结构力学第四章 影响线

1、1 第四章 影响线 4-1 影响线的基本概念 4-2 静力法作影响线 4-3 机动法作影响线 4-4 影响线的应用 4-5 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩 4-6 超静定力的影响线 4-7 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图 2 本章讨论：静定结构的影响线。主要内容有： 1、影响线的概念、影响线与内力图的区别； 2、静力法作静定结构的影响线，影响函数的意义； 3、机动法作静定结构的影响线的原理、步骤(概念 要清楚、作影响线要快速)； 4、影响线的应用：两个方面 (1) 确定固定荷载下结构的各种量值(内力、反力)； (2) 确定移动荷载的最不利位置。 5、了解简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩。

2、 3 前面各章讨论的荷载都是固定荷载，荷载作用 点的位置是固定不变的。但是有些结构要承受移动 荷载，荷载作用点在结构上是移动的。 本章着重讨论结构在移动荷载作用下的内力计 算问题。这个问题具有结构内力随荷载的移动而变 化的特点，为此需要研究内力的变化范围和变化规 律。 4-1 影响线的基本概念 4 设计时必须以内力的最大值作为设计依据，为 此需要确定荷载的最不利位置，即使结构某个内力 或支座反力达到最大值的荷载位置。 即：1、主要讨论移动荷载下静定结构的内 力变化(变化范围、变化规律)和内力计算问题。 2、确定荷载的最不利位置(使结构某个内 力或支座反力达到最大值的荷载位置)。 5 一、 移动

3、荷载 荷载可以按照不同的方法进行分类，下面给出 按特征进行分类的结果： 移动荷载 荷载 按作用时间 恒载(固定) 活载 可动荷载(占任意位置) 简例：工业厂房中，吊车梁受吊车轮压的作用。 6 FPFP d l AB FRA FRB 计算简图： 当吊车移动时， 各轮压的大小、方向 及轮压间距d不变。 吊车右移时：支 座反力FRA、FRB 和 梁上各截面的内力(M、 FQ)随荷载的移动而 发生变化。 当梁上有两组荷载移动时，梁的受力情况将更复杂。当梁上有两组荷载移动时，梁的受力情况将更复杂。 7 移动荷载：荷载的大小 、方向一定，但荷载位 置连续变化的荷载。 移动荷载有时也是连续的，如桥梁上通过的

4、人 群和履带车辆等。但是通常是一组互相平行且间距 不变的竖向荷载（吊车轮压对吊车梁而言是移动荷 载、汽车、火车轮压对桥梁来说也是移动荷载）。 汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是：一 组竖向集中力（可包括均布荷载）， 各集中力的大 8 小、方向固定，相互间的位置也固定，作为整体在 结构上移动。 FP1FP2FP3FP4 a1a3a2 b a4 q 在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M、 FQ 、 FN）和位移（、）及支座反力均随移动荷 载在结构上的位置变化而变化。 9 二、问题的提出 结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题： 1、对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc） 当给定的移动荷载在

5、什么位置时得到最大值？ 即：(1) 结构的位移、反力和内力最大值是多少？ (2) 最大值发生在哪个截面上？ (3) 荷载(轮压)移动到何位置时上述情况发生？ 该问题是求移动荷载的最不利位置问题。 10 2、对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个 截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值？ 该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。 此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图 的画法等问题。 为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的求 解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷载组成 的，而且每个集中力的大小也不同。但我们首先要 讨论的是具有共性的问题， 即单个移动荷载FP=1 11 在结构上移动时结构内

6、力和位移的变化规律。 现讨论下图所示简支梁，当单个荷载FP=1在梁 上移动时，支座A的反力FRA的变化规律。 FP=1 x B A l FRA 0(0) BRAP lx MFFxl l 12 (0) RA lx Fxl l 由上式可见，FRA与FP成正比，比例系数 称 为FRA的影响系数，用 表示，即： lx l RA F 上式是反力影响系数 与移动荷载位置参数x之间 的函数关系，该函数图形就称为反力 FRA的影响线。 RA F 1 P F x y FRA影响线 1 y (无量纲) 13 在影响线图形中，横坐标x表示单位移动荷载在 梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷载在该位置时， 影响系数 的大

