13空间几何体的表面积与体积 (2)

1、 (1)(1)矩形面积公式：矩形面积公式： _。 (2)(2)三角形面积公式：三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：正三角形面积公式：_。 (3)(3)圆面积公式：圆面积公式：_。 (4)(4)圆周长公式：圆周长公式： _。 (5)(5)扇形面积公式：扇形面积公式：_。 (6)(6)梯形面积公式：梯形面积公式： _。 为扇形圆心角）( 2 1 r 360 2 rlS 面积面积: :_。 平面图形所占平面的大小。平面图形所占平面的大小。 注：扇形面积公式可以类比到三角形面积公式：_。 所谓所谓表面积表面积，是指几何体表面的面，是指几何体表面的面积，也即是积，也即是立体立体 图形的所能触摸到的面

2、积之和。怎样理解棱柱、棱图形的所能触摸到的面积之和。怎样理解棱柱、棱 锥、棱台的表面积？锥、棱台的表面积？ 各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积. . 表面积表面积= =侧面积侧面积+ +底面积底面积 如何用展开图来计算棱柱、棱锥、棱台的表面积？如何用展开图来计算棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 侧面展开图的构成几何体的侧面展开图 一组平行四边形 一组梯形 一组三角形 2底面积+ 侧面积 几何体表面积 底面积+侧面积 上底面积+下底 面积+侧面积 注意：将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面 图形求面积的方法求立体图形的表面积。 例例1、（、（课本课本P

3、P24 24 ）已知棱长为 ）已知棱长为a，各面均为等边三，各面均为等边三 角形的四面体角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D 分析：四面体有四个面，由四个分析：四面体有四个面，由四个全等全等的的正正三角形组成。三角形组成。 因为因为SB=a，aSBSD 2 3 60sin 所以：所以： 2 4 3 2 3 2 1 2 1 aaaSDBCS ABC 因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积 交交BC于点于点D 解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作SBCBCSD B C A S a 2 3a 例例2 2、下图是一个几何体的三视图、下图是一个几何体的三视图(

4、 (单位单位:cm):cm)想想 象对应的几何体，并求出它的表面积。象对应的几何体，并求出它的表面积。 6 6 10 10 8 10 解：直观图解：直观图 是四棱台是四棱台, ,侧侧 面是四个全面是四个全 等的梯形等的梯形, ,上上 下底面为不下底面为不 同的正方形同的正方形 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 直观图直观图 cmS172 2 6-10 8 2 2 侧高 2 1764 2 172106 44cmSS 梯侧 底侧表 SSS 1010661764 2 1361764cm 旋转体的表面积旋转体的表面积 1 1、圆柱、圆柱 一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面一般地

5、，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面 图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面 图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积. . 圆柱的侧面展开图是一个矩形底面是圆形 2、圆锥 侧面展开图是一个扇形：侧面展开图是一个扇形： 底面是圆形：底面是圆形： 3 3、圆台、圆台 底面是圆形：底面是圆形： 侧面展开图是侧面展开图是 一个扇状环形：一个扇状环形： 扇环面积公式可以类比到梯形 面积公式： lrr)( xrxlr 2 2 1 )(2 2 1 S 圆台侧 )(xrrrl ,

6、 lx x r r rr lr x 代入，得 lrr rr lr rrrlS)( （ 圆台侧 r r l r 2 r2 x 圆台侧面积公式的推导 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积圆柱、圆锥、圆台三者的表面积 公式之间有什么关系？公式之间有什么关系？ rr 0 r )( 22 rll rrrS 圆台：圆台： 圆柱：圆柱：)(2lrrS )(lrrS 圆锥：圆锥： 1 1、一个圆柱形锅炉的底面半径为、一个圆柱形锅炉的底面半径为1 1米米, ,侧面展开图为正侧面展开图为正 方形，则它的表面积为多少？方形，则它的表面积为多少？ 2 2、以直角边长为、以直角边长为1 1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋的等腰

7、直角三角形的一直角边为轴旋 转，所得旋转体的表面积为多少？转，所得旋转体的表面积为多少？ 3 3、圆台的上、下底面半径分别是、圆台的上、下底面半径分别是5cm5cm和和10cm10cm，母线长为，母线长为 10cm10cm，则侧面展开图扇环的面积为多少？，则侧面展开图扇环的面积为多少？ r r l r 2 r2 x 空间几何体的体积 体积体积: :几何体所占空间的大小。几何体所占空间的大小。 1 1、棱柱和圆柱的体积、棱柱和圆柱的体积 柱体的体积公式：柱体的体积公式： V=ShV=Sh 底面积底面积S S 高高h h 2、棱锥和圆锥的体积、棱锥和圆锥的体积 AB C D E O S 底面积底面

