1，求b18某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（）由频

6、率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2=142.7511.95；若ZN（，2），则P（z+）0.6826，P（2z+2）0.954419如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点（）证明：OE平面ACC1A1；（）若CBB1=60，cosACC1=24，在线段C1A1上是否存在点

7、F（F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为37若存在，求出C1FC1A1的值；若不存在，说明理由20已知过点P(1，32)的曲线C的方程为(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=2a（）求曲线C的标准方程：（）已知点F（1，0），A为直线x4上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求|BD|AF|最大值21已知函数f（x）2sinxx2+2xa（）当a0时，求f（x）零点处的切线方程；（）若f（x）有两个零点x1，x2（x1x2），求证：1-2(x2-x1-2)a四、请考生在22，23二题中任选一题作

8、答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为4记M的轨迹为曲线C以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2cos+3sin+110（）求C和l的直角坐标方程；（）求C上的点到1距离的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）m|x2|，mR，g（x）|x+3|（）当xR时，有f（x）g（x），求实数m的取值范围（）若不等式f（x）0的解集为1，3，正数a，b满足ab2ab3m1，

9、求a+b的最小值参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合Ax|2x3，B1，0，1，2，3，则集合AB为（）A2，1，0，1，2B1，0，1，2C1，0，1，2，3D2，1，0，1，2，3【分析】利用交集定义直接求解解：集合Ax|2x3，B1，0，1，2，3，集合AB1，0，1，2故选：B2若复数z满足（1+i）z2，则z的虚部为（）A1BiCiD1【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出解：复数z满足（1+i）z2，（1i）（1+i）z2（1i），2z2（1i），z1i，则z的虚部为1故选：A3下列函数中

10、是偶函数，且在（0，+）是增函数的是（）Ayln|x|BycosxCyx2Dyx3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案解：根据题意，依次分析选项：对于A，yln|x|，其定义域为x|x0，关于原点对称，有f（x）ln|x|f（x），是偶函数，且在（0，+）上，f（x）lnx，为增函数，符合题意，对于B，ycosx，是余弦函数，在（0，+）上不是单调函数，不符合题意；对于C，yx2，为二次函数，在（0，+）上是单调减函数，不符合题意；对于D，yx3，为奇函数，不符合题意；故选：A4设Sn为等差数列an的前n项和，若a4+a512，则S8的值为（）A14B28C36

11、D48【分析】由等差数列的性质得S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)，由此能求出结果解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a512，S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)=41248故选：D5PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35g/m3以下空气质量为一级，在3575g/m3空气质量为二级，超过75g/m3为超标如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C这10天中恰有5天空气质量不超标D这10天中

12、PM2.5 日均值的中位数是43【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D6已知抛物线y24x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A（1，1）B（2，3）C（4，4）D(4，3)【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x1，由抛物线的性质，到焦点的

13、距离等于到准线的距离x+15，所以x4，代入抛物线的方程可得y4，由B在第一象限，所以y4，即B的坐标（4，4），故选：C7设a，b是非零向量，则“ab”是“|a+2b|a-2b|的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可解：若“|a+2b|a-2b|，则平方得|a|2+4|b|2+4ab=|a|2+4|b|24ab，即4ab=-4ab，得ab=0，即ab，则“ab”是“|a+2b|a-2b|的充要条件，故选：C8如图是函数f（x）2sin（x+）（0，|2）的部分图象，则，的值分别为（）A1，3

14、B1，-6C2，-6D2，6【分析】结合函数的图象，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值解：由函数图象可知T2（ 23-6），2，x=6时，函数取得最大值2，可得：2sin（26+）2，可得：26+2k+2，即2k+6，kZ，|2，=6故选：D9设数列an的前n项和为Sn若a11，an+12Sn+1，nN*，则S5值为（）A363B121C80D40【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可解：数列an的前n项和为Sn若a11，an+12sn+1，nN*，可得a23，a39，a427，a581，则S51+3+9+27+81121故选：B10已知a0，b0，1a+1b=1，

15、则a+b的最小值为（）A14B12C2D4【分析】根据1a+1b=1，可以得到a+b（a+b）（1a+1b），展开后再运用基本不等式可求得最小值解：1a+1b=1，a+b（a+b）（1a+1b）1+1+ba+ab2+21=4，当且仅当ba=ab时等号成立，a+b的最小值为4故选：D11已知a，b是两条直线，是三个平面，则下列命题正确的是（）A若a，b，ab，则B若，a，则aC若，a，则aD若，a，则a【分析】A由于，或相交，即可判断出正误；B由已知可得a或a，即可判断出正误；C正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D由已知可得a或a，即可判断出正误解：A若a，b，ab，则，不正