7、小。 RA F 若 梁 上 作用有固定 荷载，则根 据叠加原理， A支座的反力 FRA为： 1122RAPP FF yF y B FP1 A FP2 x y y1 y2 FRA影响线 1 14 P P Z ZF ZZ F 二、 影响线定义 当单位集中移动荷载FP=1在结构上移动时，表 示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线，称为 该量值Z的影响线。 量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座 反力。 影响系数 是Z与FP的比例系数，即： Z 15 与Z 的量纲不同，它们相差荷载FP的量纲。 如FRB的量纲是力，则 的量纲是力/力， 即无量纲。 Z RB F 1、影响线竖标(纵坐标)的含义 某量值

8、Z的影响线上任一点的纵坐标表示荷载 FP=1作用于此点时该量值的大小（影响系数）。 2、影响线的作用 (1) 求得某量值的最大值； (2) 确定该量值的最不利荷载位置。 16 3、绘制影响线的规定 (1) 反力向上为正； (2) 弯矩以梁的下侧受拉为正； (3) 剪力以使截面所在段顺时针转动为正。 (4)正值画在基线(梁轴线)上侧，负值画在下侧。 17 4-2 静力法作影响线 作影响线的方法有两种： 静力法; 机动法。 本节讨论：静力法 静力法：以荷载作用位置x为变量，利用静力 平衡方程写出影响函数，作出影响线。 18 梁弯矩M的正负号： 剪力FQ的正负号： 一、内力和支座反力的正负号 轴力F

9、N的正负号： 竖向反力通常以向上为正，向下为负。 19 二、简支梁的影响线 FP=1 x B A l ab C RA F RB F 静力法作影响线： 用静力平衡方程求出 的函数关系，然后画 出函数图形就求得了 的影响线 。 Zx Z 20 0(0) BRA lx MFxl l 1. 支座反力影响线 0(0) ARB x MFxl l FRA影响线1 FRB影响线 1 0, 1, 0 RA RA Flx Fx 1, 0, 0 RB RB Flx Fx 21 2. 弯矩和剪力影响线 当FP=1在AC 段，取CB段作 隔离体： C M QC F RB F b BC 0(0) 0(0) CCRB yQ

10、CRB MMF bxa FFFxa FP=1 x BA l ab C RA F RB F l a F l ab M l a Fax FMFx QCCRB QCCRB ， ，0000 分析上式：分析上式： 22 当FP=1在CB段，取AC段作隔离体： QC F C M RA F a CA 0() 0() CCRA yQCRA MMFaaxl FFFaxl 000 QCCRA QCCRA FMFlx l b F l ab M l b l al Fax ， ， 分析上式：分析上式： FP=1 x BA l ab C RA F RB F 23 截面C弯矩和剪力影响线如下图示。 a b ab l MC影

11、响线 FQC影响线 l l b l a l 24 由以上可知： 1、作MC的影响线时 可按 的影响线作MC的影响线， 的影 响线扩大b倍， 的影响线扩大a倍，按x的范围选 取。 弯矩MC的影响系数的量纲是长度。 RBRA FF 、 RA F RB F a b ab l MC影响线 25 2、作 的影响线时： 可用 的影响线画出QC影响线； AC、BC段上 的影响线互相平行； 影响系数为无量纲量； 的影响系数在 作用在C点时无意义 （突变正到负）。 QC F RBRA FF 、 QC F QC F QC F1 P F FQC影响线 l l b l a l 26 下面讨论影响线与内力图的区别。 x

