拉普拉斯变换在系统分析中的应用

1、1 第六章第六章 复频域系统函数复频域系统函数 6-1 复频域系统函数定义与分类复频域系统函数定义与分类 )(*)(thtfty f 一、定义：一、定义： 零状态响应象函数零状态响应象函数 即：激励为即：激励为est 时，时， H(s) 为系统零状态响应的为系统零状态响应的加权函数加权函数。 意义：意义： 3）系统）系统s域数学模型，取决于系统自身结构和参数域数学模型，取决于系统自身结构和参数 sHth) 1 )( )( )( sF sY sH f 激励信号象函数激励信号象函数 时，当 st etf)()2 st f esHty)()( 系统单位冲激响应的拉氏变换系统单位冲激响应的拉氏变换 d

2、ehe sts )( )( 2 二、分类：二、分类： 策动点函数：策动点函数：激励与响应在同一端口激励与响应在同一端口 策动点策动点导纳导纳 策动点策动点阻抗阻抗 转移函数：转移函数：激励和响应激励和响应不不在同一端口在同一端口 )( )( )( 1 2 sU sI sH )( )( )( 1 2 sI sU sH )( )( )( 1 2 sU sU sH )( )( )( 1 2 sI sI sH )( )( 2 2 sI sU sZout )( )( 2 2 sU sI sYout )( )( 1 1 sI sU sZ in )( )( 1 1 sU sI sYin （传输函数）（传输函

3、数） 3 三、系统函数三、系统函数H(s) 求法求法 1、h(t) H(s) 2、H(s) =H(p)|p=s )(9)(3)(8)(7)(6)(tftftftytyty )()938()()76( 22 sFsssYss 76 938 )( 2 2 ss ss sH 3、零状态下零状态下微分方程微分方程 H(s) 4、零状态下零状态下复频域电路模型复频域电路模型 H(s) 5、系统模拟框图、信号流图系统模拟框图、信号流图 H(s) dt tdf dt tfd ty dt tdy dt tyd)( 6 )( 2)(6 )( 5 )( 2 2 2 2 )()1 ()(tUetf t ) 3)(2

4、( ) 3( 2 )( ss ss sH或或 练习练习1：已知某系统模型为已知某系统模型为 求求系统函数系统函数H(s) )()62()()65( 22 sFsssYss 65 62 )( )( )( 2 2 ss ss sF sY sH 2 2 ) 1 11 ()()()( s s ss sHsFsY 2 2 1 12 ss s 4 练习练习2: 图示电路图示电路求系统函数求系统函数H(s)。 12)( )( )( 2 1 ss s sF sI sH 12 1 )( )( )( 2 2 sssF sU sH C 由由S域电路，有域电路，有 )()() 1 2(sFsI s s s s s s

5、F sUc 1 ) 1 2( )( )( 又又 练习练习3：已知系统模拟框图如右图已知系统模拟框图如右图 示，写出系统函数。示，写出系统函数。 3 1 )( )( )( ssF sY sH )(tx 5 一、应用：一、应用： 6-2 系统函数系统函数H(s)的应用的应用 yx(t) 3）求系统零输入响应）求系统零输入响应yx(t): )( 1 sHLth )( )( )( sD sN sH js sHjH )()( (系统自然频率系统自然频率) )()( 1 sFsHLtyf 0)(sD ps sHpH )()( 2）求系统零）求系统零 状态响应状态响应yf(t): 1）求系统单位冲激响应）求

6、系统单位冲激响应 h(t): 4）求系统微分方程）求系统微分方程: 微分方程微分方程 条件条件: H(s)收敛域含收敛域含j 轴轴 5）求系统频率特性）求系统频率特性H(j ): 6 6）求系统正弦稳态响应）求系统正弦稳态响应: 例例1： )( )()( j ejHjH )cos()( 0 tAtf m )(cos)()( 000 tAjHty m稳 则 7）求周期激励下系统的稳态响应）求周期激励下系统的稳态响应: 8）判断系统稳定性）判断系统稳定性 9）系统模拟仿真）系统模拟仿真 10）系统零极点分析）系统零极点分析 )()()( 21 sHsHsH )()()( 21 sHsHsH )()

7、(tyty f 稳 求级联系统的系统函数求级联系统的系统函数H(s); 求并联系统的系统函数求并联系统的系统函数H(s)。 7 34 )( 2 ss s sH 例例2： 线性时不变电路的模型如下，且已知激励线性时不变电路的模型如下，且已知激励i(t)=U(t)，响应为，响应为u(t)，且，且 iL(o-)=1A，uc(o-)=1V。求求: 1) H(s)； 2) h(t)； 3) 全响应全响应u(t)。 解：解： 零状态分量零状态分量 1) 零状态下求零状态下求H(s) s sI 1 )( )() 2 1 2 3 ()( 3 tUeeth tt 3) 求全响应：求全响应： 2）求单位冲激响应）

