连续型随机变量及其分布律解析PPT学习教案

1、会计学1 连续型随机变量及其分布律解析连续型随机变量及其分布律解析 1.定义 对于随机变量X，若存在非负可积函数 p(x) ( xR), 使得X 的分布函数 x dttpxF)()( 称称为连续型随机变量，且为连续型随机变量，且则称则称X .)(度度的密度函数，或概率密的密度函数，或概率密为为Xxp )(xpy )(xF x x y o 第1页/共62页 (1) ;0)(Rxxp (2) ; 1)( dxxp ( 非负性) ( 规范性) (3) ;)()()(dxxpaFbFbXaP b a ,)(的密度函数的密度函数为为Xxp 为连续型随机变量，为连续型随机变量，设设X 的分布函数，则的分布

2、函数，则为为XxF)( 上连续；上连续；在在分布函数分布函数),()()5(xF (6) ).()()(xpxFxxp 处连续，则处连续，则在点在点若若 (4) ;0 cXP 第2页/共62页 xxp b d)( 证(3) .d)(xxp b a xxp a d)( )()(aFbFbXaP )(bF b a )(aF )(xpy x y o 1aXPaXP )(1aF .d)(xxp a 还可得 第3页/共62页 (4) 对于任意可能值c ,连续型随机变量取 c 的概率等于零.即 . 0 cXP 证(4) 0, cXccX . 0 xxp c c d)(lim 0 0cXcPcXP 而而 l

3、im 0 cXcP . 0 cXP 第4页/共62页 1 bXaPbXaP X 为连续型随机变量，则为连续型随机变量，则若若 bXaP bXaP 2 0)( AP A = 1)( AP A = 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 第5页/共62页 . 0 aXP 若连续型随机变量 X=a 是不可能事件, 则有 , 0 aXP若若 是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP 若 X=a 为离散型随机变量, 连 续 型 离 散 型 是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX 第6页/共62页 .)( ;)(;)( ., , , )( 2 7 13 21 0 43 2 2 30 XP Xk

4、 x x xkx xp X 求求 的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数 其它其它 具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设 解 , 1d)()1( xxp由由 第7页/共62页 的概率密度为的概率密度为知知由由Xk 6 1 )2( , 1d0d) 2 2(dd0 4 3 0 4 3 0 xx x xkxx得得 . 6 1 k解之得解之得 ., 0 , 43, 2 2 , 30, )( 其其它它 x x xkx xp ., 0 , 43, 2 2 , 30, 6 )( 其它其它 x x x x xp 第8页/共62页 , 0, 0 )( x xF 得得由由 x xxpxFd)()()2(

5、 ., 0 , 43, 2 2 , 30, 6 )( 其其它它 x x x x xp , 30 x,d 6 0 x x x , 43 x,d) 2 2(d 6 3 3 0 x x x x x . 4 x, 1 第9页/共62页 . 4, 1 , 43, 4 23 , 30, 12 , 0, 0 )( 2 2 x x x x x x x xF即即 2 7 1)3( XP )1() 2 7 (FF . 48 41 第10页/共62页 .)3( ; 2 )2( ;,)1(: ., 1 ,arcsin , 0 )( 的概率密度的概率密度随机变量随机变量 的值的值系数系数求求 的分布函数为的分布函数为设

6、连续型随机变量设连续型随机变量 X a XaP BA ax axa a x BA ax xF X 第11页/共62页 ),( )0()0( aF aFaF 故有 解(1) 因为 X 是连续型随机变量, , )( )0()0( aF aFaF ,)(连续连续所以所以xF a a BAarcsin a a BAarcsinBA 2 0即即 BA 2 , 1 ., 1 ,arcsin , 0 )( ax axa a x BA ax xF 第12页/共62页 . 1 B ., 1 ,arcsin 1 2 1 , 0 )( ax axa a x ax xF所所以以 , 2 1 A解之得解之得 第13页/

7、共62页 ) 2 (aF 0) 2 arcsin( 1 2 1 a a 6 1 2 1 2 )2( a XaP )( aF . 3 2 )()(xFxp 的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量 X)3( ., 0 ,1 22 其其它它 axaxa ., 1 ,arcsin 1 2 1 , 0 )( ax axa a x ax xF 第14页/共62页 ., ,),( , 0 , 1 )( baUX baX bxa abxp X 记记为为 区区间间上上服服从从均均匀匀分分布布在在区区间间则则称称 其其它它 具具有有概概率率密密度度设设连连续续型型随随机机变变量量 boa xp )( 概率密度