12、 FP=1 A C ab l B DA C ab l B FP=1 D 影响线 b l a l FQC影响线 ab l MC影响线 yd b l a l FQC图 内力图 yd ab l MC图 27 1）横坐标x：影响线图中，x是移动荷载的位 置；内力图中，x是梁截面位置。 2）纵坐标y：影响线图中，y是当FP=1在该位 置时影响系数的值；内力图中，y是梁该截面的内 力值。 3）荷载位置：求影响线时，FP=1是移动荷载； 内力图中，荷载位置固定。 即： MC的影响线：是指定截面C的弯矩MC随 FP=1的位置参数x而变化的规律曲线。 28 弯矩图MC：表示的是当FP作用在C点时，不同 截面弯矩

13、的分布规律(截面随x而变化)。 且作图规定不同：M图画在受拉侧；影响线是 在规定使梁下侧受拉时为正，画在梁的上侧，当影 响系数的值为负时，画在梁的下侧。 ab l MC影响线 yd yd ab l MC图 29 竖标的含义： 在MC的影响线中：yD 当FP=1作用在D点时， C截面弯矩MC的影响值。 在弯矩图M中：yD 当FP固定作用在C点时， 在D截面产生的弯矩MD的值。 下面分析FQC影响线：看其特点。 ab l MC影响线 yd yd ab l MC图 30 A C B FP=1 FQC左=b/lFQC右= -a/l a l b l 在FQC影响线图中，竖标 是当FP=1作用于C截面 时

14、，FQC左的值；竖标 则是FQC右的值，如下图所示。 b l a l FQC影响线 l l b l a l 31 三、伸臂梁的影响线三、伸臂梁的影响线 作伸臂梁的影响线时，先画出简支梁的影响 线，然后延伸至悬臂段。 1. . 支座反力影响线支座反力影响线 作FRA及FRB的影响 线如右图示。 () RARB lxx FF ll dxld 0 0 B A M M 由及 得： 1 d l d l l FRA影响线 1 d l d l l FRB影响线 xFP=1 A C ab l B dd ED RA F RB F 32 当FP=1在DC段时，取CE段作隔离体(图a)： 0() 0() CCRB

15、yQCRB MMF bdxa FFFdxa 2. C. C截面弯矩及剪力影响线截面弯矩及剪力影响线 当FP=1在CE段时，取DC段作隔离体(图b)： 0() 0() CCRA yQCRA MMF aaxld FFFaxld C M QC F RB F b B C d E a) C M QC F RA F d AD a C b) 33 MC影响线 FQC影响线 ad l bd l ab l d l d l b l a l MC及FQC影响线如下图示： 3. . 作作FQA右 右及 及A A左截面内力影响线左截面内力影响线 先作FQA右影响线。 34 FQA右影响线如下图示。 (0) RAQA F

16、Fxld 右 当FP=1在DA段，取AE段作隔离体（图a)： 当FP=1在AE段，取DA段作隔离体（图b)： 0 RBQA FFdx 右 A右 d D A M 右 QA F 右 RA F b) l B d E RB F 右QA F 右A M a) A右 35 容易求得FQA左及MA左影响线见下图。 小结：伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的影响线 在AB段与简支梁相同，伸臂段图形则是简支段图形 的延伸。 d 1 MA左影响线 FQA左影响线 FQA右影响线 d l d l l 伸臂段上某截面内力伸臂段上某截面内力 影响线只在截面到梁影响线只在截面到梁 端有影响，其余部分端有影响，其余部分 上无影

17、响。上无影响。 36 如图简支梁AB，荷载FP=1在上部纵梁上移动， 纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。作用在纵梁上作用在纵梁上 的荷载通过横梁形成主梁上的荷载（结点荷载）的荷载通过横梁形成主梁上的荷载（结点荷载）。 求主梁AB某截面内力Z的影响线。 四、结点荷载作用下梁的影响线四、结点荷载作用下梁的影响线 FP=1 ACD K x B 纵梁纵梁横梁横梁主梁主梁 37 由下面的证明可以得出结论： 在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响 线在相邻结点之间是一条直线。下面以MK为例加以 证明。 证明：1）在直接移动荷载作用下，MK的影响线已 经画出。当FP=1在截面C或D时，可得（见图a) ）

