2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试题（二）（解析版）

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试题（二）（教师版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A则AB（）A B C D【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】求出集合A,B,由此能求出AB【解答】解：集合A=B=AB=故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2已知复数z=i(a-i)(i为虚数单位,aR),若1a2,则|z|的取值范围为（）A B C D(1,2)【考点】复数的模【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算【分析】根据复数的基本运算法则进行化简

2、，再求复数模的范围即可【解答】解：因为复数z=i(a-i)=1+ai,所以|z|=由于1a2,即则|z|的取值范围为故选：A【点评】本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础3周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为495尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为105尺，则立秋的晷长为（）A15尺 B25尺 C35尺 D45尺【考点】等差数列的通项公式【专题

3、】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为495尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为105尺，可得：105，即105解出利用通项公式即可得出【解答】解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为495尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为105尺，105，即105解得d15立秋的晷长15345故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算

4、能力，属于基础题4在ABC中，已知A45，AB且AB边上的高为则sinC（）A B C D【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算【分析】由已知可求AD，利用勾股定理可求AC，由余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得sinC的值【解答】解：如图，在ABC中，A45，AB且AB边上的高CD为AD4，由余弦定理可得BC由正弦定理可得sinC故选：B【点评】本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题5一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为则该圆锥的体积为（）A B C D

5、【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】对应思想；数形结合法；立体几何；数学运算【分析】由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求【解答】解：作出该几何体的轴截面图如图，BC2，BD1，设内接圆柱的高为h，由得hCABCED，即得AB该圆锥的体积为故选：D【点评】本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题6已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，)上单调递减，f(3)0，则不等式f(x1)0的解集为（）A(3，3) B(，2)(1，4) C(，4)(1，2) D(，3)(0，3)【考点】奇偶性与单调性的综

6、合；抽象函数及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，)上单调递减，则f(x)在(，0)上递减，又由f(3)0，则f(3)0，则函数f(x)的草图如图：若f(x1)0，则有解可得即不等式的解集为(，2)(1，4)；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集7已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B

7、若0，则该双曲线的离心率为（）A B2 C D【考点】双曲线的性质【专题】方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到1，则离心率可求【解答】解：如图，由0，得AOB90，即AOF45，tan451，即ab则e故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题8已知四边形ABCD中，ADBC，A30，AB5，E在CB的延长线上，且AEBE，则（）A1 B2 C D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】先由余弦定理

8、求得BD再根据题设条件求得BE2，而展开，利用数量积公式化简求解即可【解答】解：在ABD中，由余弦定理有7，BD易知ABEA30，又AEBE，AB故BE2，1故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题9的展开式中的系数为（）A120 B480 C240 D320【考点】二项式定理【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】把的展开式看成6个因式(xy2)的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项，求出项的系数【解答】解：把的展开式看成6个因式(xy2)的乘积形

9、式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项；故含项的系数为：故选：C【点评】本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目10把函数f(x)2sinx的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (1)/(2)(纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，关于g(t)的说法有：函数g(x)的图象关于点对称；函数g(x)的图象的一条对称轴是x函数g(x)在上的最上的最小值为函数g(x)0，上单调递增，则以上说法正确的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数思想；综合法；

10、三角函数的图象与性质；数学运算【分析】通过平移变换与伸缩变换求得函数g(x)的解析式由0判断错误；由2求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数g(x)在0，上不单调判断错误【解答】解：把函数f(x)2sinx的图象向右平移个单位长度，得y再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (1)/(2)(纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，则g(x)0，函数g(x)的图象不关于点对称，故错误；2，函数g(x)的图象的一条对称轴是x故正确；当时则即函数g(x)在上的最上的最小值为故正确；当x0，时可知函数g(x)在0，上不单调，故错误正确命题的个数为2故选：C【点评】本

11、题考查命题的真假判断与应用，考查yAsin(x)型函数的图象与性质，是中档题11如图，在矩形ABCD中，已知AB2AD2a，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成连接若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为则a（）A2 B C D4【考点】球的体积和表面积【专题】转化思想；综合法；球；数学运算【分析】要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论【解答】解：在矩形ABCD中，已知AB2AD2a，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：AK要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：取DC的中点H，过H