8、积S S 高高h h ShV 3 1 锥体的体积公式： 3、棱台和圆台的体积 hSSSSV)( 3 1 台体的体积公式： 高高h h 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么 关系？关系？ hSSSSV)( 3 1 S为底面面为底面面 积，积，h为柱为柱 体高体高 ShV 0S S、S分别为分别为 上、下上、下底面底面 面积，面积，h 为为 台体高台体高 ShV 3 1 SS S为底面面为底面面 积，积，h为锥为锥 体高体高 上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 ?)14. 3( ,10,10,12 ,8 . 5)( )/8 . 7( 3 3 取大约有多少个 问这堆

9、螺帽高为内孔直径边长为 已知底面是正六边形共重如下图六角螺帽 铁的密度是有一堆规格相同的铁制例 mmmmmm kg cmg 课本课本P P26 26 课本课本P P29 29 习题 习题1.3 1.3 第第4 4题题 3 3 4 RV O B A 2 4 RS 设球的半径为设球的半径为R R，则有体积公式和表面积公式：，则有体积公式和表面积公式： R 球的体积和表面积球的体积和表面积 4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. . 2 4 22:1 3 4:1 1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原

10、来的_倍倍. 2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍. 3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_. 课堂练习课堂练习 解:设球的半径为R，则圆柱的底面 半径为R，高为2R. 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 3 2 ， 球 3 3 4 RV 圆柱球 所以，VV 3 2 1)因为 32 22RRRV 圆柱 ， 球 2 4 RS 圆柱侧球 所以，SS 2)因为 2 422RRRS 圆柱侧 例例2.2.如图，正方体如图

11、，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各 个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积和体积。的表面积和体积。 A AB B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。 aR aaR DDBRt 2 3 ,)2()2( : 222 11 得 中略解： A A

12、B B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 例题讲解例题讲解 222 a3 2 3 44） a （RS球 33 a 2 3 a 2 3 3 4 V）（ 球 例例4.4.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个 顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。 A AB B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O A AB B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1

13、O O 分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 略解： 22 222 11 11 34 2 3 ,)2()2( 22 : aRS aRaaR aDBRDB DDBRt 得得： ， 中中 变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。 变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。 2 a 2 2 a 关键关

14、键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系 3.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于 正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这求这 三个球的体积之比三个球的体积之比_. 作轴截面作轴截面 题型二题型二 旋转体的表面积及其体积旋转体的表面积及其体积 如图所示如图所示, ,半径为半径为R R的半圆内的的半圆内的 阴影部分以直径阴影部分以直径ABAB所在直线为轴所在直线为轴, ,旋旋 转一周得到一几何体转一周得到一几何体, ,求该几何体的求该几何体的 表面积表面积( (其中其中BACBA

15、C=30=30) )及其体积及其体积. . 先分析阴影部分旋转后形成几何体的先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状形状, ,再求表面积再求表面积. . 解解 如图所示如图所示, , 过过C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1, ,在半圆中可得在半圆中可得 BCABCA=90=90, ,BACBAC=30=30, ,ABAB=2=2R R, , ACAC= = , ,BCBC= =R R, , S S球 球=4 =4R R2 2, , R3 , 2 3 1 RCO , 2 311 2 3 2 3 4 , 2 3 2 3 , 2 3 3 2 3 2222 11 2 1 2 1 RRRR

16、SSSS RRRS RRRS BOAO BO AO 侧圆锥侧圆锥球几何体表 侧圆锥 侧圆锥 . 2 311 2 R 表面积为旋转所得到的几何体的 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割， 然后利用有关公式进行计算然后利用有关公式进行计算. . . 6 5 2 1 3 4 )( 4 1 3 1 4 1 3 1 , 3 4 333 11 1 22 11 1 1 22 11 1 3 RRR VVVV BORCOBOV AORCOAOVRV BOAO BO AO 圆锥圆锥球几何体 圆锥 圆锥球

17、 又 解关于表面积、体积问题常用方法：解关于表面积、体积问题常用方法： （1 1）分割法：一个几何体的体积等于它的各部分体积之和。）分割法：一个几何体的体积等于它的各部分体积之和。 （2 2）补体法：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补）补体法：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补 成易求体积的几何体，如长方体、正方体等成易求体积的几何体，如长方体、正方体等. .另外由台体的定义，另外由台体的定义， 我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积. .补台成锥是常补台成锥是常 见的解决台体侧面积与体积的方法见的解决台体侧面积与体积的方法, , （3 3）等积）等积变换变换法：法： 相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底 （注意：（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面）；液状物体的）；液状物体