18、KcKd MyMy或。 MK影响线（直接荷载） AKB a) yd yc CD 38 2）在结点荷载作用下，当移动荷载FP=1作用 在CD截面之间时，根据叠加原理可得（图b)： d CD K FP=1 x dx d x d b) x d yy yy d x y d xd M cd cdcK 可见， 是 的一次函数，也是x的一次函数。 所以，MK影响线在结点C、D之间是一直线。 K M x 反力反力反力反力 dk ck yMdx yMx , , 0 39 MK影响线（结点荷载） ACKDB yc yd c) 结点荷载作用下 MK影响线如下图c)所示： 在结点荷载作用下， FQK影响线如下图所示：

19、 FQK影响线 A C K D B 40 作结点荷载下影响线的步骤为： 1）作截面K的某量值Z在直接移动荷载下的影 响线，并确定与各结点对应的竖标。 2）确定与各结点对应的竖标，在两结点之间 连以直线，就得到结点荷载作用下的影响线。 结论：结论：在结点荷载作用下，主梁中任一截面的在结点荷载作用下，主梁中任一截面的 内力影响线在相邻两结点间为一直线，且结点处影内力影响线在相邻两结点间为一直线，且结点处影 响线竖标与直接荷载下完全相同。响线竖标与直接荷载下完全相同。 在结点荷载作用下，主梁在相邻结点之间没有在结点荷载作用下，主梁在相邻结点之间没有 外力，因此各截面的剪力都相等，称为外力，因此各截面

20、的剪力都相等，称为结间剪力结间剪力。 41 例4-2-1 作图示梁在结点荷载作用下的影响线。 FP=1 ACD x FE d/2d/22d/3 ddddd 解： d/2d/2 3d/4 MC影响线 d/2 1/3 FQC影响线 1/3 1/3 1/2 1/2 42 5d/6 d/3 5d/12 MD影响线 FQD影响线 1/6 1/3 5/6 2/3 FP=1 ACD x FE d/2d/22d/3 ddddd 43ME影响线2d/3 FQF左影响线 1/31/3 2/3 1/3 1/3 2/3 FQF右影响线 1/3 FP=1 ACD x FE d/2d/22d/3 ddddd F点左侧结间

21、剪力点左侧结间剪力 F点右侧结间剪力点右侧结间剪力 44 五、静定平面桁架影响线 平面桁架只承受结点荷载，单位移动荷载FP=1 通过纵梁横梁（横梁放置在结点上）系统传给桁 架结点，如同前面讨论的简支梁受结点荷载的情况 一样。因此，桁架任一杆的轴力影响线在两结点之 间是一直线。 求桁架杆件轴力的影响线时，把单位移动荷载 FP=1依次作用在各结点上，用结点法或截面法求出 杆件的轴力即可。 45 例4-2-2 作图示桁架FN1FN2的影响线。 RA F FP=1 A EF FP=1 2 1 B CD RB F 5d I I h 解：1）支座反力FRAFRB的影响线与跨度为5d 的简 支梁相同。 46

22、 0 1 1 (3 )/ NRBF FFdMh h 0 1 1 (2 )/ NRAF FFdMh h 2) 求FN1的影响线（上承） 当FP=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体： 0 F M 当FP=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体： 0 F M A B CD 2d/h 3d/h 0.9d/hd/h FN1影响线（上承） 6d/5h 相应简支梁F截面的弯矩。 0 F M 47 0 1 1 (3 )/ NRBF FFdMh h 0 1 1 (2 )/ NRAF FFdMh h 求FN1的影响线（下承） 当FP=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体： 0 F M 当FP=1在结点

