第7章弯曲正应力(1,2)

1、 第七章 弯曲应力 第七章 弯曲应力 7-17-1梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 7-2 7-2 梁横截面切应力梁横截面切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 7-4 7-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 比较比较分类法分类法 第第7章知识点章知识点 梁的正应力梁的正应力 （公式、适用范（公式、适用范 围、最大正应力围、最大正应力） 梁的切应力梁的切应力 （各种截面的切应力（各种截面的切应力 及其最大切应力）及其最大切应力） 提高梁强度的措施提高梁强度的措施 （三方面）（三方面） 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 及其解决的三问题及

2、其解决的三问题 梁的切应力强度梁的切应力强度 条件及其计算条件及其计算 弯曲中心的概念弯曲中心的概念 y z dA dA dA S F M dAM S FAd 在横截面上，只有法向内力在横截面上，只有法向内力 元素元素dA才能合成弯矩才能合成弯矩M， 只有切向内力元素只有切向内力元素dA才能才能 合成剪力合成剪力FS S M S F 本章研究主要研究等直梁在平面弯曲时，其横截面上的本章研究主要研究等直梁在平面弯曲时，其横截面上的 正应力、剪应力以及有关的强度计算。正应力、剪应力以及有关的强度计算。 MydA A s A FdA FF const=0= S MF， 纯弯曲（纯弯曲（CD段）段）：

3、 00，MFS 横力弯曲或剪切弯曲横力弯曲或剪切弯曲 （AC段和段和DB段）段）： FF aa l CD A B F S F F MFa 7-17-1梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 一、一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 横截面上只有正应力，没有剪应力。横截面上只有正应力，没有剪应力。 横截面上既有正应力，又有剪应力。横截面上既有正应力，又有剪应力。 梁弯曲动画梁弯曲动画 弯曲变形动画弯曲变形动画 一一. .几何变形几何变形 aa bb mn mn MM M M （1）aa、bb弯成弯成 弧线，弧线，aa缩短，缩短，bb 伸长伸

4、长,部分纵向线部分纵向线 段缩短，另一部分段缩短，另一部分 纵向线段伸长。纵向线段伸长。 （2 2）mm、nn变形后变形后 仍保持为直线，且仍仍保持为直线，且仍 与变为弧线的与变为弧线的aa，bb 正交。正交。 1.1.平面假设平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.2.单向受力假设单向受力假设： 梁由无数根纵向纤维组成，假设各纵向纤维之间互不梁由无数根纵向纤维组成，假设各纵向纤维之间互不 挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。挤压。于

5、是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不一层纵向纤维既不伸长也不 缩短缩短, ,保持原来的长度保持原来的长度，这一纵向纤维层称为，这一纵向纤维层称为中性层中性层。 中性层中性层 中性轴中性轴 中性层中性层 中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性中性轴轴 横截面上任一点的线应变横截面上任一点的线应变 二二. . 物理关系物理关系 d dd)( d d y x x d y y E E y 结论：一点的正应力与它到中性层的距离成正比

6、。结论：一点的正应力与它到中性层的距离成正比。 dx xd y z dx yy 结论：一点的的线应变与它到中性层结论：一点的的线应变与它到中性层 的距离成正比。的距离成正比。 三三. .静力平衡静力平衡 A AFd N A y AzMd A z AyMd 0 0 M 0d N A AF0d A A y E 0d A Ay E 0 z A SydA 必过截面形心中性轴Z 横截面对横截面对Z Z轴的静矩轴的静矩 设中性轴为zdA y z M y E 0d A y AzM0d AA zydA E A y zE 0 yz A IzydA MAyM A z d MA y yE A d z EI M 1

7、z A IdAy 2 截面的惯性积（截面的惯性积（ y y为对称轴）为对称轴） 截面对截面对z z轴（中性轴）的惯性轴（中性轴）的惯性 矩矩 中性层的曲率公式中性层的曲率公式 设中性轴为zdA y z M y E z EI M 1 y E z I My 注意：注意：上述公式是由矩形截面梁在纯弯曲情况下推导出来的，上述公式是由矩形截面梁在纯弯曲情况下推导出来的， 但但它对具有所有横截面形状对称于它对具有所有横截面形状对称于y轴的梁都适用轴的梁都适用，例如截面，例如截面 为圆形、工字形和梯形等。此外，上述公式是在直梁的条件下为圆形、工字形和梯形等。此外，上述公式是在直梁的条件下 推导的，推导的，一

8、般不能用于曲梁；但当曲梁的曲率半径于截面高度一般不能用于曲梁；但当曲梁的曲率半径于截面高度 之比大于之比大于10时，也可以近似应用。时，也可以近似应用。该公式适用于弹性范围该公式适用于弹性范围。 讨论讨论 I yM z max max z W M max max y I W z z 请同学们思考等直梁最大正应请同学们思考等直梁最大正应 力公式如何写力公式如何写? b h z y z d y z D d y 322/ 64/ 2/ 34 d d d d I W z z 62/ 12/ 2/ 23 bh h bh h I W z z D d D Wz )1 ( 32 4 3 梁的抗弯截面系数（抗弯