16、确，可能相交；B若，a，则a或a，因此不正确；C若，a，则a，正确；证明：设b，c，取P，过点P分别作mb，nc，则m，n，ma，na，又mnP，aD若，a，则a或a故选：C12易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）（）A15B16C17D314【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的

17、共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：3151+32=18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：32=3种；故P（A|B）=318=16；故选：B二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13已知x，y满足约束条件x-y0，x0，y2则zx+y的最大值为4【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数zx+y的最优解，代入坐标求得zx+y的最小值解：由x，y满足约束条件x-y0，x0，y2作出可行域如图，联立y=2x=y，解得A（2，2）由图可知，使目标函数zx+y取得最大值最大值的最优解

18、为点A的坐标，zx+y的最大值为：4故答案为：414双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，则该双曲线的离心率e2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab关系式，然后求解离心率解：双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，可得ab，则c=2a，e=2故答案为：215定义在（1，+）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x（1，+）恒有f（2x）2f（x）成立；（2）当x（1，2时，f（x）2x则f（6）的值是2【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（32）来表示即可求解解：定义在（1，+）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）

19、对任意的x（1，+）恒有f（2x）2f（x）成立；（2）当x（1，2时，f（x）2xf（6）2f（3）4f（32）4（2-32）2故答案为：216如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，二面角A1BDP的平面角为，用图中字母表示角为A1OP，sin的最小值是63【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P的位置，求解最小值即可解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BDAC，BDAA1，所以BD平面ACC1A1，所以BDOPS，所以点P在线段CC1上二面角A1BDP的平面角为，用图中字母表示角为：A1O

20、P，设正方体的列出为2，则A1O=6，OC=2，A1C23，由题意可知P在C处时，cosA1OP=6+2-12226=-33，此时sinA1OP=63，是最小值故答案为：A1OP；63三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设函数f（x）2sinxcosx2cos2（x+4）（）求f（x）的单调递增区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B2）0，a1，c1，求b【分析】（）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）2sin2x1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间（）由f（B2）2sinB10，可得

21、sinB=12，结合B为锐角，可得B=3，进而根据余弦定理即可求解b的值解：（）由题意可得：f(x)=2sinxcosx-2cos2(x+4)=sin2x1+cos（2x+2）2sin2x1，由2k-22x2k+2，kZ，解得k-4xk+4，kZ，可得f（x）的单调递增区间是k-4，k+4，kZ（）由f（B2）2sinB10，可得sinB=12，由题意可得B为锐角，可得B=3，又a1，c1，又余弦定理可得b=a2+c2-2accosB=1+1-21112=118某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（）写出频

22、率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2=142.7511.95；若ZN（，2），则P（z+）0.6826，P（2z+2）0.95

23、44【分析】（）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可（）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟求出P（A），P（B），通过P（C）P（A）P（B）+P（A）P（B）求解即可（）x=26.5，由条件可得：ZN（26.5，142.75），推出XB（10，0.6825），求解期望即可解：（）由题意可知a0.015s12s22（）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，

24、事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟则：P（A）0.2+0.10.30，P（B）0.1+0.20.30，P（C）P（A）P（B）+P（A）P（B）0.42（）x=26.5，由条件可得：ZN（26.5，142.75），从而P（26.511.9Z26.5+11.95）0.6826，从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826根据题意得：XB（10，0.6825），EX100.68266.82619如图，三棱柱ABCA1B1C1中，

25、侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点（）证明：OE平面ACC1A1；（）若CBB1=60，cosACC1=24，在线段C1A1上是否存在点F（F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为37若存在，求出C1FC1A1的值；若不存在，说明理由【分析】（I）连接BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OEAC1，利用线面平行的判定定理即可证明结论（II）由AO侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，可以建立空间直角坐标系设BC2，由CBB160，cosACC1cosACOcosOCC1，可得cosACO=22，AO1设C

26、1F=C1A1（01），可得F（-3，），EF=（-332，-12）设平面ACC1A1的法向量为n=（x，y，z），可得nCA=nCC1=0利用37=|EFn|EF|n|，解得即可得出【解答】（I）证明：连接BC1，AC1，O为B1C的中点，E为AB的中点，OEAC1，OE平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1OE平面ACC1A1（II）解：AO侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，AOOB，AOOB1，OBOB1以点O为坐标原点，OB，OB1，OA为x，y，z轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设BC2，CBB160，cosACC1cosACOcosOCC1cosACO=22，