23、F右侧，取截面I-I以左为隔离体： 0 F M AB EF 6d/5h FN1影响线（下承） 2d/h 3d/h 相应简支梁F截面的弯矩。 0 F M 48 3) 求FN2的影响线（上承） 当FP=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体： 0 y F 2 22 2 0 4 NRB FhF hd 2222 0 2 44 22 NRBQCD hdhd FFF hh 当FP=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体： 0 QCD F相应简支梁节间CD的剪力。 h d/2 22 4 2 hd 49 2 22 2 0 4 NRA FhF hd 2222 0 2 44 22 NRAQCD hdhd FF

24、F hh A BC D 22 4 4 hd h 22 3 4 20 hd h 22 4 2 hd h 22 4 2 hd h FN2影响线(上承) h d/2 22 4 2 hd 求FN2的影响线（下承） 当FP=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体： 0 y F 50 0 y F 2222 0 2 44 22 NRBQEF hdhd FFF hh 当FP=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体： 0 y F 2222 0 2 44 22 NRAQEF hdhd FFF hh 0 QEF F相应简支梁节间EF的剪力。 A BE F FN2影响线（下承） 22 3 4 10 hd h 22

25、 4 10 hd h 22 4 2 hd h 22 4 2 hd h h d/2 22 4 2 hd 51 4-3 机动法作影响线 机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求 影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何 问题。 机动法的优点： 不需经过计算就能快速绘出影响线的轮廓； 用来校核静力法作出的影响线。 对于某些问题，用机动法处理特别方便(例如， 在确定荷载最不利位置时，往往只需知道影响线的 轮廓，而无需求出其数值)。 52 对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确 定，所以影响线的求解十分简捷。 现以下图所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影响 线为例进行说明。 FP=1 x l/4l/

26、4l AB RB ZF 实施过程：撤去与FRB相应的约束，代之以反力Z= FRB，使体系成为机构；然后给体系以虚位移Z ； 列出虚功方程，获得影响函数；得出影响线。 53 具体步骤： 1、撤去与 相应的约束，代之以反力 ， 原结构变成具有一个自由度的机构。 RB F RB ZF（ ） 2、令该机构产生刚体位移，使 与Z方向一致， 虚位移图如上图所示； 3、列虚功方程： Z 0 ZPP ZFx（ ） P 图 FP=1 x Z P ( )x Z 4 1 Z 4 5 A B RB ZF 影响线的轮廓影响线的轮廓 54 上式中， 恒为正； 与FP同向为正，反向 为负。乘积 的正负号由 的正负号调整。

27、Z Z P x（ ） PP Fx（ ） P x（ ） ( ) P Z x Z 1 Z ( ) P Zx 可见，在 图中，令 ，并将 图反号， 就求得 Z的影响线，并且能确定影响线的正负号(基 线以上为正，以下为负)及竖标大小。 1 Z P P 4、由上式可得: 令 得到 是是x的函数的函数 是常量，与是常量，与x无关无关 55 4 14 5 AB 1 FRB影响线 4 14 5 AB 1 FRA影响线 同理可得FRA的影响线： 56 例4-3-1 用机动法求图示伸臂梁MC及FQC的影响线。 FP=1 A B C 2dddd x 解： 1、作MC的影响线 将C截面变为铰接，暴露出弯矩 ；令该机构

28、产 生刚体位移，使C左、右截面相对转角与 同向， 就得到 图，见下页图。 C M C M P 57 虚功方程为: ( )0 ()( )0 ( )0 ( ) CCPP CPP CZPP P C Z MMFx MFx MFx x M Z 2d Z 3 d Z Z 2 3 d Z 2 3 d ( ) P x C M P 图 AB C 1 P F 58 1 Z 令( ) CP Mx 则 上式表明，在 图中，令 并反号，就可求 得MC影响线。 1 Z P MC影响线 2 3 d 2 3 d 3 d 2、作FQC的影响线 将C截面改为滑动连结，暴露出剪力 ；令该 机构产生刚体位移，使C左、右截面位移方向与

