单自由度系统强迫振动

1、强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。 非周期激励 简谐激励 周期激励 外界激励)()( sin)( tFTtF ptHtF 响应：外界激振力所引起的系统的振动状态。响应：外界激振力所引起的系统的振动状态。 振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对外部激励的响应。振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对外部激励的响应。 强迫振动从外界不断获取能量来补偿阻尼所消耗的能强迫振动从外界不断获取能量来补偿阻尼所消耗的能 量，使系统维持持续的振动。量，使系统维持持续的振动。 1.1 1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动简谐运动简谐运动 1.2 1

2、.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动衰减运动衰减运动 1.3.1 1.3.1 运动微分方程及其解运动微分方程及其解 在图示单自由度系统中，作用有简谐激振力。在图示单自由度系统中，作用有简谐激振力。 取振体的静平衡位置为坐标原点，取振体的静平衡位置为坐标原点，x 轴铅直轴铅直 向下。由牛顿第二定律，可得有阻尼的强迫向下。由牛顿第二定律，可得有阻尼的强迫 振动微分方程：振动微分方程： ptHkxxcxmsin 强迫振动强迫振动阻尼自由振动阻尼自由振动 逐渐衰减逐渐衰减持续等幅振动持续等幅振动 瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应 振动微分方程变为振动微分方程变为： pthxxnxsin2 2 ptHkx

3、xcxmsin )( 1 tx 振动微分方程振动微分方程 二阶常系二阶常系 数线性非数线性非 齐次微分齐次微分 方程方程 全解包括两部分：一个通解全解包括两部分：一个通解 和一个特解和一个特解 )( 2 tx )()()( 21 txtxtx )tsin(Ae)t (x nt 1 02 2 xxnx )( 1 tx是是的解。的解。 在欠阻尼情况下为在欠阻尼情况下为 这是一个衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，所以称为这是一个衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，所以称为瞬态振动瞬态振动。 )sin()( 2 ptBtx 特解特解 表示系统在简谐力激励下产生的强迫振动。它是一种持续

4、等幅振动，表示系统在简谐力激励下产生的强迫振动。它是一种持续等幅振动， 称为称为稳态振动稳态振动。 )( 2 tx 代入代入)sin()( 2 ptBtxpthxxnxsin2 2 22222 4)(pnp h B 22 2 an p np t )sin( 4)( )( 22222 2 pt pnp h tx 特解：特解： 全解全解： 简谐激振力引起的振动的全解：简谐激振力引起的振动的全解： u右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰 减而停止，我们在减而停止，我们在研究强迫振动问题时主要关心它的稳态振动解研究强迫

5、振动问题时主要关心它的稳态振动解。 u第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐运第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐运 动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。 u振幅振幅B B和相位差和相位差 都都只取决于系统本身的物理性质和激振力的大小与频只取决于系统本身的物理性质和激振力的大小与频 率，与初始条件无关率，与初始条件无关（初始条件只影响瞬态振动）（初始条件只影响瞬态振动） 。 22222 4)(pnp h B 22 2 an p np t u强迫振动的振幅大小

6、，在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过强迫振动的振幅大小，在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过 允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而招致疲劳破坏。或者会影允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而招致疲劳破坏。或者会影 响机器及仪表的精度。在振动利用中也需要控制一定的振幅。响机器及仪表的精度。在振动利用中也需要控制一定的振幅。 )sin()( 2 ptBtx 稳态响应：稳态响应： 讨论影响振幅、相位差的因素：讨论影响振幅、相位差的因素： 2 2 2 0 2 2 2 2 22222 21 21 1 4)( B pnp h pnp h B pthxxnxsin2 2 )sin()

7、( 2 ptBtx ptHkxxcxmsin 静力偏移静力偏移激振力的幅激振力的幅 值引起的静值引起的静 变形变形 相对阻尼系数相对阻尼系数 频率比频率比 影响振幅的主要因素：影响振幅的主要因素： 2 2 2 0 21 B B 静力偏移静力偏移 相对阻相对阻 尼系数尼系数频率比频率比 uB B0 0的影响：的影响： 它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H H静止地作静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B B与激振力幅值与激振力幅值H H 成正比。因此，改变振幅的

