第4章 离散时间系统结构与滤波器设计4(FIR滤波器设计2)

1、n1、四大类FIR线性相位滤波器长度， 对称特性，群延迟及特殊零点 n2、求 n3、求h(n) 1 jw)e(H j dxxx)sin( )2/Mn( )2/Mn(sin )2/Mn( )2/Mn(sin nh c ccc lp 2 n具有广义线性相位的理想高通滤波器的 频率响应为： n其单位冲激响应为： 高通滤波器 c M/2j - cj hp e 0 )e (H )2/Mn( )2/Mn(sin )2/Mn( )2/Mn(sin nh c hp 3 4 n所要求设计的高通滤波器的技术指标： n根据凯泽窗设计公式可得到： n由窗函数设计法的对称性可得： 425. 0)/2( 24M2.6,

2、021. 0,5 . 0,35. 0 ,1)e (H1 ,)e (H psc 21ps p1 j hp1 s2 j hp 5 第I类线性相位高通滤波器 6 7 n通过验证计算可得此时的通带逼近误差 为0.0213，高于预定指标0.021， n可以通过增大的方法而达到预定指标； n也可以保持不变,改变M n将M增大至25，调整过渡带变窄而满足指标，但 是此时为II类线性相位系统，在=处为零， 不适合高通系统， n因此可以将M增大至26就会解决此问题。 8 9 n多通带滤波器 1 G2 G3 G4 w1w2w3 G1 wc mb N 1k k 1kkmb 2/M-j M/2)-(n M/2)-(n

3、sin )GG()n(h e)( 逼近误差与跳变幅度成正比，在设计时需要进行指标的归一化，利 用最苛刻的指标进行凯泽窗设计 带通,带阻滤波器 10 11 离散时间微分器 n理想的连续时间微分器的频率响应为： n其理想冲激响应为： 2 diff M/2)-(n M/2)-(nsin M/2)-(n M/2)-(nc )n(h os 2/M-j e )()( jwH diff 12 n零相微分器 00 0! 1 )1( )sin( 2 1 )sin( 2 1 )sin( 2 1 )cos( 2 2 1 )n(h 2 d n n n dxxx n dwwnw dwwnwdwwnw j dwjwe n

4、 n n jwn jwH diff )( 13 M=5,b=2.4 M=10,b=2.4 14 n频率抽样法从频域出发，把给定的理想频率抽样法从频域出发，把给定的理想 频率响应频率响应Hd(ejw)加以等间隔抽样，即：加以等间隔抽样，即： n以此作为实际以此作为实际FIR数字滤波器的频率特数字滤波器的频率特 性的抽样值性的抽样值H(k)，即令：，即令： kHeH d k N w jw d 2 )( 1, 1 , 0,)()( 2 NkeHkHkH k N w jw dd 三、三、 频率抽样法频率抽样法 15 有限长序列的频域重构 1,.2 ,1 ,0)(|)()( 2 2 NkenhzHkH

5、n kn N j ez k N j )()( 1 )( 1 0 2 nRekH N nh N N k kn N j 1 0 1 2 1 0 1 2 1 )(1 1 1 )( 1 N k k N j N N k k N j N ze kH N z ze z kH N 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 0 )( 1 )( 1 )()( N k N n n k N j N n n N k kn N j N n n ezkH N zekH N znhzH 16 1 0 1 1 )(1 )( N k k N N zW kH N z zH k N wkHeH N k jw 2 1 0 2 1

6、 2 sin 2 sin 1 )( N jw e w wN N w 1 0 2 1 ) 2 ( )1( 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 1 0 2 21 0 ) 2 ( 2 2 sin 2 ) 2 ( sin 1 )( 2 sin 2 sin 1 )( 2 sin 2 sin 1 )( 2 sin 2 sin 1 )( 2 sin 2 sin 1 )( 1 )(1 N k N k N wj N kN j N jwN k N k j N jw kj N k N k j N jwN k N k N kw j wN j N k N k wj jwN jw e k N w Nk N w