29、 相同，就得到 图，见下页图。 P QC F QC F 59 虚功方程为: 12 ()( )0 33 ( )0 ( ) QCZZPP QCZPP P QC Z FFx FFx x F 1 Z 令 P ( ) QC Fx 则 两条线保持平行两条线保持平行 Z Z 3 1 Z 3 2 ( ) P x QC F P 图 Z 3 1 Z Z 3 1 A BC 1 P F QC F 60 上式表明，在 图中，令 并反号，就可求 得FQC影响线。 1 Z P 3 1 3 2 3 1 3 1 FQC影响线 C Z Z 3 1 Z 3 2 ( ) P x QC F Z 3 1 Z Z 3 1 A B 1 P

30、F P 图（机构图） 61 例 5-3-2 用机动法作图示静定多跨梁的影响线。 x FP=1 ABCD l / 2l / 2l / 2 l / 2 1/2 l FRA影响线 A B Z 1 2 Z RA F ( ) P x P 图 D 解：1、作FRA的影响线 62 ACD Z B B M P 图 /2 Z l MB影响线 /2l AB是静定部分，无刚体变形是静定部分，无刚体变形 2、作MB的影响线 x FP=1 ABCD l / 2l / 2l / 2 l / 2 63 l 1/2 FQB左影响线 D A C B Z /2 Z / Z l QB F 左 / Z l P 图 特别注意特别注意

31、虚位移图虚位移图 虚位移图虚位移图B点两侧平行点两侧平行 3、作FQB左的影响线 x FP=1 ABCD l / 2l / 2l / 2 l / 2 64 x FP=1 ABCD l / 2l / 2l / 2 l / 2 FQB右影响线 l QB F 右 Z A D BC P 图 虚位移图虚位移图B点两侧平行点两侧平行 4、作FQB右的影响线 影响线影响线B点两侧平行点两侧平行 65 在书中例4-3中， 注意： 比较基本部 分和附属部分上 内力和反力影响 线分布的区别。 求作FQB左和 F QB右的影响线 时，B点左右切 口两侧的梁轴必 须保持平行。 (a) HA K B xFP=1 1m

32、C EF D G 3m1m3m 1m 2m2m 1m P图 Z =1 H AB C E F D G FQB左影响线 E 1 1/4 3/4 3/2 3/4 H AB C E F D G 66 (a) H A K B x FP=1 1m C EF D G 3m1m3m1m2m2m1m P图 Z =1 H ABC EF D G FQB右的影响线 1 1 2 1 H ABCE F D G 67 影响线的应用包含两个方面：影响线的应用包含两个方面： 1、求固定荷载下梁上某个截面的内力和梁的支、求固定荷载下梁上某个截面的内力和梁的支 反力；反力； 2、确定移动荷载下某量值的最不利荷载位置，、确定移动荷载

33、下某量值的最不利荷载位置， 从而求出该量值。从而求出该量值。 4-4 影响线的应用 68 一、求各种固定荷载作用下的影响 荷载分为：荷载分为：集中荷载、分布荷载集中荷载、分布荷载。 大家知道：作影响线时，用的是单位荷载。根大家知道：作影响线时，用的是单位荷载。根 据据叠加原理叠加原理，可利用影响线求其他荷载作用下产生，可利用影响线求其他荷载作用下产生 的总影响。的总影响。 若已求得指定截面某量值Z的影响线，根据叠加 原理，就可以求得固定荷载作用下该量值Z的大小。 69 如下图示梁截面C弯矩MC的影响线已求出，求固 定荷载作用下MC的值。 0.25 3m1m A 1m1m B 0.75 0.75

34、 MC影响线 C 下面我们看看在不同类型的固定荷载作用下，如 何求结构的内力 70 一组集中荷载： 10 0.375 15 0.75 20 0.25 3.75 11.255 20. C M kN m 均布荷载： 1 3 0.751.125 2 BB C CC B C Mqydxqydx qdq qq CB q C 0.5m2m 20kN15kN10kN MC影响线 3m1m A 1m 1m B 0.25 0.75 0.375 C 解释解释 71 (1) 集中荷载集中荷载 设有一组集中荷载设有一组集中荷载FP1、 FP2 、 FP3 ，加于简支，加于简支 梁，位置已知，如图梁，位置已知，如图a所