8、方法之一就是按比例改变激振力的幅值。成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。 u 的影响：的影响： 频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明 振幅比振幅比 放大因子、放大因子、 动力系数动力系数 幅频特性曲线幅频特性曲线 u 的影响的影响: : 从幅频特性曲线看出，在共振附近一定从幅频特性曲线看出，在共振附近一定 范围内，阻尼对减小振幅有显著作用，增范围内，阻尼对减小振幅有显著作用，增 加阻尼，振幅可以明显下降。加阻尼，振幅可以明显下降。 2 0 max B B 在离开共振较远的范围，阻尼对减在离开共振较远的范围，阻尼对减 小振幅的作用是

9、不大的，尤其在小振幅的作用是不大的，尤其在p p ， 阻尼几乎没有什么作用。阻尼几乎没有什么作用。 共振时的放大因子也称为品质因子，用共振时的放大因子也称为品质因子，用Q Q表示表示 2 1 Q 2707. 02Q PPP 12 2 1 Q 在在 =1=1的两侧取的两侧取 的两个点的两个点h h1 1与与h h2 2，称为半功率点，对应，称为半功率点，对应 的激振力的频率为的激振力的频率为p p1 1和和p p2 2 称为这个系统的带宽称为这个系统的带宽 12 ppp 经推导：经推导： 结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平

10、稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以，之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。 品质因子与带宽品质因子与带宽 相频特性曲线相频特性曲线 v例例1 1 实验测出了具有实验测出了具有 p 解：解：2 1 2 21 p 22 p2 22 22 p2 p 2m c m2c 2 1 2 Tn A A i

11、i 1 ln 2 1 T T 2m c n 2 T 1.3.2 1.3.2 偏心质量引起的强迫振动偏心质量引起的强迫振动 设电机质量为设电机质量为M，转子有偏心质，转子有偏心质 量量m，偏心距为，偏心距为e，角速度为，角速度为p，则由，则由 偏心质量产生的离心惯性力为偏心质量产生的离心惯性力为 在垂直方向的分量相当于激振力：在垂直方向的分量相当于激振力： 系统的振动微分方程：系统的振动微分方程： 在在旋转机械旋转机械中，由于偏心质量中，由于偏心质量 而引起强迫振动是很普遍的现象。而引起强迫振动是很普遍的现象。 左图所示为梁上电机的简化模型。左图所示为梁上电机的简化模型。 特解：特解： 1) 1

12、) 振幅振幅B与偏心质量与偏心质量m和偏心距和偏心距e成正比；成正比； 2 2）激振力的幅值与其转速平方成正比，而非定值。激振力的幅值与其转速平方成正比，而非定值。 特解的幅值无量纲形式：特解的幅值无量纲形式： 1.3.3 1.3.3 支承运动引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动 若系统的强迫运动是由支承点的运动引起的，设若系统的强迫运动是由支承点的运动引起的，设 支承点的运动：支承点的运动： 振体微分方程：振体微分方程： 整理后的振整理后的振体微分方程：体微分方程： pthxxnxsin2 2 特解：特解： 支承运动引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动 简谐激振力引起的强迫振动简谐激振力引起

13、的强迫振动 1.3.4 1.3.4 隔振理论隔振理论 1 1）主动隔振）主动隔振 对于自身是振源的机器，为减少它对周围环境的影响，对于自身是振源的机器，为减少它对周围环境的影响， 将其与支撑它的地基隔离开，这类隔振称为主动隔振。将其与支撑它的地基隔离开，这类隔振称为主动隔振。 力学特点力学特点：激励作用于质量引起的振动。：激励作用于质量引起的振动。 要求把振源与它的基础隔离（两者之间要求把振源与它的基础隔离（两者之间 加装弹簧和减振器）。例如：发动机和加装弹簧和减振器）。例如：发动机和 车架之间，大型电机、冲床、汽锤等和车架之间，大型电机、冲床、汽锤等和 基础之间都要安装一定的隔振装置以减基础