7、 N kHee N kw k wN N kH ee N kw ek wN N kHee N kw wN N kH N kw wN e e N kH e kH N e eH 1 0 )( 1 2 )( 1 0 )( 1 2 )( 1 )( )1 ( 1 1 )( )1 ( 1 )( N k zH k N j zHc NN N k zH k N j r zHc NN KK zre kH zr N zre kH zr N zH 频率抽样法需要注意的问题 n1、实现结构稳定性的考虑实现结构稳定性的考虑 n极点在单位圆上，存在极点在单位圆上，存在系数量化误差系数量化误差时，时，极点会极点会 移动移动,若

8、若不能被梳状滤波器的零点所抵消，系统不能被梳状滤波器的零点所抵消，系统 就就不能保持稳定不能保持稳定 n为克服此缺点，可以将为克服此缺点，可以将所有零、极点都移到单位所有零、极点都移到单位 圆内圆内某一靠近单位圆、半径为某一靠近单位圆、半径为r(小于或近似等于小于或近似等于 1)的圆上（的圆上（r为正实数）。为正实数）。 18 n频率抽样点上滤波器实际频率响应严格地和理想频率响应数值相频率抽样点上滤波器实际频率响应严格地和理想频率响应数值相 等。等。 n抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数的延伸叠抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数的延伸叠 加而形成的，有一定的逼近误差

9、。加而形成的，有一定的逼近误差。 n逼近误差取决于理想频率响应曲线形状，采样点数等逼近误差取决于理想频率响应曲线形状，采样点数等. 2、过渡带抽样优化设计、过渡带抽样优化设计 19 n一般过渡带取二、三点抽样值即可得到满意结果。一般过渡带取二、三点抽样值即可得到满意结果。 n在低通设计中，不加过渡抽样点时，阻带最小衰在低通设计中，不加过渡抽样点时，阻带最小衰 减为减为-2OdB， n一点过渡抽样的一点过渡抽样的最优最优设计，阻带最小衰减可提高到设计，阻带最小衰减可提高到-4O 到到-54dB左右，左右， n二点二点过渡抽样的最优设计可达过渡抽样的最优设计可达-6OdB到到-75dB左右，左右，

10、 n三点过渡抽样的最优设计则可达三点过渡抽样的最优设计则可达-80dB到到-95dB左右。左右。 n频率抽样法的频率抽样法的优点优点是可以在是可以在频域直接设计频域直接设计，并且，并且 适合于最优化设计适合于最优化设计 20 n如果设计的是线性相位的如果设计的是线性相位的FIR数字滤波数字滤波 器，则其抽样值的幅度和相位一定要满器，则其抽样值的幅度和相位一定要满 足对称的约束条件。足对称的约束条件。 n第第I类线性相位类线性相位FIR滤波器：滤波器： n幅度函数应为偶对称的：幅度函数应为偶对称的： n如果抽样值也用幅值与相角表示，则：如果抽样值也用幅值与相角表示，则： n必须满足：必须满足：

11、w N j jw ewHeH ) 2 1 ( )()( )2()(wHwH kk j k j k N j eHek N HeHkH ) 2 ()()( 2 N kk N N k 1 1 2 2 1 kNk HH 3、线性相位的约束、线性相位的约束 21 n对对 进行频率抽样，就是在进行频率抽样，就是在z平面单位平面单位 圆上的圆上的N个等间隔点上抽取出频率响应值。个等间隔点上抽取出频率响应值。 n为保证线性相位特性，在单位圆上可以有为保证线性相位特性，在单位圆上可以有 两种抽样方式：两种抽样方式： n第一种是第一个抽样点在第一种是第一个抽样点在 处处(或或 ) n第二种是第一个抽样点在第二种是

12、第一个抽样点在 处处(或或 ) n每种方式可分为每种方式可分为N是偶数、奇数两种是偶数、奇数两种 )( jw d eH 0w 1 0 j ez Nw/ N j ez 4、频率抽样的两种方法、频率抽样的两种方法 22 23 n第一种频率抽样第一种频率抽样(I型型)为：为： n其内插公式保持不变。其内插公式保持不变。 10 ,)( )()( 2 NkeH kHkH k N w jw d d 1 0 1 1 )(1 )( N k k N N zW kH N z zH 24 n第二种频率抽样第二种频率抽样(型型)为：为： nH(z)? 10 ,)()( )()()( 2 1 0 1 0 ) 2 1 (