35、示。所示。 (a) ab l C FP1FP2FP3 求：求：C点的剪力点的剪力FQC 解：解： 作出作出FQC的影的影 响线响线，方法不限；，方法不限； y2 y3 y1 FQC影响线影响线 l a l b 求出求出FPi(i1、2、3) 对应的影响线的竖标值；对应的影响线的竖标值； 利用叠加原理计算得利用叠加原理计算得: 3 1 332211 i iPiPPPQC yFyFyFyFF 72 推广推广：当有一组集中荷载：当有一组集中荷载FP1、 FP2 、 FPn 作作 用于结构时，结构某量值用于结构时，结构某量值Z的影响线在各荷载作用的影响线在各荷载作用 点的竖距值为点的竖距值为y1、y2

36、、yn，则有：，则有： n i iPinPnPP yFyFyFyFZ 1 2211 (2) 分布荷载作用分布荷载作用 图示简支梁图示简支梁AB段上段上 作用有分布荷载作用有分布荷载q。求。求C 点的剪力点的剪力FQC。 (a) ab l C AB q xdx 73 QC影响线影响线 d AB y l b l a (a) ab l C AB q xdx 式中，式中， 是影响线图形是影响线图形 在受载段在受载段AB上的面积。上的面积。 注意：注意：在受载段影响线的图形有正负号部分时，在受载段影响线的图形有正负号部分时， 是是 i的代数和的代数和。即：。即： 是是q分布范围内的影响线与分布范围内的影

37、响线与 基线所包围的总面积基线所包围的总面积。 B A B A qydxqyqdxZ 74 (3) 集中荷载和均布荷载同时作用集中荷载和均布荷载同时作用 在集中荷载和均布荷载同时作用下，结构某量在集中荷载和均布荷载同时作用下，结构某量 值值Z的计算公式为：的计算公式为： (4) 举例举例 图示结构，求图示结构，求QC、MC的值。的值。 C FP=20kN AB 1.2m1.2m1.2m1.2m1.2m q =10kN n i iiPi qyFZ 1 75 0.6 0.4 y1=0.4 0.2 0.2 FQC的影响线的影响线 1 2 + - y1=0.96 0.72 0.48 1.44 MC的影

38、响线的影响线 2 1+ kN qyFF n i iiPiQC 146 . 0104 . 020 1 mkNM C .2 .55 C FP=20kN AB 1.2m1.2m1.2m1.2m1.2m q =10kN 76 二、求荷载的最不利位置二、求荷载的最不利位置 定义定义：使结构指定截面的某量值Z达到最大值 Zmax或最小值Zmin时实际移动荷载的位置，称为最不 利荷载位置。 1、单个移动荷载作用时、单个移动荷载作用时 C FP0 B A k 当单个集中荷载在伸臂梁上移动时，求荷载的当单个集中荷载在伸臂梁上移动时，求荷载的 最不利位置。最不利位置。 77 ymax ymin+ - - 某量值某

39、量值Z的影响线的影响线 针对k点截面某个量 值，求其最不利荷载位 置。 FP0在k点：Zmax=FP0ymax FP0在C点：Zmin=FP0ymin C FP0 B A k 由图可知：最不利荷载位置为k处和C处。 即：把单个集中移动荷载放在影响线的最大或 最小竖标位置，就得到最不利荷载位置，进而求得 Zmax或Zmin 。 78 2、可任意布置的均布荷载、可任意布置的均布荷载 C 特点特点：均布荷载可：均布荷载可 以是任意位置、任意分以是任意位置、任意分 布长度布长度(范围范围)。 注意：注意：只对弯矩只对弯矩M C 适用适用，对其他量值不一对其他量值不一 定是荷载的最不利位置定是荷载的最不