8、求单位冲激响应 h(t) )()( 1 sIsHLtuf )() 2 1 2 1 ( 3 tUee tt 8 零输入分量零输入分量 tt x BeAetu 3 )( 全全响应：响应： BAux )0( 1 BAux 3)0(3 t x etu 3 )( )()()(tututu fx )() 2 1 2 1 ( 33 tUeee ttt ) 3)(1(34 )( 2 ss s ss s sH iL(o-)=1A，uc(o-)=1V 0 2 1 2 1 3 tee tt s sss s sU x /1) 3 2( 2/32 /11 )( 或或 3 1 s t x etu 3 )( 9 例例3：确

9、定图示系统频率特性。确定图示系统频率特性。 sC 1 R sU1 sU2解：解： )( )( 1 2 sU sU sH js sHjH)( 因为因为H(s)收敛域含收敛域含j 轴，故有轴，故有 RC s s 1 RC j j 1 1 1 1 1 j j eM eN 1 1 )( M N jH 11 )( arctgRC 2 2 2 1 RC 0246810 0 0.5 1 1.5 2 1 2 11 00 jH jH RC jH 0 4 1 2 0 RC RC 1 10 例例4：某系统的系统函数为某系统的系统函数为 解：解： 22 4 2 ss s sH 1) 1( )( 4 2 j j jH

10、1） H(s)收敛域收敛域 求频率特性和激励求频率特性和激励f(t)=100cos(2t+45)时系统的正弦稳态响应时系统的正弦稳态响应y(t)。 2 4 4 jH 2 2 2 2 arctg 2 791 24 24 2 2 .jH 57.26 22 22 2 2 2 arctg )2(2cos)2()(tjHAty m )57.26452cos179t 含含j 轴，有轴，有 js sHjH)( 1 )452cos(100)()2 ttf 11 )()()( )()()( )( )( )( 21 21 nk mj pspspsps zszszszs K sB sA sH n k k m j j

11、 ps zs K 1 1 )( )( :, m zzz 21 系系统统函函数数的的零零点点 :, 21n ppp 系系统统函函数数的的极极点点 例例1： )2)(2()1( )11)(11( )( 2 jsjss jsjss sH 极点：极点：2,2, 1 4321 jpjppp 零点：零点： jzjzz1,1, 0 321 特点：特点： 极点决定系统的固有频率或自然频率。极点决定系统的固有频率或自然频率。 零、极点决零、极点决 定于系统时域特性。定于系统时域特性。 12 )2)(2()1( )11)(11( )( 2 jsjss jsjss sH j 0 j 1 j 1 2j 2j 1 零极

12、点图：零极点图： 在在 s 平平面面上上，画画出出H s ( )的的零零极极点点图图： 极极点点：用用表表示示，零零点点：用用表表示示。 （2） 研究系统零极点意义：研究系统零极点意义： 1.可预测系统的可预测系统的时域特性时域特性； 2. 确定系统函数确定系统函数H(s); 3.描述系统的描述系统的频响特性；频响特性； 4. 说明系统说明系统正弦稳态特性正弦稳态特性； 5.研究系统的研究系统的稳定性稳定性。 练习：练习：H(s)H(s)的零极点分布如图示，且的零极点分布如图示，且H(0)=4H(0)=4，求，求H(s)H(s)。 ) 4(3)(1( ) 5 . 2( 4 )( sss s s

13、H ） 13 零极点图几何意义：零极点图几何意义： 0 j z j j N j 极极点点： j i j ie M + i p j i M i p j z j N j i 0 j j j zeNj j ：零零点点 )()()( )()()( )( )( )( 21 21 nk mj pspspsps zszszszs K sB sA sH 14 ii p t i i eK 1、H(s)极点在极点在s左半平面左半平面 单实极点：单实极点： 共轭极点：共轭极点： iiii jp 1, )cos( ii t i teK i 重实极点：重实极点： 重共轭极点：重共轭极点： iii pp 1 iiii j

14、p 1, iiii jp 1, t ii i etKK )( 1 )cos()cos( 11 ii t iii t i tteKteK ii XX (2) X X X(2) X(2) 15 2、H(s)极点在极点在s右半平面右半平面 ii p t i i eK 单实极点：单实极点： 共轭极点：共轭极点： iiii jp 1, )cos( ii t i teK i 重实极点：重实极点： 重共轭极点：重共轭极点： iii pp 1 iiii jp 1, iiii jp 1, t ii i etKK )( 1 )cos()cos( 11 ii t iii t i tteKteK ii X X X X