12、作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为所以球半径R如图：即：联立可得a故选：B【点评】本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型12已知函数f(x)若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为（）A(，0) B(，01，) C(，11，) D（，0）1，）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；分类讨论；转化思想；分析法；导数的综合应用；数学运算【分析】求导，构造辅助函数g(x)f(x)sinxax，则g(x)cosxa，当a1时，可知g(x)在R上单调递增

13、，g(0)0，即可判断f(x)在0，）上为增函数，在(，0)上为减函数，由f(x)0，即可证明，当a1时，f(x)有唯一的零点；然后验证a0时，函数的零点的个数，判断选项即可【解答】解：因为f(x)sinxax(xR)令g(x)sinxax，则g(x)cosxa，所以当a1时，g(x)cosxa0，即g(x)在R上单调递增，又g(0)sin00，所以x0，），f（x）0，当x(，0)，f(x)0，所以f(x)在0，）上为增函数，在(，0)上为减函数，又f(0)0，所以当x0，），f（x）0，当x(，0)，对xR恒成立，即当a1时，f(x)0，且当且仅当x0，f(x)0，故当a1时，f(x)有唯

14、一的零点；排除A，当a0时，f(x)cosx1，令f(x)0，可得cosx1，有无数解，所以a0，不成立，排除BC，故选：D【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及含量，分类讨论思想的应用，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若x，y满足约束条件则zy2x的最大值是_【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；分析法；不等式；数学建模【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，1联立 ，解得A(1，4

15、)，化目标函数z=y-2x为直线方程的斜截式：y2xZ由图可知，当直线y2xZ过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为42(1)6；【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题14已知则_【考点】两角和与差的三角函数【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解【解答】解：则故答案为：【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题15从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60的有_对【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题；空间位置关系与距离；排列组合

16、；数学抽象；数学运算【分析】根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60，进而可得共有128对对角线所成角为60，并且容易看出有一半是重复的，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成60的直线有共8条直线，则包含在内的符合题意的对角线有8对；又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有12896对面对角线所成角为60，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有48对故答案为：48【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题16如图，

17、直线l过抛物线4x的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆1交于C，D两点，若2|AC|BD|，设直线l的斜率为k，则_【考点】抛物线的性质【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】由题意设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长|AB|的值，再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得|CD|为圆的直径，求出|AC|BD|的值，再由题意可得|AC|的值，由题意可得A的横坐标，代入直线的方程，可得A的纵坐标，代入抛物线的方程中可得斜率的平方的值【解答】解：由题意圆1的圆心为抛物线的焦点F，再由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：xmy1，m设联

18、立直线与抛物线的方程： ，整理可得4m，所以由抛物线的性质可得：弦长|AB|由题意可得|CD|为1的直径2，所以|AC|BD|AB|CD|而2|AC|BD|，所以可得：|AC|因为|AC|AF|r|AF|1所以代入直线AB中可得即将A点坐标代入抛物线的方程整理可得0，解得因为所以故答案为：【点评】本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知数列和满足0，且1，设（1）求数列的通项公式；（2）若是等比数列，且3，求数列的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【

19、分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式（2）利用乘公比错位相减法的应用求出结果【解答】解：（1）依题意，由0，可得两边同时乘以可得2，即2，1，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，12(n1)2n1，nN（2）由题意，设等比数列的公比为q，则q3，故由（1）知2n1，且则所以：，得：所以【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型18为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品

20、质量指标值均在（15，45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在（15，30的产品为合格品旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示质量指标 频数 （15，20 2 （20，25 8 （25，30 20 （30，35 30 （35，40 25 （40，45 15 合计 100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关” 非优质品 优质品 合计 新设

21、备产品 旧设备产品 合计 附： 015 010 005 0025 0010 0005 2072 2706 3841 5024 6635 7879其，中nabcd（3）用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望【考点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数据分析【分析】（1）由频数分布表可知，将（30，45的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将（30，45的频率/组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；（2）先填写22列联表，再根据的公式计