27、AO1B（3，0，0），C（0，1，0），C1（-3，0，0），A（0，0，1），A1（-3，1，1），E（32，0，12），设C1F=C1A1（01），F（-3，），EF=（-332，-12）设平面ACC1A1的法向量为n=（x，y，z），CA=（0，1，1），CC1=（-3，1，0）nCA=nCC1=0y+z0，-3x+y0取n=（1，3，-3）37=|EFn|EF|n|=37274+2+(-12)2，解得=12C1FC1A1=1220已知过点P(1，32)的曲线C的方程为(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=2a（）求曲线C的标准方程：（）已知点F（1，0），A为直线x4上任意一点，过

28、F作AF的垂线交曲线C于点B，D（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求|BD|AF|最大值【分析】（）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF 的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出|BD|AF|的表达式，换元由均值不等式可得其最大值【解答

29、】解（）将P的坐标代入方程可得：a2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：x24+y23=1；（）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：xmy+1，则直线AF的方程为：ym（x1），A在直线x4上，所以yA3m，即A（4，3m），将直线BD与椭圆联立x=my+1x24+y23=1，整理可得（4+3m2）y2+6my90，所以y1+y2=-6m4+3m2，y1y2=-94+3m2，所以x1+x2m（y1+y2）+2=84+

30、3m2，所以中点M（44+3m2，-3m4+3m2），因为kOA=-3m4=kOM，所以OA平分线段BD；（ii）|AF|31+m2，|BD|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=12(1+m2)4+3m2，所以|BD|AF|=41+m24+3m2，令t=1+m21，所以|BD|AF|=4t3t2+1=43t+1t1，当且仅当t1时取等号，所以|BD|AF|最大值为121已知函数f（x）2sinxx2+2xa（）当a0时，求f（x）零点处的切线方程；（）若f（x）有两个零点x1，x2（x1x2），求证：1-2(x2-x1-2)a【分析】（）将a0带入，求导得f（x）2cosx2x+2，f（x

31、）2sinx20，进而可知存在x0，使得f（x0）0，且f（x）在x（，x0）上单调递增，在x（x0，+）上单调递减，进一步可得x0，x2是f（x）的两个零点，再求得f（0）2+2，f（2）22，由此求得所求切线方程；（）先构造函数F（x）（2+2）x2sinx+x22x，F（x）22cosx+2x，F（x）2sinx+20，可知（2+2）x2sinxx2+2x，设y（2+2）x与ya的交点横坐标为x3，可得x3=a(2+2)x1；设G（x）（22）（x2）2sinx+x22x，G（x）242cosx+2x，G（x）2sinx+20，可知（22）（x2）2sinxx2+2x，设y（22）（x2

32、）与ya的交点横坐标为x4，可得x4=a2-2+2x2，由此即可得证解：（）当a0时，f（x）2sinxx2+2x，定义域为一、选择题，则f（x）2cosx2x+2，f（x）2sinx20，yf（x）在R上为减函数，f（0）2+20，f（）20，由零点存在性定理可知，f（x）在x（0，）上必存在x0，使得f（x0）0，且当x（，x0）时，f（x）0，即f（x）在x（，x0）上单调递增，当x（x0，+）时，f（x）0，即f（x）在x（x0，+）上单调递减，f（x）maxf（x0），故f（x）至多有两个零点，又f（0）0，f（2）0，故x0，x2是f（x）的两个零点，由f（0）2+2，f（2）22

33、，易得两切线方程为y（2+2）x或y（22）x4+42；（）证明：由（）易知，x1x0x2，设F（x）（2+2）x2sinx+x22x，F（x）22cosx+2x，F（x）2sinx+20，yF（x）在R上为增函数，F（0）0，当x（，0）时，F（x）0，即F（x）在（，0）上为减函数，当x（0，+）时，F（x）0，即F（x）在（0，+）上为增函数，F（x）F（0）0，即（2+2）x2sinxx2+2x，设y（2+2）x与ya的交点横坐标为x3，则(2+2)x12sinx1-x12+2x1=a=(2+2)x3，y（2+2）x为增函数，x3=a(2+2)x1；同理设G（x）（22）（x2）2sinx+x22x，则G（x）242cosx+2x，G（x）2sinx+20，yG（x）在R上为增函数，又G（2）0，当x（，2）时，G（x）0，即G（x）在（，2）上单调递减，当x（2，+）时，G（x）0，即G（x）在（2，+）上单调递增，G（x）g（2）0，即（22）（x2）2sinxx