15、 (2) X(2) X(2) 16 3、H(s)极点在极点在j 轴轴 0 i p )(tU单实极点：单实极点： 共轭极点：共轭极点： iiii jp 1, )cos( iii tK 重实极点：重实极点： 重共轭极点：重共轭极点： 0 1 ii pp iii jp 1, iii jp 1, )()( 1 tUtKK ii )cos()cos( 11 iiiiii ttKtK X(2) X(2) X X X (2) 17 1) h(t)1) h(t)随时间变化的规律取决于随时间变化的规律取决于H(s)H(s)的极点分布的极点分布 位于左半平面极点对应：暂态分量位于左半平面极点对应：暂态分量 位于右

16、半平面极点对应：不稳定分量位于右半平面极点对应：不稳定分量 位于位于j j 轴单极点对应：轴单极点对应： 有界稳态分量有界稳态分量 位于位于j j 轴轴重重极点对应：极点对应： 不稳定分量不稳定分量 2) h(t)2) h(t)幅值大小、相位等取决于幅值大小、相位等取决于H(s)H(s)的零点、极点的零点、极点 3) 3) 稳定工作系统应满足：稳定工作系统应满足： 0)(,tht 所以，系统稳定的条件：所以，系统稳定的条件： H(s)极点全部位于极点全部位于 s左半平面左半平面。 18 三、三、H(s)零、极点分布与系统的频率特性零、极点分布与系统的频率特性 n i i m j j jsn i

17、 i m j j js pj zj K Ps zs KsHjH 1 1 1 1 可可见见 jH的的特特性性与与零零极极点点的的位位置置有有关关 极点： j i j ie M + i p j j jj eNzj 令： i j ii eMpj 1 2 1 2 2211 2211 MM NN KjH A j j j zeNj j 零点： 21 21 MM NN KA )()( 2121 其中：其中： 1 N 2 N 1 M 2 M j 19 矢量随频率的变化矢量随频率的变化 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j

18、 N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 j i M i p j z j N j i 0 n m j n jj j m jj eMeMeM eNeNeN KjH 21 21 21 21 )( n m MMM NNN KA 21 21 )( nm 2121 )( )( 21 )( 21 2

19、1 21 n m j n j m eMMM eNNN K )( )( j eA （振幅）（振幅）（相位）（相位） 20 一、系统的方框图一、系统的方框图 2、基本连接方式、基本连接方式 1、基本模拟单元、基本模拟单元Y(s) 并联：并联： 级联：级联： 反馈：反馈： 21 二、系统的信号流图二、系统的信号流图 1、信号流图：、信号流图： 反映系统功能和信号流向的点、线集合图反映系统功能和信号流向的点、线集合图. 点：表示系统的变量或信号，称为节点；点：表示系统的变量或信号，称为节点； 线：表示信号流向的有向线段，称为支路线：表示信号流向的有向线段，称为支路。 基本术语：基本术语： 节点分类：节

20、点分类：源点、汇点、和点、分点；源点、汇点、和点、分点； 支路增益：支路增益：节点间信号的传输函数；节点间信号的传输函数； 通路：通路：从一个节点到另一个节点的路径。从一个节点到另一个节点的路径。 前向通路前向通路 开通路开通路 闭通路闭通路 流图特性：流图特性： 1）信号只能沿支路方向传输；信号只能沿支路方向传输； 2）支路输出为其输入信号与支路增益的乘积；支路输出为其输入信号与支路增益的乘积； 3）节点信号为输入该节点的各支路信号之和。节点信号为输入该节点的各支路信号之和。 x x1 1x x2 2 x x1 1 = FH = FH1 1-H-H4 4x x2 2 x x2 2 = x =

21、 x1 1H H2 2 Y =Y = x x2 2H H3 3+FH+FH5 5 432 321 5 1 )( HHH HHH H F Y sH 例例:由上述由上述 流图求流图求H(s).H(s). 22 三、梅森三、梅森(Meson)公式公式 （由信号流图求系统函数的公式）（由信号流图求系统函数的公式） i i i P sH)( 其中：其中： kjijii LLLLLL1流图特征行列式流图特征行列式 Li 第第i个回路增益；个回路增益； Li Lj 两个互不接触的回路增益乘积之两个互不接触的回路增益乘积之 和和； Li 所有回路增益之和；所有回路增益之和； Li Lj 两个互不接触的回两个互

