高考数学数列题型之数列与不等式交汇的综合题

1、数列与不等式交汇的综合题例1: 已知数列满足.(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;(2)若,求证：对任意都成立；(3)若,求证：对任意都成立.解 (1)由得：即，求得（2）由知，两边同除以，得（3） ，将代入，得； 而， 由知，命题成立.例2: 设数列的前项和为，。（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；（2）设数列的前n项和为，求证：；（3）是否存在自然数n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,请说明理由。又易知单调递增，故，得(3)由得=13分由，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005. 例3 已知数列中，当时，其前项和满足， (1)求的表达式及

2、的值； (2)求数列的通项公式； (3) 设，求证：当且时，。解：（1）所以是等差数列。则。（2）当时，综上，。（3）令，当时，有 等价于求证。当时，令，则在递增。又，所以即例4 已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记(1) 求；(2) 试比较与的大小（）；(3) 求证：，（）解：(1) ，得，即在中令，可得是首项为，公比为的等比数列，(2) 由(1)可得，而，且，（）例5 数列：满足() 设，求证是等比数列；() 求数列的通项公式; （）设,数列的前项和为,求证: 解：()由得，即， 是以为公比的等比数列 () 又即 ，故（）又例6 给定正整数和正数，对于满足条

3、件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差解：设公差为，则又，当且仅当时，等号成立当数列首项，公差时，的最大值为例7 已知数列an满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若数列是等比数列. （）求数列an的通项公式； （）求证：当k为奇数时，； （）求证： 得=2或=3 当=2时，可得为首项是 ，公比为3的等比数列，则 当=3时，为首项是，公比为2的等比数列， 得， （注：也可由利用待定系数或同除2n+1得通项公式）（）当k为奇数时， （）由（）知k为奇数时， 当n为偶数时， 当n为奇数时，= 例 8 如图，把正分成有限个全等的小正三角形，且在每

4、个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等设点A为第一行，BC为第n行，记点A上的数为，第i行中第j个数为若（1）求；（2）试求第n行中第m个数的表达式（用n、m表示）；（3）记，求证：.解：（1）（2） （3）当时，所以当时，则又所以例9 已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，.（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围.解：（1） ，当时，.当2时，=， 此时=，=+设+，6分（2）由可得当时，由，可得 对一切都成立，此时的解为.当时，由 可得对一切都成立，此时的解为.由，可知对一切，都有的的取值范围是或.例

5、10 已知正项数列中，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。（）求数列的通项公式；（）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围。解：（）将点代入中得（）（）由例11 已知等比数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论解：（）由得:时，是等比数列，得 （）由和得10分当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有综上：当时有；当时有例12 已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所

6、有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.解：（）由题意知即检验知、时，结论也成立，故.（）由于故.（）（）当时，由（）知：，即条件满足；又，.取等于不超过的最大整数，则当时，.9（）当时，.由（）知存在，当时，故存在，当时，不满足条件. （）当时，.取，若存在，当时，则.矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.综上所述：只有时满足条件，故.例13 已知数列满足（1）求；（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；（3）记，数列的前项和为，求证：.解：（1），由数列的递推公式得，（2）=数列为公差是的等差数列.由题意，令，得（3）由（2）知，所以此时=， =例14 已知数

7、列,（）求数列的通项公式（）当时,求证:（）若函数满足： 求证：解： (1) ,两边加得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列.由两边减得: 是以为公比, 为首项的等比数列.-得: 所以,所求通项为5分(2) 当为偶数时,当为奇数时,又为偶数由(1)知, （3）证明：又 例15 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(nN*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式； （2）设bn=2nf(n)，Sn为bn的前n项和，求Sn； （3）记，若对于一切正整数n，总有Tnm成立，求实数m的取值范围. （2）由题意知:bn=3

8、n2n Sn=321+622+923+3(n1)2n1+3n2n 2Sn=322+623+3(n1)2n+3n2n+1Sn=321+322+323+32n3n2n+1 =3（2+22+2n）3n2n+1 =3 =3(2n+12)3nn+1Sn=(33n)2n+16Sn=6+(3n3)2n+1 （3） T1T4Tn 故Tn的最大值是T2=T3= m。例16 (2009陕西卷理) 已知数列满足， .猜想数列的单调性，并证明你的结论；（)证明：。 证明（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+

