西安交大高数44PPT学习教案

1、会计学1 西安交大高数西安交大高数44 有理函数的定义：有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. . mm mm nn nn bxbxbxb axaxaxa xQ xP 1 1 10 1 1 10 )( )( 其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数； n aaa, 10 及及 m bbb, 10 都是实数，并且都是实数，并且0 0 a，0 0 b. 第1页/共36页 假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式 ,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式； ,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除

2、法, 假分式可以化成一个假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和. 例例 1 1 2 3 x xx . 1 1 2 x x 难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和. 第2页/共36页 （1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后，则分解后 为为 k ax)( , )()( 1 21 ax A ax A ax A k kk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中其中 k AAA, 21 都是常数都是常数. 特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为; ax A 第3页/共36页 （2）分母中若有因式）分母

3、中若有因式 ，其，其 中中 k qpxx)( 2 则分解后为则分解后为04 2 qp qpxx NxM qpxx NxM qpxx NxM kk kk 212 22 2 11 )()( 其中其中 ii NM ,都是常数都是常数), 2 , 1(ki . 特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为; 2 qpxx NMx 第4页/共36页 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法 65 3 2 xx x )3)(2( 3 xx x , 32 x B x A ),2()3(3 xBxAx ),23()(3BAxBAx , 3)23( , 1 BA BA , 6 5 B

4、A 65 3 2 xx x . 3 6 2 5 xx 例例1 1 第5页/共36页 2 )1( 1 xx , 1)1( 2 x C x B x A )1()1()1(1 2 xCxBxxA 代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA, 取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B 取取, 2 x并将并将 值代入值代入)1(1 C . 1 1 )1( 11 2 xxx 2 )1( 1 xx 例例2 2 第6页/共36页 例例3 3 . 1 5 1 5 2 21 5 4 2 x x x )1)(21( 1 2 xx ),21)()1(1 2 xCBxxA ,)2()2(1 2 ACxCBxBA ,

5、 1 , 02 , 02 CA CB BA , 5 1 , 5 2 , 5 4 CBA , 121 2 x CBx x A )1)(21( 1 2 xx 整理得整理得 第7页/共36页 例例4 4 求积分求积分 . )1( 1 2dx xx dx xx 2 )1( 1 dx xxx 1 1 )1( 11 2 dx x dx x dx x 1 1 )1( 11 2 .|1|ln 1 1 |lnCx x x 解解 第8页/共36页 例例5 5 求积分求积分 解解 . )1)(21( 1 2 dx xx dx x x dx x 2 1 5 1 5 2 21 5 4 dx xx)1)(21( 1 2

6、dx x dx x x x 22 1 1 5 1 1 2 5 1 |21|ln 5 2 .arctan 5 1 )1ln( 5 1 |21|ln 5 2 2 Cxxx 第9页/共36页 例例6 6 求积分求积分 解解 . 1 1 632 dx eee xxx 令令 6 x et ,ln6tx , 6 dt t dx dx eee xxx 632 1 1 dt tttt 6 1 1 23 dt ttt )1)(1( 1 6 2 dt t t tt 2 1 33 1 36 第10页/共36页 Ctttt arctan3)1ln( 2 3 )1ln(3ln6 2 dt t t tt 2 1 33 1

7、 36 .)arctan(3)1ln( 2 3 )1ln(3 636 Ceeex xxx 2 3 )1ln(3ln6 ttdt tt td 22 2 1 1 3 1 )1( 第11页/共36页 说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：现三类情况： ) 1 ( 多项式；多项式； ; )( )2( n ax A ; )( )3( 2n qpxx NMx 讨论积分讨论积分 , )( 2 dx qpxx NMx n , 42 2 2 2 p q p xqpxx 令令t p x 2 第12页/共36页 , 4 2 2 p qa , 2 Mp Nb 则则

8、 dx qpxx NMx n )( 2 dt at Mt n )( 22 dt at b n )( 22 , 222 atqpxx , bMtNMx 记记 第13页/共36页 , 1)2( n dx qpxx NMx n )( 2 122 )(1(2 n atn M . )( 1 22 dt at b n 这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数. 结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. . , 1)1( n dx qpxx NMx 2 )ln( 2 2 qpxx M ; 2 arctanC a p x a b 第14页/共

9、36页 三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR 2 cos 2 sin2sin xx x 2 sec 2 tan2 2 x x , 2 tan1 2 tan2 2 x x , 2 sin 2 coscos 22 xx x 第15页/共36页 2 sec 2 tan1 cos 2 2 x x x , 2 tan1 2 tan1 2 2 x x 令令 2 tan x u , 1 2 sin 2 u u x , 1 1 cos 2 2 u u x uxarctan

10、2 du u dx 2 1 2 dxxxR)cos,(sin. 1 2 1 1 , 1 2 22 2 2 du uu u u u R （万能置换公式）（万能置换公式） 第16页/共36页 例例7 7 求积分求积分. cossin1 sin dx xx x 解解, 1 2 sin 2 u u x 2 2 1 1 cos u u x , 1 2 2 du u dx 由万能置换公式由万能置换公式 dx xx x cossin1 sin du uu u )1)(1( 2 2 du uu uuu )1)(1( 112 2 22 第17页/共36页 du uu uu )1)(1( )1()1( 2 22