22、不接触的回 路增益乘积；路增益乘积； Li Lj Lk 三个互不接触的三个互不接触的 回路增益乘积；回路增益乘积； Li Lj Lk 三个互不接触的回路增益乘三个互不接触的回路增益乘 积之和；积之和； Pi 第第i个前向通路增益；个前向通路增益； i 除去第除去第i个前向通路的子图特征行列个前向通路的子图特征行列 式。式。 23 i i i P sH)( 2211 )( PP sH 432 321 5 1HHH HHH H （1） (2) 4 11 例：例：求系统函数求系统函数H(s)。 前向通路前向通路P1 : 前向通路前向通路P2 : 51 HP )(1 421 HH )(1 42H H

23、流图特征行列式流图特征行列式 3212 HHHP 1 2 流图特征行列式流图特征行列式:4 前向通路前向通路P1 : 前向通路前向通路P2 : 前向通路前向通路P3 : 1 1 P9 1 2 2 P1 2 1 3 4 3 P 332211 )( PPP sH 24 （3） GQABGHJGIAB5)1 (4 AEGHABDACGH4)1 (5 )()(1BDCHJIAGAEGQGHJGIABDAC ABP4 11 )(1 11 GHJGI GQABP5 12 1 12 2211 1 )( PP sH GHP5 21 )(1 11 ABDAC AEGHP4 22 1 22 22222121 2

24、)( PP sH 25 四、信号流图的构造四、信号流图的构造 构建途径：构建途径： 1）微分方程；微分方程； 2）模拟框图；模拟框图； 3）电路图。电路图。 )()()()( 001 tfbtyatyaty )()()()( 001 tfbtyatyaty 练习：练习：已知微分方程，画出系统信号流图。已知微分方程，画出系统信号流图。 例例1：已知微分方程求流图。已知微分方程求流图。 )(2)()(3)(4)(5)(tftftytytyty 26 例例2：图示系统，欲使图示系统，欲使H(s)=2，求系统函数，求系统函数H1(s)。 ) 3 (1 11 HH s K 3 )(3)(3)(1 111

25、 s sHKsHssH 1 1 P 1 2 1 1 3 2 s K P )3)()3( 3 )( 1 sKsHs sK sH )3(2 )93( )( 1 sK sK sH 欲使欲使H(s)=2，即：，即： 2 )3)()3( 3 1 sKsHs sK )3)()3(23 1 sKsHssK 27 sCUUI)( 322 sCUUI)( 433 sCUUI)( 211 RIIU)( 212 RIIU)( 323 RIU 34 解：解：找电路变量列方程找电路变量列方程 按电路变量关系画流图按电路变量关系画流图 按要求由梅森公式求按要求由梅森公式求H(s) )( 341 )()(651 )( 2

26、32 RCsRCssC RCsRCsRCs sZin 例例3 3：由电路图确定信号流图，并求电路输入阻抗。由电路图确定信号流图，并求电路输入阻抗。 2 U 2 I 3 U 3 I 4 U 1 I 1 U sC sCsC sCsCsC RR RRR 28 一、直接型：一、直接型：由由H(s)直接根据梅森公式的意义模拟系统。直接根据梅森公式的意义模拟系统。 例：例： 练习：练习： 810 6 )( 2 ss sH )810(1 6 21 2 ss s 直接型直接型 直接型直接型 ssss s sH 12167 32 )( 234 01 2 01 2 2 )( asas bsbsb sH i i i

27、 P sH)( kjijii LLLLLL1 29 二、级联型：二、级联型：H(s)分解为多个简单因式的乘积后模拟系统。分解为多个简单因式的乘积后模拟系统。 例：例： 练习：练习： 3 32 44 11 2 s s sss )3()2( 32 2 sss s ssss s sH 12167 32 )( 234 23 4 )( 2 2 ss ss sH F(s)Y(s) ) 1)(2( )4( ss ss 1 4 2 s s s s 30 三、并联型：三、并联型：H(s)分解为多个简单因式的之和后模拟系统。分解为多个简单因式的之和后模拟系统。 例：例： 练习：练习： 44 2 4 5 3 14/

28、1 2 ss s ss ssss s sH 12167 32 )( 234 23 4 )( 2 2 ss ss sH F(s) Y(s) 1 3 2 4 1 ss 2 )2( 2/1 2 4/5 3 14/1 ssss )3()2( 32 2 sss s 31 四、混合型：四、混合型：有直接型、并联型、级联型组成。有直接型、并联型、级联型组成。 例例： ssss s sH 12167 32 )( 234 44 2/1 2 4/5 )3( )35(4/1 2 ssss s s 说明：说明：1）线性系统的模拟不是唯一的；）线性系统的模拟不是唯一的； 2） 实际模拟需适当调整系统的参数或部分结构。实