9、1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，结论成立当时，易知 例17 已知函数（I）求（II）已知数列满足,求数列的通项公式;() 求证:.解:()因为所以设S=（1）S=.(2)(1)+(2)得:=,所以S=3012()由两边同减去1,得所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列,所以因为所以所以例18 过点P（1，0）作曲线的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，。依此下去，得到一系列点M1，M2，Mn，设它们的横坐标a1，a2，an，构成数列为。 （1）求证数列是等比数列，并求其通项公式；

10、 （2）求证：； （3）当的前n项和Sn。解：（1）对求导数，得的切线方程是 当n=1时，切线过点P（1，0），即0当n1时，切线过点，即0所以数列所以数列 （2）应用二项公式定理，得 （3）当，同乘以 两式相减，得所以 例19 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。解：（）当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是（）由（）知 = 又当当 （）由（）知一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则 对一切大于1的奇数n恒成立只对满足

11、的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有 当n为偶数时，设则 当n为奇数时，设则 对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4例20 已知数集序列1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数，() 求第n个集合中最小数an的表达式； （）求第n个集合中各数之和Sn的表达式； （）令f(n)= ，求证：2解: () 设第n个集合中最小数an , 则第个集合中最小数 , 又第个集合中共有个数, 且依次增加2 , ,即

12、, , 相加得 ,即得 .又 , . （）由()得 , 从而得 . （）由（）得 , , , 又当2 时, . . 2 .例21 首项为正数的数列满足 （I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，求的取值范围.解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。（II）（方法一）由知，当且仅当或。另一方面，若则；若，则根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。（方法二）由得于是或。 因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。 因此，对一切都有的充要条件是或。例22 各项均为正数的数列，且对满足的

13、正整数都有（1）当时，求通项 （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有解：（1）由得将代入化简得 所以 故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2) 由题设的值仅与有关,记为则 考察函数 ,则在定义域上有 故对， 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 例23 设 . 记，. 证明：.【证明】（）如果，则，。 （）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对，有.注意到 当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 。 （3）当时，记，则对于任意，且。对

14、于任意，, 则。 所以，。当时，即。因此。综合（）（）（），得。 例24 已知数列满足，满足 ，证明： 。证明：记 ，则 。而。 因为，所以。 从而有 。 （1）又因为，所以，即。从而有 。 （2） 由（1）和（2）即得 。 综合得到 。左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 例25 设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：证明 （1）在已知关系式中，令，可得；令，可得 令，可得 由得，代入，化简得 （2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以例26:已知点(an,an1)在曲线f(x)上, 且a11.(1)求f(x)的定义域;(2)求证: (nN*)

15、(3)求证: 数列an前n项和 (n1, nN*)解:(1) 由f(x)知x满足: x2 0, 0 , 0 0, 故x0, 或x1.f(x)定义域为: (, 1(0,)(2) an12an2 , 则an12an2 于是有: an12a12 an121要证明: 只需证明: ( *) 下面使用数学归纳法证明: (n1,nN*) 在n1时, a11, a12, 则n1时 (* )式成立. 假设nk时, 成立, 由 要证明: 只需2k1 只需(2k1)38k(k1)2 只需证: , 只需证: 4k211k80, 而4k211k80在k1时恒成立. 于是: . 因此 得证. 综合可知( *)式得证, 从

16、而原不等式成立.(3)要证明: ,由(2)可知只需证: (n2) (* )下面用分析法证明: (*)式成立. 要使(*)成立,只需证: (3n2)(3n1)即只需证: (3n2)3n(3n1)3(n1), 只需证:2n1. 而2n1在n1时显然成立,故(*)式得证.于是由(*)式可知有: 因此有: Sna1a2an12( ) 例27:已知函数的定义域为，且同时满足：对任意，总有，； 若，且，则有（1）求的值；（2）试求的最大值；（3）设数列的前项和为，且满足， 求证：解：（1）令，则，又由题意，有 （2）任取 且，则00又f(x)为奇函数，f(x)+f(x)=0 b=0 ，又f(1)=1，a=1+c0，当x0时， a=2，b=0，c=1， (2)，x1(0，1)，xn+10(nN*)又矛盾，xn+1xn。(3)0xkbn.解：（1）在已知式中，当n=1时， a10 a1=1 当n2时， 得， an0 =2Snan a1=1适合上式 当n2时， =2Sn1an1 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1 an+an10 anan1=1数列an是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n （2） 当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，bn例33:已知数列的前n项和为，