中学高三数学数学空间向量解立体几何问题复习课件新人教A版汇编

1、 2 空间向量的引入为代数方法处理立体几空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角与距离的问题。量的办法解决空间角与距离的问题。 3 建立空间直角坐标系，解立体几何题建立空间直角坐标系，解立体几何题

2、 1 1223 3 0a ba ba b ba 112233 ,()ab ab abRba| 112222 /ababab 一、常用公式：一、常用公式： 1、求线段的长度：、求线段的长度： 222 zyxABAB 2 12 2 12 2 12 zzyyxx 2、平行、平行 3、垂直、垂直 4 4、求、求P点到平面点到平面 的距离：的距离： | | n nPM PN ，（，（N为垂足，为垂足，M为斜足，为斜足，n为平面为平面的法向量）的法向量） 5、求直线、求直线l与平面与平面所成的角所成的角： | | | |sin| nPM nPM ，( lPM Mn为为的法向量的法向量) 6、求两异面直线、

3、求两异面直线AB与与CD的夹角：的夹角： | | cos CDAB CDAB 5 7、求二面角的平面角、求二面角的平面角 : ( 为二面角的两个面的法向量）为二面角的两个面的法向量） | cos 21 21 nn nn 1 n 2 n 8、求二面角的平面角、求二面角的平面角 : S S射影 cos（射影面积法）（射影面积法） 9、求法向量：找；求：设、求法向量：找；求：设ba, 为平面为平面内的任意两个向量，内的任意两个向量， ),(zyxn 为为 的法向量的法向量 0 0 nb na 则由方程组则由方程组 可求得法向量可求得法向量n 6 例一： 0 90 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿

4、着 111 ABCABC平面的法向量平移到位置，已知 1 BCCACC， 111111 ABACDF取、的中点、 ， 11 BDAF求与所成的角的余弦值. C A 1 A B 1 B 1 C 1 D 1 F 题型一：线线角题型一：线线角 异面直线异面直线AB与与CD所成角：所成角： | | cos CDAB CDAB 7 A 1 A B 1 B C 1 C 1 D 1 F x y z 所以： 题型一：线线角题型一：线线角 A 1 A B 1 B 1 C 1 D 1 F 解：以点C为坐标原点建立空间 直角坐标系 如图所示， 设 则 1 1CC (1,0,0), (0,1,0),AB Cxyz C

5、 ) 1 , 2 1 , 2 1 (),1 , 0 , 2 1 ( 11 DF ) 1 , 2 1 , 2 1 (,) 1 , 0 , 2 1 ( 11 DBFA 10 30 2 3 4 5 | 1 4 1 | | | 11 11 DBFA DBFA 11 cos,AF BD | 所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为 1 BD 1 AF 10 30 8 例二例二： 在长方体在长方体 中，中， 1111 ABCDABC D 58,ABAD = ， 1 4,AA 111 2,MBCB M 为上的一点,且 1 NAD点 在线段上， 1 .ADAN 1 .ADAM(1)求证： A B C

6、D 1 A 1 B 1 C 1 D M x y z (5,2,4),AM 1 (0,8, 4),AD (0,0,0),A 1(0,0,4), A (0,8,0),D(5,2,4)M 题型一：线线角题型一：线线角两线垂直两线垂直 证明：如图建立坐标系，则证明：如图建立坐标系，则 1 .ADAM0 1 DAMA 9 a 例二例二已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底 面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且， 求证：。求证：。 ABCA B C M BCN CC 1 4 CN CC ABMN N M A C B C A B b c 解解1：向量解法：向

7、量解法 设设 ，则由已知条件和正三棱柱的性质，则由已知条件和正三棱柱的性质 ，得，得 ,ABaACbAAc .ABMN 你能建立直角坐标系解答本题吗？你能建立直角坐标系解答本题吗？ ) 4 1 2 1 2 1 ()(cbacaNMBA cbcabaca 2 1 4 1 2 1 | 4 1 | 2 1 22 , 2 1 , 0, 1|bacbcacba 0 4 1 4 1 2 1 NMBA , 4 1 2 1 2 1 cbaMANANM cbNAbaMAcaBA 4 1 ),( 2 1 , 10 N M A C B C A B .ABMN 解解2：直角坐标法：直角坐标法 。 取取 由由 已知条件