9、截面模量）：梁的抗弯截面系数（抗弯截面模量）： z y y maxc y maxt M y maxt y maxc z I My maxc tmax 2 max max z z W M I My c c 1 max max z z W M I My t t max 2 max 1 , c z z t z z y I W y I W 二、二、 横力弯曲时的正应力和梁的正应力强度条件横力弯曲时的正应力和梁的正应力强度条件 z I yxM （一）横力弯曲时的正应力（一）横力弯曲时的正应力 （二）梁弯曲正应力强度条件（二）梁弯曲正应力强度条件 上式是在上式是在平面假设平面假设和和单向受力假设单向受力假

10、设的基础上推导的，的基础上推导的， 实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于对于横力弯曲，由于剪力剪力的存在，横截面产生剪切变形，的存在，横截面产生剪切变形， 使使横截面发生翘曲横截面发生翘曲，不再保持为平面。理论证明在，不再保持为平面。理论证明在L/h大于大于5 时该式的精度能满足工程要求。时该式的精度能满足工程要求。 Z I yM 利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算： max max M WZ 已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度； 已知外力、截面形状、许用应力

11、，设计截面尺寸已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸; ; 已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷 max M Wz z WM max 等直梁的危险截面：等直梁的危险截面：最大弯矩最大弯矩Mmax所在的截面所在的截面; 等直梁的危险点：等直梁的危险点：危险截面上离中性轴最远的点。危险截面上离中性轴最远的点。 其正应力强度条件可写成：其正应力强度条件可写成： 或或 注意：在进行强度校核、选则截面尺寸、确注意：在进行强度校核、选则截面尺寸、确 定许用荷载时，若定许用荷载时，若 （1） ct ct （塑性材料）只须校核（塑性材料）只须校核Mmax处处 （2）

12、（脆性材料）（脆性材料） (a)对称截面情况只须校核对称截面情况只须校核Mmax处使处使 cctt , maxmax (b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与与 M-max两处。两处。 三、三、 举例举例 例例7-17-1：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同， 但放置分别如图但放置分别如图(a)(a)、(b)(b)。按弯曲正应力强度条。按弯曲正应力强度条 件确定两者许可载荷之比件确定两者许可载荷之比 P P1 1P P2 2？ l 解：解： 6/ 2 1 1 1max 1max bh lP W M z 6/ 2

13、2 2 2max 2max hb lP W M z 由得 maxmax : 12 P P h b 1 2 例例7-27-2主主梁梁ABAB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CDCD的方法提高承的方法提高承 载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副 梁的最佳长度梁的最佳长度a为多少？为多少？ 解解： a 2 a 2 l 2 l 2 P AB CD 4/ )( max alPM AB 主梁主梁AB:AB: M M P la ABmax () 4 2P AB 2 / )( al2 / )( al 2P P a C D 副梁副梁CD:CD

14、: M Pa CDmax 4 P la Pa 44 () 由由 CDAB MM)()( maxmax 得得a l 2 M 4 P )(M CDmax a 例例7-37-3受均布载荷的外伸梁材料许用应力受均布载荷的外伸梁材料许用应力 校核该梁的强度。校核该梁的强度。 解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见 MPa160 Mmax20kN m 2m4m 10kN/m 100 200 45kN 15kN S F 20 25 15 t z M W max 6/2 . 01 . 0 1020 2 3 MPa30 t 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全 M 20 25.11 例例7-47-4图示铸铁梁

15、，许用拉应力图示铸铁梁，许用拉应力 t t =30MPa=30MPa，许，许 用压应力用压应力 c c =60MPa,=60MPa,z z=7.63=7.631010-6 -6m m4 4，试校核此 ，试校核此 梁的强度。梁的强度。 9kN 4kN 1m1m1m A B CD M 25 . kN105 . kN Cz 52 88 C C截面截面 B B截面截面 2.5 4 MPa8 .28 885 . 2 z t I t MPa17 525 . 2 z c I c MPa27 524 z t I t MPa46 884 z c I c 例例7-5 图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已

16、知号工字钢制成，已知 F=150kN。试求危险截面上的最大正应力。试求危险截面上的最大正应力max 和同和同 一横截面上翼缘与腹板交界处一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力 a 。 B 5 m 10 m A F C FA FB 12.5 21 166 560 z a 375 kN.m M 解：解：1、作弯矩图如上，、作弯矩图如上，mkN375 4 max Fl M 2、查型钢表得、查型钢表得 3 cm2342 z W 4 cm65586 z I MPa160 mm102342 mmN10375 33 6 max max z W M MPa148 mm1065586 mm21 2

17、 560 mmN10375 44 6 max z a a I yM 56号工字钢号工字钢 3、求正应力为、求正应力为 12.5 21 166 560 z a 或根据正应力沿梁高的线性分布关系的或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 MPa160 max MPa148MPa160 2 560 21 2 560 max max y ya a 12.5 21 166 560 z a 例例7-6 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简 图。钢的许用弯曲正应力图。钢的许用弯曲正应力 =152 MPa 。试选择。试选择 工字钢的号码。工字钢的号码。 AB FFF=75kN 2