8、函数图形 (1) 定义 二、常见连续型随机变量的分布 第15页/共62页 ., 1 , , 0 )( bx bxa ab ax ax xF 分布函数 x o )(xF a b 1 (2) 均匀分布的性质 若 X Ua,b，则 0 bXPaXP 有有时时当当,bdca . ab cd dXcP 第16页/共62页 (3) 均匀分布的意义 ,Xba变变量量上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机在在区区间间 . , 性性是是相相同同的的 内内的的可可能能中中任任意意等等长长度度的的子子区区间间落落在在区区间间ba )(xp ab l p l xo a b ab 1 l 背景：几何概型 第17页/共

9、62页 设电阻值R是一个随机变量, 均匀分布在 900欧1100欧.求R的概率密度及R 落在950欧 1050欧的概率. 解 由题意,R 的概率密度为 ., ,),( )( 其其它它0 110090090011001r rp 故有 1050950 RP.5 .0d 200 1 1050 950 r 第18页/共62页 .5分钟有一辆汽车通过分钟有一辆汽车通过某公共汽车站，每隔某公共汽车站，每隔 一位乘客不知道一位乘客不知道上去上去车一到，候车者都可以车一到，候车者都可以. 他在任一时刻到达车他在任一时刻到达车汽车通过该站的时间，汽车通过该站的时间， .3.分分钟钟的的概概率率求求他他等等车车不

10、不超超过过站站是是等等可可能能的的 分析1 等候时间为 0 5分钟的任一时间; ( 无限性) 2 等可能性.属几何概型 解 ，则，则设他等候汽车的时间为设他等候汽车的时间为 X 5,0UX 第19页/共62页 5 , 0, 0 5 , 0, 5 1 )( x x xp 所求概率: dxxpXP 3 0 )(30 6 . 0 5 3 5 13 0 dx 第20页/共62页 设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. X 的分布密度函数为 ., , )( 其它其它0 52 3 1 x xp 设 A 表示“对 X 的观测值大

11、于 3”, 解 即 A= X 3 . 第21页/共62页 2 YP. 27 20 因而有 设Y 表示对 X进行3次独立观测中, 观测值大于 3的次数, 则 ). 3 2 ,3( BY ) 3 2 1() 3 2 ( 22 3 C 033 3 ) 3 2 1() 3 2 ( C 3)( XPAP由由于于, 3 2 d 3 1 5 3 x 第22页/共62页 ).,(, ,)0(, , 2 1 )( 2 2 )( 2 2 NX X xe xp X x 记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布 服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中 的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机

12、变变量量 高斯资料 (1) 定义 第23页/共62页 ;)1对称对称曲线关于曲线关于x ; 2 1 )(,)2 xpx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3xpx时时当当 ;)4处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 第24页/共62页 ; ,)( ,)6 轴轴作作平平移移变变换换着着 只只是是沿沿图图形形的的形形状状不不变变 的的大大小小时时改改变变当当固固定定 x xp ;)5轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x 第25页/共62页 . , )(,)7 图形越矮越胖图形越矮越胖 越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变 图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小

13、时改变改变当固定当固定 xp 正态分布密度函数图形演示 第26页/共62页 正态分布的分布函数 te xF x t d 2 1 )( 2 2 2 )( 第27页/共62页 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景 第28页/共62页 te xF x t d 2 1 )( 2 2 2 )( xXP ? 原函数不是 初等函数 方法一:利用MATLAB软件包计算(演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算 第29页/共62页 ).1, 0(, ,1, 0),(

14、2 N N 记记为为态态分分布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正 这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率密度表示为 , 2 1 )( 2 2 xex x 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 .,d 2 1 )( 2 2 xtex x t 第30页/共62页 标准正态分布的图形 第31页/共62页 性质： x )(xy -x ),1 , 0( NX若若则其分布密度则其分布密度 述性质：述性质： 具有下具有下及分布函数及分布函数)()(xx 为为偶偶函函数数；)(x ),(1)(xx ; 2 1 )0()(max xM 数数表表示示；的的原原函函数数不不能能用

15、用初初等等函函)(x ；5 . 0)0( x y o )( x )(1x 第32页/共62页 1 2 1 )( 2 2 dxedxx x 由由 可得 .2 2 2 dxe x ),( 2 NX若若 则其分布密度 )0,( 2 1 )( 2 2 2 )( Rx exp x 第33页/共62页 则则若若),1 , 0( NX 可查表2，得 )(xXPx 如： 25. 0XP5987. 0)25. 0( 时时，当当0 x);(1)(xx 可可利利用用 时时，当当0 x 情形1. ).()(abbXaP 计算法： 第34页/共62页 .225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知 解 225.

