第一部分 专题二 第二讲 填空题解题5妙招

1、 1数学填空题的特点数学填空题的特点 填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不 动地移植到填空题上但填空题既不用说明理由，又无需书写动地移植到填空题上但填空题既不用说明理由，又无需书写 过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题 填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为熟填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为熟 知的题目或基本题型填空题不需过程，不设中间分值，更易知的题目或基本题型填空题不需过程，不设中间分值，更易 失分，因而在解答过程中应力求准确无误失分

2、，因而在解答过程中应力求准确无误 填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以 有目地、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、有目地、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、 全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助 算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力要想又快又算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力要想又快又 准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策 略，尽量避开常规解法略，尽量避开常规解法 2数学

3、填空题的类型数学填空题的类型 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种 类型：类型： 一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如： 方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最 小值、线段长度、角度大小等等由于填空题和选择题相比，小值、线段长度、角度大小等等由于填空题和选择题相比， 缺少选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现缺少选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现 二是定性型，要求填写的是具有某种性质的

4、对象或者填写二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写 给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离 心率等等近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题心率等等近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题 3解数学填空题的原则解数学填空题的原则 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正 确性的要求比解答题更高、更严格确性的要求比解答题更高、更严格考试说明考试说明中对解答中对解答 填空题提出的基本要求是填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速正确、合理、迅速”为此在解

5、填为此在解填 空题时要做到：快空题时要做到：快运算要快，力戒小题大作；稳运算要快，力戒小题大作；稳变变 形要稳，不可操之过急；全形要稳，不可操之过急；全答案要全，力避残缺不齐；答案要全，力避残缺不齐； 活活解题要活，不要生搬硬套；细解题要活，不要生搬硬套；细审题要细，不能粗审题要细，不能粗 心大意心大意 此类填空题的特点是必须根据题目中给出的条件，通此类填空题的特点是必须根据题目中给出的条件，通 过数学计算找出正确答案解决此类问题需要直接从题设过数学计算找出正确答案解决此类问题需要直接从题设 条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化

6、计算过程解题过程要灵活地利用相关的运算规律和技巧，计算过程解题过程要灵活地利用相关的运算规律和技巧， 合理转化、巧妙处理已知条件合理转化、巧妙处理已知条件 直直 接法接法 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程 中我们要根据题目的要求灵活处理，并注意一些解题规律和中我们要根据题目的要求灵活处理，并注意一些解题规律和 解题技巧的灵活应用，通过合理转化将计算过程简化，从而解题技巧的灵活应用，通过合理转化将计算过程简化，从而 得到结果得到结果. 1已知数列已知数列an是等差数列，且是等差数列，且a72a41，a30，则公，则公 差差d_. 所

7、谓估算法，就是一种粗略的计算方法，即对有关数值进所谓估算法，就是一种粗略的计算方法，即对有关数值进 行扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估行扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估 计的方法计的方法 例例2若正数若正数a，b满足满足abab8，则，则ab的取值范围为的取值范围为 _ 思路点拨思路点拨如果直接利用已知条件求解如果直接利用已知条件求解ab的取值范围，的取值范围， 则需要利用基本不等式求解则需要利用基本不等式求解ab的最值，并对已知条件进行转的最值，并对已知条件进行转 化，计算比较复杂此时根据已知等式的特征和基本不等式成化，计算比较复杂此时根据已知等式的特

8、征和基本不等式成 立的条件可估计出立的条件可估计出ab时取最值，然后再取一个值检验即可时取最值，然后再取一个值检验即可 估估 算法算法 解析解析令令ab，则已知等式可化为，则已知等式可化为a22a8，解得，解得a 2(舍去舍去)或或a4，此时，此时ab16；而当；而当a2时，时，b10，此时，此时 ab2016，所以，所以ab的取值范围为的取值范围为16，) 答案答案16，) 估算需要根据已知条件和所求的问题进行灵活处理，该题估算需要根据已知条件和所求的问题进行灵活处理，该题 主要利用了已知等式中主要利用了已知等式中a与与b互换后等式不变的特征，所以猜测互换后等式不变的特征，所以猜测 ab时取

9、得最值，若时取得最值，若a与与b互换后已知等式发生变化，则不能利互换后已知等式发生变化，则不能利 用用ab求最值，必须结合等式的特征灵活处理求最值，必须结合等式的特征灵活处理.有些计算型填空有些计算型填空 题，不必经过繁杂的计算，只需大体估算一下，便可快速准确题，不必经过繁杂的计算，只需大体估算一下，便可快速准确 地得到答案地得到答案. 2已知已知x，y(0，)，且，且xyxy8，则，则xy的取值范围的取值范围 是是_ 解析：解析：令令xy，则已知等式可化为，则已知等式可化为x22x8， 解得解得x2(舍去舍去)或或x4， 此时此时xy8， 而当而当x2，y10时，时，xy128， 所以所以x

10、y8，即，即xy的取值范围为的取值范围为8，) 答案：答案：8，) 一个结论在一般情形下成立，在特殊情形下必然成立，一个结论在一般情形下成立，在特殊情形下必然成立， 填空题只要结果，不要过程，所以可将填空题中的一般情形填空题只要结果，不要过程，所以可将填空题中的一般情形 特殊化再求解，这种解填空题的方法，叫做特殊化法特殊化再求解，这种解填空题的方法，叫做特殊化法 凡在一般情形下探求结论的填空题，都可用特殊化法进行求凡在一般情形下探求结论的填空题，都可用特殊化法进行求 解，即取特殊值、特殊位置、特殊图形、特殊函数、特殊数解，即取特殊值、特殊位置、特殊图形、特殊函数、特殊数 列等进行求解列等进行求

11、解 特特 值法值法 答案答案2 (1)当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示 答案是一个定值时，可以直接赋予参数一个特殊的数值答案是一个定值时，可以直接赋予参数一个特殊的数值(或或 函数、角、数列等函数、角、数列等)，代入计算即可得到结论，代入计算即可得到结论. (2)求值或比较大小关系等问题均可利用特殊值法求解，求值或比较大小关系等问题均可利用特殊值法求解， 但要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题，对于开但要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题，对于开 放性的问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求放性的问题或者多种答案的填空

12、题，则不能使用该种方法求 解解. 3曲边梯形由曲线曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2围成，过曲围成，过曲 线线yx21，x1,2上一点上一点P作切线，使得此切线从曲边作切线，使得此切线从曲边 梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为 _ 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的 条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、 判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般 比

13、较明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析比较明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析 几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准 确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但 只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多 图图 解法解法 答案答案2，) 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应 用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可

14、直接得到相应 的结论，这也是高考命题的热点的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键准确运用此类方法的关键 是正确把握各种式子与几何图形中变量之间的对应关系，是正确把握各种式子与几何图形中变量之间的对应关系， 利用几何图形中的相关结论求出结果利用几何图形中的相关结论求出结果. 答案：答案：(，2(0,2 构构 造法造法 答案答案160 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需 要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向.一般通一般通 过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为过构

15、造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为 自己熟悉的问题自己熟悉的问题.在立体几何中，补形构造是最为常用的解在立体几何中，补形构造是最为常用的解 题技巧题技巧.通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何 体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等. (1)填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技 能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力填空题只能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力填空题只 要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必 须是数值准确、形式规范、表达式须是数值准确、形式规范、表达式(数数)最简最简 (2)填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广， 形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识 的能力近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出的能力近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出 现