11、du u u 2 1 1 du u 1 1 uarctan )1ln( 2 1 2 u Cu |1|ln 2 tan x u 2 x | 2 sec|ln x .| 2 tan1|lnC x 第18页/共36页 例例8 8 求积分求积分. sin 1 4 dx x 解（一）解（一）, 2 tan x u , 1 2 sin 2 u u x , 1 2 2 du u dx dx x 4 sin 1 du u uuu 4 642 8 331 C u u uu 3 3 3 3 1 8 1 3 3 . 2 tan 24 1 2 tan 8 3 2 tan8 3 2 tan24 1 3 3 C xx x

12、 x 第19页/共36页 解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令 , 1 sin 2 u u x , 1 1 2 du u dx dx x 4 sin 1 du u u u 24 2 1 1 1 1 du u u 4 2 1 C uu 1 3 1 3 .cotcot 3 1 3 Cxx 第20页/共36页 解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. dx x 4 sin 1 dxxx)cot1(csc 22 xdxxxdx 222 csccotcsc )(cot xd .cot 3 1 cot 3 Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,

13、 便知万能置换不一便知万能置换不一 定是最佳方法定是最佳方法, 故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中 先考虑其它手段先考虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换. 第21页/共36页 讨论类型讨论类型),( n baxxR ),( n ecx bax xR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. . 例例9 9 求积分求积分 dx x x x 11 解解 令令t x x 1 , 1 2 t x x 第22页/共36页 , 1 1 2 t x , 1 2 2 2 t tdt dx dx x x x 11 dt t t tt 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 t dtt

14、 dt t 1 1 12 2 C t t t 1 1 ln2 .1 1 ln 1 2 2 C x x x x x 第23页/共36页 例例1010 求积分求积分 . 11 1 3 dx xx 解解 令令1 6 xt,6 5 dxdtt dx xx 3 11 1 dtt tt 5 23 6 1 dt t t 1 6 3 Ctttt |1|ln6632 23 .)11ln(6131312 663 Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数. 第24页/共36页 例例1111 求积分求积分 . 1213 dx xx x 解解先对分母进行有理化先

15、对分母进行有理化 原式原式 dx xxxx xxx )1213)(1213( )1213( dxxx)1213( )13(13 3 1 xdx)12(12 2 1 xdx .)12( 3 1 )13( 9 2 2 3 2 3 Cxx 第25页/共36页 简单无理式的积分简单无理式的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能） 第26页/共36页 思考题思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将

16、分式分解成部分分式之和时应注意什么？ 第27页/共36页 思考题解答思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式. 第28页/共36页 一一、 填填空空题题： 1 1、 dx xx CBx x A dx x111 3 23 ，其其 A _ _ _ _ _, , B _ _ _ _ _ _ _ _ _ , , C_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 dx x C x B x A dx xx x 11 111 1 22 2 , , 其其中中 A _ _ _ _ _ _, , B _ _ _ _ _ _, , C _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3

17、、计计算算 , sin2x dx 可可用用万万能能代代换换 xsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, , dx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、计计算算 , mbax dx 令令 t _ _ _ _, , x _ _ _ _, , dx _ _ _ _ _ . . 练习题练习题 第29页/共36页 5 5、有有理理函函数数的的原原函函数数都都是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . 二二、求求下下列列不不定定积积分分： 1 1、 321xxx xdx ； 2 2、 xxx dx 22 1 ； 3 3、 dx x 4 1 1 ； 4 4、

18、 x dx 2 sin3 ； 5 5、 5cossin2xx dx ； 6 6、 dx x x 11 11 ； 7 7、 x dx x x 1 1 ； 8 8、 3 42 )1()1(xx dx . . 第30页/共36页 三三、求求下下列列不不定定积积分分（用用以以前前学学过过的的方方法法） ： 1 1、 dx x x 3 1 ； 2 2、 dx xx x sin cos1 ； 3 3、 24 1xx dx ； 4 4、 dx x x 3 2 cos sin ； 5 5、 dx x x 28 3 )1( ； 6 6、 dx x x sin1 sin ； 7 7、 dx xxx x )( 3

19、3 ； 8 8、 dx e xe x x 2 )1( ； 9 9、 dxxx 22 )1ln( ； 1 10 0、 xdxx arcsin1 2 ； 1 11 1、 dx xx xx cossin cossin ； 1 12 2、 )(xbax dx . . 第31页/共36页 二二、1 1、C xx x 3 4 )3)(1( )2( ln 2 1 ； 2 2、Cx xx x arctan 2 1 )1()1( ln 4 1 22 4 ； 3 3、)12arctan( 4 2 12 12 ln 8 2 2 2 x xx xx C )12arctan( 4 2 ； 一、一、1 1、2,1,1 ； 2 2、-1,-1, 2 1 , 2 1 ；3 3、 22 1 2 , 1 2 u du u u ； 4 4、bax , , a bt 2 , ,dt a