22、算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（3）由（1）知，新设备所生产的优质品率为07，而X的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望【解答】解：（1）估计新设备所生产的产品的优质品率为70%，估计旧设备所生产的产品的优质品率为5(006003002)100%55%（2）补充完整的22列联表如下所示， 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200483841，有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”（3）由（1）知，新设备所生产的优

23、质品率为07，而X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X0）0027，P（X1）0189，P（X2）0441，P（X3）0343X的分布列为：X 0 1 2 3 P 0027 0189 0441 0343数学期望E(X)0002710189204413034321【点评】本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题19如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PAPC，BDPA，E是BC上一点，且EC3BE，设ACBDO（1）证明：PO平面ABCD；（2）若BAD60，PAPE，求二面角AP

24、EC的余弦值【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法【专题】数形结合；向量法；空间角；数学运算【分析】（1）由已知可得BDAC，BDPA，由直线与平面垂直的判定可得BD平面PAC，得到BDPO再由POAC进一步得到PO平面ABCD；（2）由（1）知，PO平面ABCD，BDAC以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设四边形ABCD的边长为4，POa由PAPE列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APEC的余弦值【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，BDAC，BDPA

25、，PAACA，BD平面PAC，PO平面PAC，BDPOPAPC，O是AC的中点，POACAC平面ABCD，BD?平面ABCD，ACBDO，PO平面ABCD；（2）解：由（1）知，PO平面ABCD，BDAC以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设四边形ABCD的边长为4，POa四边形ABCD是菱形，BAD60，ABD与BCD都是等边三角形OAOCPAPE，0，即0，得a设平面PAE的法向量为由 ，取2，得设平面PEC的一个法向量为由，取1，得设二面角APEC的平面角为，则cos二面角APEC的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与

26、思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题20已知椭圆C：1(ab0)的焦点为是椭圆C上一点若椭圆C的离心率为且的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）已知O是坐标原点，向量(1，1)过点(2，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点若点Q(x，y)满足OQ，求的最小值【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合【专题】数形结合；分类讨论；数形结合法；向量与圆锥曲线；逻辑推理【分析】（1）根据题意可得方程组联立 ，解得b，a，进而得出椭圆C的方程（2）设直线l的方程为：yk(x2)，设联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得因为得(x，y)，当k0时，0，当0时，x因为1，所以x

27、y1，代入化简得化简，利用基本不等式可得出答案【解答】解：（1）依据题意得所以所以因为故设代入椭圆方程得所以的面积为：联立，解得b1，a所以椭圆C的方程为：1（2）由题意可知直线l的斜率显然存在，故设直线l的方程为：yk(x2)，联立，消去y并整理得0，所以设所以因为所以(x，y)，当k0时，0，当0时，x因为1，所以xy1，所以1，所以当且仅当k时取等号，且k满足0，所以综上【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题21已知函数f(x)其中e为自然对数的底数（1）若函数f(x)的极小值为1，求a的值；（2）若a1，证明：当x0时，f(x)2xxln(x1)0成

28、立【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到elnaa10，令m(x)elnxx1(0xe)，根据函数的单调性求出a的值即可；（2）令g(x)求出令q(x)xln(x1)，(x0)，求出xln(x1)，从而证明结论【解答】解：（1）函数f(x)的定义域是R，f(x)a0时，f(x)0对xR恒成立，f(x)在R递减，函数无极值，0ae时，令f(x)0，解得：令f(x)0，解得：f(x)在递减，在递增，x时，f(x)取极小值1，1，即elnaa10，令m(x)elnxx1(0xe)，则m(x)0xe，m(x)0，m(x)在(0，e)递增，m(1)0，a1；（2）a1，f(x)令g(x)g(x)令h(x)令h(x)0，解得：xln2，令h(x)0，解得：xln2，故h(x)在0，ln2）递增，在(ln2，)递增，xln2时，h(x)取极小值，又h(0)3e0，h(1)0，存在使得0，g(x)在0，x_(0)）递增，在递减，在(1，)递增，g(0)g(1)0，0，x0时即令q(x)xln(x1)，(x0)，则q(x)对于x0恒成立，q(x)在0，）递增，q(x