16、1 XP )25. 1()2( 8944. 09772. 0 . 0828. 0 第35页/共62页 情形2. 则则若若),( 2 NX );1 , 0( N X 时时，有有为为常常数数，且且当当0, aba );,( 22 abaNbaX bXaP ),()( ab ).( b bXP 第36页/共62页 证 ,Ry X Y 则则，令令 )(yF Y y X PyYP yXP ttp y d)( y t ted 2 12 2 2 )( t u令令 y u ued 2 1 2 2 )(y 第37页/共62页 )1 , 0( NY).1 , 0( N X 即即 )1 , 0( N X Y bXa

17、P bXa P b Y a P ).()( ab 第38页/共62页 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制), 服从正态分布，平均成绩为 72分，96分以上占考生总数的2.3%, 试求考生的外语成绩在 60分至 84分之间的概率. 解依题意，考生外语成绩 X ),( 2 N ，且且其其中中72 023. 096 XP 96196 XPXP于于是是 977. 0023. 01 第39页/共62页 96XP又又 ) 96 ( ) 24 () 7296 ( 977. 0) 24 ( 查表，知 977. 0)2( 的的单单调调增增加加性性，得得由由)(x 2 24 12 )12,72( 2 N

18、X因因而而 第40页/共62页 8460 XP故故 ) 12 7260 () 12 7284 ( )1()1( )1(1)1( 1)1(2 查表，得 841. 0)1( 682. 01841. 028460 XP 第41页/共62页 . ,0 . 0, 0 , 0, )( 分布分布 的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中 的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 X x xe xp X x 第42页/共62页 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布. 应用与背景 分布函数 . 0 ,

19、 0 , 0,1 )( x xe xF x 第43页/共62页 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时) (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. . 0, 0 , 0,1 )( 2000 1 x xe xF x X 的分布函数为 解 第44页/共62页 1000)1( XP10001 XP )1000(1F .607. 0 2 1 e 10002000)2( XXP 1000 1000,2000 XP XXP 1000 2000 XP

20、XP . 0, 0 , 0,1 )( 2000 1 x xe xF x 第45页/共62页 10001 20001 XP XP )1000(1 )2000(1 F F .607. 0 2 1 e 指数分布的重要性质 :“无记忆性”. . 0, 0 , 0,1 )( 2000 1 x xe xF x 第46页/共62页 分布函数 概率密度概率密度 2. 常见连续型随机变量的分布 x ttpxFd)()(.连续型随机变量连续型随机变量1 均匀分布 正态分布(或高斯分布) 指数分布 第47页/共62页 分布名称分布名称 记号记号 分布密度分布密度 均匀分布X Ua,b , 0 , 1 )( bax

21、bax ab xp 指数分布 )( EX )0( 0, 0 0, )( 常数常数 x xe xp x 第48页/共62页 分布名称分布名称 记号记号 分布密度分布密度 正态分布 ),( 2 NX )0,( 2 1 )( 2 2 2 )( Rx exp x 第49页/共62页 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量 误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度; 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是

22、一个正态随机变量. 3. 正态分布是概率论中最重要的分布 第50页/共62页 另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极 限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理 论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布. 二项分布向正态分布的转换 第51页/共62页 解 1 xxpd)(由由 , 1d 0 3 xKe x , 3 K得得 ., , )( 00 03 3 x xe xp x 得得 xxpXPd)(. . 10 10 xe x d3 1 . 0 3 .7408. 0 ., ., , )( 10 00 0 3 XPK x xKe xp X x 并求并求试确定常数试确定常数 的概率密度为的

23、概率密度为设随机变量设随机变量 例1-1 第52页/共62页 . 0244 ,)5 , 0( 2 有有实实根根的的概概率率 求求方方程程上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设 kkxx k 解 ,12有有实实根根时时或或亦亦即即 kk ,0)2(1616 2 时时当当 kk 则有实根的概率为 . 5 3 d 5 1 5 2 xp ,0)1)(2()2( 2 时时即即 kkkk 第53页/共62页 (1) 所求概率为 89 XP )2( 5 . 0 9089 )2(1 9772. 01 .0228. 0 解 ?,99. 0 80)2( .89,90)1( ).5 . 0 ,(, )(,. 2 00

24、 至少为多少至少为多少问问于于 的概率不低的概率不低至少为至少为若要求保持液体的温度若要求保持液体的温度 的概率的概率小于小于求求若若 且且是一个随机变量是一个随机变量 计计以以液体的温度液体的温度调节器整定在调节器整定在容器内容器内 贮存着某种液体的贮存着某种液体的将一温度调节器放置在将一温度调节器放置在 d Xd dNX CXCd 第54页/共62页 99. 080)2( XP 99. 0801 XP 99. 0)80(1 F 99. 0 5 . 0 80 1 d ,01. 099. 01 5 . 0 80 d 327. 2 0.5 -80 d 即即.1635.81 d 第55页/共62页 某仪器装有3支独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：小时)都服从同一指数分布，分布密度为 0, 0 0, 600 1 )( 600 x xe xp x 试求在仪器使用的最初 200小时内，至少有一支电子元件损坏的概率. 解 设 Xi= 第 i 支元件使用的寿命 ( i =1, 2, 3 ) B 第56页/共62页 Ai= 在仪器使