18、.5m2.5m2.5m2.5m 10 m FB FA 解：解：1、支反力为、支反力为kN5 .102 2 3 FFF BA 作弯矩图如上。作弯矩图如上。 281 375 单位：单位： kNm 2、根据强度条件确定截面尺寸、根据强度条件确定截面尺寸 此时此时 z W M max 33 6 max mm102460 MPa152 mmN10375 M Wz 333 mm102447cm2447 z W 查型钢表得查型钢表得56b号工字钢的号工字钢的Wz比较接近要求值比较接近要求值 mkN375 max M MPa153 z max max W M 误差小于5%，可用 例例7-7 图示槽形截面铸铁梁

19、，已知：图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面，截面 对中性轴的惯性矩对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用铸铁的许用 拉应力拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 c =90 MPa。 试求梁的许可荷载试求梁的许可荷载F 。 解：解：1、梁的支反力为、梁的支反力为 z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 B F C b q=F/b D bb A FB FA FFB 4 7 4 F FA 据此作出梁的弯矩图如下据此作出梁的弯矩图如下 4 max Fb M 2 max Fb M 发生在截面发生在截面C 发生在截面发生在截面B z y

20、 C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 B F C b q=F/b D bb A 2、计算最大拉、压正应力、计算最大拉、压正应力 由于梁是脆性材料，并且截面对中性轴由于梁是脆性材料，并且截面对中性轴z不对称，不对称， 所以，由强度条件确定许用荷载，所以，由强度条件确定许用荷载，B、C截面都要截面都要 考虑。考虑。 z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 C截面截面 B截面截面 压应力压应力 拉应力拉应力 拉应力拉应力 压应力压应力 MPa30 mm105493 mm86mm1022/ 43 3 2 maxt,

21、 F I yM z B 考虑截面考虑截面B ： MPa90 mm105493 mm341mm1022/ 44 3 1 maxc, F I yM z B kN2 .19F kN8 .73F z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 考虑截面考虑截面C： 因此梁的强度由截面因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制上的最大拉应力控制 MPa30 mm105493 mm134mm1024/ 44 3 1 maxt, F I yM z C kN2 .19F kN6 .24F z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 M

22、Pa90 mm105493 mm86mm1024/ 44 3 2 maxc, F I yM z C kN97.114F 解：解： ( ) ( ) 1 2 1 2 得： y y t c t z t My I max 1 c z c My I max 2 ( ) 1 ( )2 例例7-87-8图示梁的截面为图示梁的截面为T T形，材料的许用拉应力和许形，材料的许用拉应力和许 用压应力分别为用压应力分别为t t和和c c，则，则 y1和和 y2 的最佳的最佳 比值为多少？（为截面形心）比值为多少？（为截面形心） CL8TU9 P C y1 y2 z M -PL 例例7-97-9简支梁简支梁ABAB，

23、在截面下边缘贴一应变片，测，在截面下边缘贴一应变片，测 得其应变得其应变= 610-4，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E=200GPaE=200GPa，求，求 载荷载荷P的大小。的大小。 04 . m05 . m 1m P A B C D 40 20 解：解： C点的应力点的应力 C E 20010610 34 MPa120 C 由由C截面的弯矩截面的弯矩 MW CCz PFM AC 4 . 05 . 05 . 0 得得 P 32 . kN 02 . P640N m 640N m 04 . m05 . m 1m P A B C D 支座反力支座反力PFA4 . 0 例例7-107-10图示木

24、梁，已知下边缘纵向总伸长为图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷求载荷P的大小。的大小。 P 2m AB C 200 300 2m 解：解： 2/ 0 d)( l AC xx P 2 m AB C 200 300 2 m x dx 2/ 0 d )( l x E x 2/ 0 d )( l z x EW xM 2/ 0 d 2 l z x EW xP Pl W E z 2 16 P W E l zAC 16 2 16 4 0203 6 10510 2 2 103 . kN150P 7-11 我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺

25、寸比例 是是 h:bh:b=3:2=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯 出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 （使（使Wz最大） b h d 解：解： bhd 222 W bh z 2 6 b db() 22 6 0 26d d 22 bd b Wz 由此得由此得b d 3 hdbd 22 2 3 2 b h 例7-12图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直 径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力 160MPa 。 不考虑切应力，试计算结构的许可载荷q。 m2m1 A B D C q

26、d FA FB kN q FA 4 3 kN q FB 4 9 32 9q q 2 1 Z W max M Z W q5 . 0 mkN W q Z /68.15 5 . 0 A FNBD 梁的强度 杆的强度 2 4 1 4 9 d q 2 9 1 dq mkN /3 .22 mkNq/68.15 练习 试对图示结构布置图中的L2梁进行截面选择。两梁均 采用工字钢截面，215MPa，已知L1梁上简支板的荷载设 计值为3.5kN/m2。 2L 1L m1052 m4 m2 mkNq/725 . 3 kNF5 .31 4 367 5 .315 .315 .315 .31 kNm189 3 3 max 879 215