14、之间都要安装一定的隔振装置以减 少对周围环境的影响。少对周围环境的影响。 主动隔振系数主动隔振系数 隔振：主动隔振：激励由机器本身产生，振源是机器运动。隔振：主动隔振：激励由机器本身产生，振源是机器运动。 被动隔振：激励由基础产生，振源是基础运动。被动隔振：激励由基础产生，振源是基础运动。 2 2）被动隔振）被动隔振 对于受振动影响很大的精密仪器或设备，为对于受振动影响很大的精密仪器或设备，为 减少周围环境振动对其造成的影响，将其和支减少周围环境振动对其造成的影响，将其和支 承的基础隔离，这类隔振称为被动隔振。承的基础隔离，这类隔振称为被动隔振。 力学特点力学特点：激励由基础产生，振源是基础运

15、动，：激励由基础产生，振源是基础运动， 要求质量要求质量m m的振动尽可能小。如：车辆的悬架，的振动尽可能小。如：车辆的悬架， 光栅刻录仪，全息摄像系统。光栅刻录仪，全息摄像系统。 被动隔振系数被动隔振系数 假设振源振动是简谐的：假设振源振动是简谐的： 隔振后精密仪器的振幅：隔振后精密仪器的振幅： 被动隔振系数被动隔振系数 主动隔振系数主动隔振系数 主动隔振系数与被动隔振系数完全一样，两者随频率比变化的特性曲线也完全一主动隔振系数与被动隔振系数完全一样，两者随频率比变化的特性曲线也完全一 样，与支承运动引起的强迫振动的幅频特性曲线完全一样。样，与支承运动引起的强迫振动的幅频特性曲线完全一样。

16、1 1）无论阻尼大小，只有当）无论阻尼大小，只有当 时才有隔振效果。时才有隔振效果。 2 2）在）在 以后，随着频率比的以后，随着频率比的 增大，隔振效果提高，但当增大，隔振效果提高，但当 以后，无明显变化，以后，无明显变化， 但实际上为了减少系统越过共振区时但实际上为了减少系统越过共振区时 的振幅，配置适当的阻尼是必要的。的振幅，配置适当的阻尼是必要的。 1.3.5 1.3.5 等效粘滞阻尼等效粘滞阻尼 阻尼在所有振动系统中是客观存在的。阻尼在所有振动系统中是客观存在的。 大多数阻尼是非粘滞阻尼，其性质各不相同。大多数阻尼是非粘滞阻尼，其性质各不相同。 非粘滞阻尼的数学描述比较复杂，常用的处

17、理方法非粘滞阻尼的数学描述比较复杂，常用的处理方法 之一是：采用能量方法将非粘滞阻尼简化为等效粘性阻之一是：采用能量方法将非粘滞阻尼简化为等效粘性阻 尼。尼。 原则：原则： 等效粘滞阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的等效粘滞阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的 非粘滞阻尼在同一周期内消耗的能量。非粘滞阻尼在同一周期内消耗的能量。 通常假设在简谐激振力作用下非粘滞阻尼系统的稳态通常假设在简谐激振力作用下非粘滞阻尼系统的稳态 响应仍然为简谐振动，该假设只有在非粘滞阻尼比较小时响应仍然为简谐振动，该假设只有在非粘滞阻尼比较小时 才是合理的。才是合理的。 简谐激振力在一个周期内所做的功：简谐激振

18、力在一个周期内所做的功： 简谐激振力简谐激振力 稳态响应稳态响应 时，即共振时时，即共振时WF取最大值。取最大值。 简谐激振力每周做功的大小，不仅取决于简谐激振力每周做功的大小，不仅取决于 力与振幅的大小，还决定于两者之间的相力与振幅的大小，还决定于两者之间的相 位差。位差。 简谐激振力每周做的功简谐激振力每周做的功: : 粘滞阻尼力：粘滞阻尼力： 粘滞阻尼力在一个周期内所做的功：粘滞阻尼力在一个周期内所做的功： 将非粘滞阻尼每周做的功表示成：将非粘滞阻尼每周做的功表示成： 粘滞阻尼力粘滞阻尼力每周做的功每周做的功: : 粘滞阻尼力每周所做的功与振粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率幅的平方成正比，与振动频率 也成正比也成正比 1 1）干摩擦阻尼）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反，但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周周 期内，干摩擦力做功为期内，干摩擦力做功为FB,在以后每在以后每1/4周期内都如此。周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：干摩擦力在一个周期内所做的功： 干摩擦的等效粘滞阻尼系数与摩擦力成正比，与系统的干摩擦的等效粘滞阻尼系数与摩擦力成正