8、和正三棱柱的性质，得已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC, 如图建立坐标系如图建立坐标系m-xyz。则。则 ,GCB的中点 ),1 , 2 1 , 0(),0 , 0 , 2 3 (), 4 1 , 2 1 , 0(), 0 , 0 , 0(BANM ) 1 , 2 1 , 2 3 (); 4 1 , 2 1 , 0(BANM 0 4 1 4 1 0 1 4 1 ) 2 1 ( 2 1 0 2 3 MNBA X Y Z G 例例2 2已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底 面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且， 求证：。求证：。 ABCA

9、B C M BCN CC 1 4 CN CC ABMN 11 题型二：线面角题型二：线面角 在长方体在长方体 中，中， A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M x y z ADANM（2）求与平面所成的角. B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N | | |sin| nAD nAD 解：如图建立坐标系A-xyz,则 (0,0,0),A)6 , 2 , 6(M 可得由, 5 1 NA)3 , 4 , 0(N ).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA 由的法向量设平面),(zyxn 0 0 nNA nMA 034 0626 zy zyx 即 例三：例三： 1

10、111 ABCDABC D 11 2,MBCB M 为上的一点,且 1 NAD点 在线段上， 5 1 NA , 6 1 AA , 8, 6ADAB 12 例三：例三： 题型二：线面角题型二：线面角 在长方体在长方体 中，中， 1111 ABCDABC D58,ABAD = ， 11 2,MBCB M 为上的一点,且 1 NAD点 在线段上， A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N x y z ADANM（2）求与平面所成的角. B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N 5 1 NA ) 3 4 , 1 , 1 (n 得 , 34 343 ) 3 4 (118 |081

11、0| 222 (0,8,0),AD 又 ADANM与平面所成角的正弦值是 34 343 , 6 1 AA | | |sin| nDA nDA 13 A B D C A1 B1 D1 C1 例四例四. .在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E E E F 题型三：线面平行题型三：线面平行 ) 1 , 0 , 0(),2 , 2 , 0(),2 , 0 , 2( . 2 , 11 ECA AD xyzD 则设 证明：如图建立坐标系 x y z ).1 , 1 , 1 ( ),1, 0 , 2(),0

12、, 2 , 2( 1 111 BD EACA 则的法向量设平面),( 11 zyxnCEA 0 0 1 11 nEA nCA 02 022 zx yx 即即 )2, 1 , 1 (n 解得 , 0211 11 nBDnBD ./ 111 ECADB平面 14 题型四：二面角题型四：二面角 A B C D S 。所成的二面角的余弦值与面求面 平面是一直角梯形，例五、如图， SBASCDADBCABSA ABCDSAABCABCD , 2 1 , 1 ,900 解： 建立空直角坐系A-xyz如所示, ),0 , 2 1 , 0(DA( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,(0,0,1

13、)S ) 1, 2 1 , 0(),0 , 2 1 , 1 (DSDC ),0 , 2 1 , 0( 1 DAnSBA 的法向量易知，面 2 ( , , ),SCDnx y z 的法向量 22 ,nCD nSD 由得： 设平面 0 2 0 2 z y y x ) 1 , 2 , 1 ( 2 n 解得：, 3 6 | ,cos 21 21 21 nn nn nn 。是即所求二面角的余弦值 3 6 x y z 15 题型五：异面直线的距离题型五：异面直线的距离 的距离。与的中点。求为 中底面的侧棱已知：直三棱柱例 1 0 1111 ,90, 2 , 4. 6 ABCEABEBCABCAC ABCAACBAABC z x y A B C C1 ).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(, 1