13、 2 ) 2 1 ( 22 Nkeenhenh eHkHkH nk N j N n n N j N n nk N j k N k NN w jw dd 1,.2 , 1 , 0)(| )()( 2 2 NkenxzXkX n kn N j ez k N j )()( 1 )( 1 0 2 nRekX N nx N N k kn N j nk N j N n n N j N n nk N j k N k NN w jw eenxenx eXkX 2 1 0 1 0 ) 2 1 ( 2 ) 2 1 ( 22 )()( )()( 1 0 2 )( 1 N k nk N j ekX N 1 0 ) 2

14、 1 ( 2 )( 1 )( N k nk N j ekH N nh n N j enx )( 26 n求求z变换，可得：变换，可得： 1 01 ) 2 1 ( 2 1 0 1 0 ) 2 1 ( 2 1 )(1 )( 1 )( N k k N j N N n n N k nk N j ze kH N z zekH N zH N j e )0(H N j e 3 ) 1(NH N N j e )12( ) 1 (H N z N 1 )(nx )(ny 1 z 1 z 1 z 27 低通滤波器设计为例： 设采样点数为N,截止频率为c , c 对应的样本点序号为kc ， N为偶数时 (1)/ (1

15、)/ 0,1,., ( )0 +1, 1 ,.,1 j NkN c dcc j NkN c e e kk HkkkNk kNkN N为奇数时 (1)/ 0,1,.,; ,1 ( ) 0 j NkN cc d ekkkNkN Hk k 为其他值 频率抽样法设计任意滤波器 n滤波器幅度取样值要 求为 n1）可以直接由频率内插公式 求得频率响应，并由频率内 插结构实现滤波器 n2）也可以由H(K)求得h(n)， 从而求取频率响应，并实现 滤波器 28 elsek k k kH 13,3 15,14,2 ,1 ,0 0 5.0 1 )( 频率抽样法设计低通滤波器 29 按第一种频率抽样设计，N=30

16、30 10Int4 2 ( ) 0Int1515 22 c c N k H k NN k 5 15 1 30 sin 30sin 30sin 2302302 30sin30sin30sin 2230230 jj k kk H ee kk 3 4 21.6 10 220.213 21.5 10 pp p ss w f 3 4 23.1 10 220.413 21.5 10 stst st ss w f 2 50dB 过渡点优化 n为改善频率特性，以满足指标要求，可在通带和阻 带交界处安排一个或者几个不等于1的抽样值。 n此处令： n优化后最小阻带衰减约为60dB左右 31 (6)0.1065H(

17、5)0.5886H 32 4.5 IIR与与FIR滤波器特性比较滤波器特性比较 n1、在相同的技术指标下，、在相同的技术指标下，IIR滤波器可用比滤波器可用比 FIR滤波器较少的阶数来满足指标的要求，所滤波器较少的阶数来满足指标的要求，所 用的存储单元少，运算次数少，较为经济。用的存储单元少，运算次数少，较为经济。 n例如，用频率抽样法设计阻带衰减为例如，用频率抽样法设计阻带衰减为-20dB的的FIR 滤波器，其阶数要滤波器，其阶数要33阶阶才能达到，而才能达到，而双线性变换法双线性变换法 设计只需设计只需45阶阶的切贝雪夫的切贝雪夫IIR滤波器即可达到指滤波器即可达到指 标要求，所以阶数要高

18、标要求，所以阶数要高510倍左右。倍左右。 n2、FIR滤波器可得到严格的线性滤波器可得到严格的线性相位相位，IIR滤滤 波器的频率选择性愈好，其相位的波器的频率选择性愈好，其相位的非线性失真非线性失真 愈严重愈严重。 33 n 3、FIR滤波器主要采用非递归结构，因而无滤波器主要采用非递归结构，因而无 论是从理论上还是从实际的有限精度的运算中论是从理论上还是从实际的有限精度的运算中 它都是稳定的，有限精度运算的误差也较小。它都是稳定的，有限精度运算的误差也较小。 nIIR滤波器必须采用递归结构，极点必须在滤波器必须采用递归结构，极点必须在z平面单平面单 位圆内才能稳定，对于这种结构，有限精度处理有位圆内才能稳定，对于这种结构，有限精度处理有 时会引起寄生振荡（零极限环）。时会引起寄生振荡（零极限环）。 n 4、对于、对于FI