29、际模拟需适当调整系统的参数或部分结构。 353 42 )( 23 sss s sH 求系统直接、级联、并联三种模拟框图。求系统直接、级联、并联三种模拟框图。 练习：练习：已知某系统函数为已知某系统函数为 ) 32)(1( ) 2( 2 2 sss s 32 1 1 1 2 ss s s 32 一、定义一、定义 若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的。若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的。 二、稳定性准则二、稳定性准则（充要条件）（充要条件） 可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自身性质之可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自

30、身性质之 一。系统是否稳定与激励信号无关。一。系统是否稳定与激励信号无关。 yf MtyMtf)(,)(则则有有若若即即： 其中：其中：Mf ， My为有限正数为有限正数 Mdtth )( 其中：其中：M为有限正数为有限正数 即：系统的单位冲激响应绝对可积，则系统稳定。即：系统的单位冲激响应绝对可积，则系统稳定。 33 从从时时域域看看，要要满满足足0)( lim th t 1、极点判断、极点判断： )( )( )( sD sN sH0)(sD （1） H(s)极点全部位于极点全部位于s左半平面：左半平面： 系统稳定系统稳定 （2）含有）含有j 轴轴单极点，其余单极点，其余位于位于s左半平面：

31、左半平面：系统临界稳定系统临界稳定 （3）含有）含有s右右半平面或半平面或j 轴重极点轴重极点： 系统不稳定系统不稳定 由系统极点判断由系统极点判断 2、霍尔维茨（、霍尔维茨（Hurwitz）判断法）判断法： 01 1 1 )(asasasasD n n n n 若（若（1）系数无缺项；）系数无缺项； （2）ai0 i=0,1,n 则则 D(s)称为称为霍尔维茨多项式霍尔维茨多项式 系统稳定必要条件：系统稳定必要条件： H(s)H(s)中的中的D(s)D(s)应为应为霍尔维茨多项式。霍尔维茨多项式。 （一、二阶系统充要条件）（一、二阶系统充要条件） 353 42 )( 23 sss s sH

32、34 稳定条件：稳定条件：A 0 、 B0 BAss 2 1 As 1 3、罗斯（、罗斯（Routh）判断法）判断法： （1）D(s)应为霍尔维茨多项式应为霍尔维茨多项式 （2）排列罗斯阵列）排列罗斯阵列 （3）由罗斯准则判断）由罗斯准则判断D(s)=0根的根的 分布分布 （4）判断系统的稳定性。）判断系统的稳定性。 1232)( 234 sssssD 罗斯准则：罗斯准则：罗斯阵列中：罗斯阵列中： 1）阵列中首列元素同号时，其根）阵列中首列元素同号时，其根 全位于全位于s左半平面。左半平面。 2）阵列中首列元素有变号时，则）阵列中首列元素有变号时，则 含有含有s右半平面根，个数为变号次右半平面

33、根，个数为变号次 数。数。 罗斯阵列中首列元素同号时，故罗斯阵列中首列元素同号时，故 D(s)=0的根全位于的根全位于s左半平面。左半平面。 35 例例2： 28122)() 1 234 sssssD 练习：练习： 15243)()2 2345 ssssssD 234567)() 3 2356 ssssssD 1422)( 2345 ssssssD 某行首列元素为零，其他元素不为零：某行首列元素为零，其他元素不为零： 可用无穷小量可用无穷小量 代替代替0，继续阵列计算。，继续阵列计算。 （无穷小量（无穷小量 可视为正数或负数）可视为正数或负数） 故：故：D(s)=0含两个含两个s右半平面根右半平面根 例例3：824)( 23 ssssD 某行元素全为零，可从上行找辅助多项式，某行元素全为零，可从上行找辅助多项式， 继续阵列计算。继续阵列计算。 故：故： D(s)=0无无s右半平面的根。但有一对共轭复根在右半平面的根。但有一对共轭复根在j 轴。轴。 36 10) 1(10 ) 1( )( 23 skss ss sH 故：欲使系统稳定，故：欲使系统稳定，k0。 欲使系统稳定工作，求欲使系统稳定工作，求K的取值范围。的取值范围。 例例4：欲使图示系统为一个稳定工作系统，求欲使图示系统为一个稳定工作系统，求k的取值范围。的取值范围。 练习：练习：已知某系统函数为已知某系统函数为 Kss