函数的微分PPT课件

1、 一、问题的提出一、问题的提出 实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 0 xA 0 x 0 x , 00 xxx 变到变到设边长由设边长由 , 2 0 xA 正方形面积正方形面积 2 0 2 0 )(xxxA .)(2 2 0 xxx )1()2( ;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1( :)2( x x 2 )( x xx 0 xx 0 再例如再例如, ., 0 3 yx xxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为 处的改变量处的改变量在点在点设函数设函

2、数 3 0 3 0 )(xxxy .)()(33 32 0 2 0 xxxxx )1()2( ,很很小小时时当当 x .3 2 0 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是 既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值 问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否 所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求? 二、微分的定义二、微分的定义 定义定义 .),( ,)( ,)( ),( )()()( , ,)( 00 0 0 0 00 00 xAdyxdfdy xxxfy xAxxfy xA xoxAxfx

3、xfy xxx xfy xxxx 即即或或记作记作 的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点 为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点 则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立 如果如果在这区间内在这区间内及及 在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数 .的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) ) 由定义知由定义知: : ;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dy y

4、 xA xo )( 1).0(1x ;)(,)4( 0有关 有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx 三、可微的条件三、可微的条件 ).(,)( )( 00 0 xfAxxf xxf 且且处可导处可导在点在点数数 可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理 证证(1) 必要性必要性,)( 0可微 可微在点在点xxf ),( xoxAy , )( x xo A x y x xo A x y xx )( limlim 00 则则.A ).(,)( 00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数 (2) 充

5、分性充分性 ),()( 0 xxxfy 从从而而 ,)( 0 xf x y 即即 ,)( 0可 可导导在在点点函函数数xxf ),(lim 0 0 xf x y x ),0(0 x ),()( 0 xoxxf .)(,)( 00 Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数 ).(. 0 xfA 可可微微可可导导 .)(),(, ,)( xxfdyxdfdy xxfy 即即或或记记作作微微分分 称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数 例例1 1 解解 .02. 0, 2 3 时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxy xxdy )( 3 .3 2 xx 02. 0 2 2 02

6、. 0 2 3 x x x x xxdy .24. 0 ., , xdxdx xx 即即记作记作 称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量 .)(dxxfdy ).(xf dx dy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数 之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy 四、微分的几何意义四、微分的几何意义 )(xfy 0 x M N T dy y )( xo ） x y o x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ) . , 对应的增量对应的增量 就是切线纵坐标就是切线纵坐标 坐标增量时坐标增量时 是曲线的纵是曲线的纵当当

7、 dy y xx 0 P . , MNMP Mx 可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段 的的附附近近在在点点很很小小时时当当 五、微分的求法五、微分的求法 dxxfdy) ( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 xdxxxdxdxxxd xdxxdxdxxd xdxxdxdxxd dxxxdCd cotcsc)(csctansec)(sec csc)(cotsec)(tan sin)(coscos)(sin )(0)( 22 1 dx x xddx x xd dx x xddx x xd

8、dx x xddx ax xd dxeedadxaad a xxxx 22 22 1 1 )cot( 1 1 )(arctan 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin 1 )(ln ln 1 )(log )(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 2 )()( )()( v udvvdu v u dudvvduuvd CduCuddvduvud arc 例例2 2 解解 .),ln( 2 dyexy x 求求设设 , 21 2 2 x x ex xe y . 21 2 2 dx ex xe dy x x 例例3 3 解解 .,cos 31 dyxe

9、y x 求求设设 )(cos)(cos 3131 xdeedxdy xx .sin)(cos,3)( 3131 xxee xx dxxedxexdy xx )sin()3(cos 3131 .)sincos3( 31 dxxxe x 六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性 ;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若 则则微微函函数数 的的可可即即另另一一变变量量是是中中间间变变量量时时若若 ),( ,)2( tx tx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数 dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论： 的微分形式总是的微分形式总是 函数函数是

10、自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论 )( , xfy x 微分形式的不变性微分形式的不变性 dxxfdy) ( 例例5 5 解解 .,sindybxey ax 求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedy axax dxaebxbdxbxe axax )(sincos .)sincos(dxbxabxbe ax 例例4 4 解解 .),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuy ududycos )12()12cos( xdx dxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例6 6 解解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填

11、入适当的函数,使使 等式成立等式成立. (1) ()(2) ()cos;.dxdxdtdt (2)(sin)cos,dttdt )(sin 1 costdtdt .cos)sin 1 (tdtCtd );sin 1 (td 2 (1)()2,d xxdx 2 2 1 ()() 22 x xdxd xd 2 () 2 x dCxdx 方程两边求微分, 得 已知, yx exy 求.d y 解解： xyyxdd yd )d(dyxe yx x ex ey yx yx d 例例7 7 例例8. 设设 ()(0) y d exyed 0 y e dyxdyydx )(xyy 由方程 0 y exye

