高中数学竞赛辅导课件(十)——探索法(一)

1、1 继续继续 数学问题的形式千变万化数学问题的形式千变万化, ,结构错综复杂结构错综复杂, ,寻找正确有效寻找正确有效 的解题途径的解题途径, ,意味着寻找一条摆脱困境意味着寻找一条摆脱困境, ,绕过障碍的途径绕过障碍的途径. . 数学思维优秀者之所以能有效的解题数学思维优秀者之所以能有效的解题, ,无论是其推理论证无论是其推理论证 方法之美妙方法之美妙, ,还是其计算方法之灵巧还是其计算方法之灵巧, ,都在于有意识或无意识都在于有意识或无意识 地利用了各种转化地利用了各种转化. . 匈牙利著名的数学家罗莎匈牙利著名的数学家罗莎彼得在他的名著彼得在他的名著无穷的玩艺无穷的玩艺 中中, ,通过一

2、个十分生动而有趣的笑话通过一个十分生动而有趣的笑话, ,充分体现了转化充分体现了转化这这 一一数学家们的思维特点数学家们的思维特点: : 有人一群人提出了这样一个问题有人一群人提出了这样一个问题:“:“假设在你面前有煤气假设在你面前有煤气 灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？” 对此某人回答：对此某人回答：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤 气灶上。气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道： “如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多

3、如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多 的水，那么你又应该怎么做？的水，那么你又应该怎么做？”这时，这时，“灵活灵活”的人可能说：的人可能说： “点燃煤气再把壶放到煤气灶上。点燃煤气再把壶放到煤气灶上。”但是，这一回答却未能但是，这一回答却未能 使提问者感到使提问者感到探索法探索法 2 探索法探索法 满意。因为，提问者认为更为恰当的回答是：满意。因为，提问者认为更为恰当的回答是：“只有物理只有物理 学家才会这样做，而学家才会这样做，而数学家会倒去壶中的水数学家会倒去壶中的水，并声称他已，并声称他已 经后一问题转化成先前的已经得到解决的问题了。经后一问题转化成先前的已经得到解决的问题

4、了。” “把水倒掉！把水倒掉！”这是一种多么简洁而夸张的回答，这是一种多么简洁而夸张的回答， 然而它又恰恰体现了数学家的眼光和策略。然而它又恰恰体现了数学家的眼光和策略。 罗莎指出，这种转化的策略和方法罗莎指出，这种转化的策略和方法 对数学家来说是十对数学家来说是十 分典型的。这就是说：分典型的。这就是说：“他们往往不是对问题实行正面的他们往往不是对问题实行正面的 攻击，而是不断地将它变形，转化问题的形式，从侧面或攻击，而是不断地将它变形，转化问题的形式，从侧面或 反面寻找突破口，直到把它转化成已经能够得到解决的问反面寻找突破口，直到把它转化成已经能够得到解决的问 题。题。 从今天开始从今天开

5、始, ,我们将陆陆续续地通过一些我们将陆陆续续地通过一些 数学问题来体会解决问题中运用的数学问题来体会解决问题中运用的数学思维数学思维 的策略和方法的策略和方法. . 3 3.3.探索常从考虑简单情形入手探索常从考虑简单情形入手 4.探索须充分利用已有信息探索须充分利用已有信息 1.探索常从熟悉的地方开始探索常从熟悉的地方开始 2.探索常从问题的结论或条件变形着手探索常从问题的结论或条件变形着手 5.探索也可以尝试探索也可以尝试 “ “跟着感觉走跟着感觉走” 4 练习练习 A B C O D E 5 6 练习练习 7 8 先看一个游戏先看一个游戏 具体地说来，从简单情况考虑可以分为从复具体地说来，从简单情况考虑可以分为从复 杂退到简单杂退到简单, ,从一般退到特殊，从抽象退到具体，从一般退到特殊，从抽象退到具体， 从整体退到部分从整体退到部分, ,从陌生退到熟悉等从陌生退到熟悉等. . 尝试尝试思考练习思考练习 9 尝试尝试 10 思考练习思考练习 11 于是猜想于是猜想: :所有把所有把 矩形分成面积相等的直矩形分成面积相等的直 线一定过中心线一定过中心. . 证明是不会太困难的证明是不会太困难的. .