12、确定, d . y dx 解解: : 方程两边求微分,得 求 d . y yy dxxe 1 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值 , , 0)()( 00 很小时很小时 且且处的导数处的导数在点在点若若 x xfxxfy 例例9 9 ?,05. 0 ,10 问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米 半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径 解解, 2 rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rr rrdA 205. 0102 ).( 2 厘米厘米 .)( 0 xxf 00 xxxx dyy 八、八、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 2

13、、计算函数的近似值、计算函数的近似值 0 (1)( );f xxx 求求在在点点附附近近的的近近似似值值 )()( 00 xfxxfy .)( 0 xxf .)()()( 000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例1010.0360cos o 的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf , 360 , 3 0 xx . 2 3 ) 3 (, 2 1 ) 3 ( ff ) 3603 cos(0360cos o 3603 sin 3 cos 3602 3 2 1 .4924. 0 (2)( )0;f xx 求求在在点点附附近近的的近近似似值

14、值 .)0()0()(xffxf ,)()()( 000 xxfxfxxf ., 0 0 xxx 令令 常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x .)1ln()5( ;1)4();(tan)3( );(sin)2(; 1 11)1( xx xexxx xxxx n x x n 为为弧弧度度 为为弧弧度度 证明证明 ,1)()1( n xxf 设设 ,)1( 1 )( 1 1 n x n xf . 1 )0(, 1)0( n ff xffxf)0()0()( .1 n x 例例1111.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值 解解 .)2(;5 .998)1( 03. 0 3 e 33 5

15、. 110005 .998)1( 3 ) 1000 5 . 1 1(1000 3 0015. 0110 )0015. 0 3 1 1(10 .995. 9 03. 01)2( 03. 0 e.97. 0 例12. 有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球 , 为了提高球面的光洁度, 解解: 已知球体体积为 3 3 4 RV 镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,V VVd 01. 0 1 R R RR 2 4 01. 0 1 R R )(cm13. 0 3 因此每只球需用铜约为 16. 113. 09 . 8 ( g ) 用铜多少克 . )cmg9 . 8:( 3 铜的密度 估计

16、一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 3、误差估计、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差. 定义：定义： ., , 的绝对误差的绝对误差叫做叫做那末那末为为 它的近似值它的近似值如果某个量的精度值为如果某个量的精度值为 aaAa A .的相对误差的相对误差叫做叫做的比值的比值而绝对误差与而

17、绝对误差与a a aA a 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得? 办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. . . , , , , 的相对误差限的相对误差限 叫做测量叫做测量而而的绝对误差限的绝对误差限叫做测量叫做测量那末那末 即即又知道它的误差不超过又知道它的误差不超过 测得它的近似值是测得它的近似值是如果某个量的精度值是如果某个量的精度值是 A a A aA aA A A A A 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误 差差与与相对误差相对误差. 例例1212 . ,00

18、5. 041. 2 误误差差并并估估计计绝绝对对误误差差与与相相对对 求求出出它它的的面面积积米米正正方方形形边边长长为为 解解 则则面面积积为为设设正正方方形形边边长长为为,yx . 2 xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2( 22 my 41. 241. 2 2 xx xy .82. 4 ,005. 0 x 边边长长的的绝绝对对误误差差为为 005. 082. 4 y 面面积积的的绝绝对对误误差差为为 ).(0241. 0 2 m y y 面积的相对误差为面积的相对误差为 8081. 5 0241. 0 %.4 . 0 七、小结七、小结 微分学所要解决的两类问题微

19、分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题函数的变化率问题 函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念 导数的概念导数的概念 求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做叫做微分学微分学. 导数与微分的联系导数与微分的联系:.可可微微可可导导 导数与微分的区别导数与微分的区别: ., ,)( ),()(. 1 00 00 它是无穷小它是无穷小实际上实际上定义域是定义域是 它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分 处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数 R xxxxfdy xfx

20、xf )(limlim 00 00 xxxfdy xxxx . 0 . )(,()()( )(,)(,( )()(,. 2 0 000 000 0 的的纵纵坐坐标标增增量量方方程程在在点点 处处的的切切线线在在点点是是曲曲线线 而而微微处处切切线线的的斜斜率率点点 在在是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看 x xfxxfyxx xfdyxfx xfyxf 近似计算的基本公式近似计算的基本公式 .)0()0()(xffxf 00 xxxx dyy .)( 0 xxf ),()()()( 000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x ,0时时当当 x 思考题思考题 因因为为一一元元函函

21、数数)(xfy 在在 0 x的的可可微微性性与与 可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导 数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？ 思考题解答思考题解答 说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 思考与练习 1. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点 0 x处的 yy ,d及,dyy 并说明其正负 . yd0 xx 0 0 xx y o y0 0yyd 2. 设设)(xyy 由方程063sin 33 yxyx确定, .d 0 x y 解解: 方程两边求微分, 得 xx d3 2 当0 x时,0y由上式得xy x d 2 1 d 0 求 yy d3 2 xx