40、利位置。 求求MCmax的荷载位置的荷载位置 求求MCmin的荷载位置的荷载位置 q q布满影响线的正号部分布满影响线的正号部分 qq q布满影响线的负号部分布满影响线的负号部分 + MC的影响线的影响线 79 对于剪力FQC影响线，将集中力FP放在截面C， 见右图，就得到： AB b/l a/l FQC影响线 C maxmin ()() PPQCQC ba FFFF ll 左右 对于伸臂梁的MC影响线（见下图），将FP分别放 在截面C和E，就得到： minmin maxmax )( )( yFM yFM PC PC ADB ymax ymin MC影响线 C E 80 可任意布置的均布活荷载

41、 可任意布置的均布 活荷载通常指人群荷 载。在影响线正号部 分布满均布活载，可 以求得Zmax；在影响线 负号部分布满均布活 载，可以求得Zmin。 )()( )( 32min 1max qM qM C C q 求(MC) max 求(MC) min qq 1 3 2 A D B MC影响线 C E 81 3、一组移动集中荷载、一组移动集中荷载(平行移动荷载平行移动荷载) 荷载特点：各集中力的大小、方向及相互间的距 离均保持不变，作为整体在结构上移动。 根据影响线的性质，要确定结构某量值的最不利 荷载位置，其原则是： (1) 数值大、排列密的集中力放在影响线竖标较 大的部位； (2) 在最不利

42、荷载位置，必有一个集中荷载作用 在影响线的某个顶点上。 82 下面先分别讨论多边形影响线和三角形影响线。 为确定最不利荷载位置，通常分两步： 1）求出使Z达到极值(Z极大 极大、 、Z极小 极小)的荷载位置。 这种荷载位置称为荷载的临界位置，而且可能不止 一个。 2）从Z的极大值中选最大值（从从Z极大 极大选 选Zmax）， 从Z的极小值中选最小值（从从Z极小 极小选 选Zmin），从而确 定最不利荷载位置。 83 下面以多边形影响线为例，说明临界荷载位置 的特点及其判定方法。 多边形影响线： FP1FP2 FR1 FP3FP4 FR2 FP5FP6 FR3 x x xx 1 y 1 y 2

43、y 3 y 2 y 3 y yZ 1 2 3 84 FP1FP2 FR1 FP3FP4 FR2 FP5FP6 FR3 x x xx 1 y 1 y 2 y 3 y 2 y 3 y yZ 1 2 3 在影响线图中， i(1、2、3)有正也有负， 10，20， 30、 Z0，即荷载稍向右移， 。 0 Rii F tg 当x0，即荷载稍向右移， 。 当x0，即荷载稍向左移， 。 条件条件 条件条件 89 总之，当荷载在Z的极值点(极大或极小)位置稍 向左、右移动时， 必须变号。 Rii F tg 如何使 变号？ 是常数，可以变化 的只是FRi。 Rii F tg i tg 为了使FRi变化，必须有一

44、个集中力位于影响线 的顶点，此荷载记作FPcr，当FPcr位于影响线的顶点 以左或以右时，会引起FRi发生变化（左移时计入左 边，右移时计入右边） 。 90 结论：当荷载稍向左、右移动时， 变 号的必要条件是：有一个集中荷载作用于影响线的 顶点。如下图示。 Rii F tg PcrPPR FFFF 211 542PPR FFF FP1FP2 FR1 FPcr FP4FP5 FR2 稍向左移 91 211PPR FFF 542PPPcrR FFFF FPcr FP1FP2 FR1 FP4FP5 FR2 当移动荷载组左右移动时，能使 改变符号的荷载 FPcr 称为临界荷载，相应的移动荷 载组的位置

45、称为临界位置。 Rii Z F tg x 稍向右移 92 在给定的移动荷载组中，能使 变 号的临界荷载可能不止一个。 Rii Z F tg x 1) 选定一个集中力作为FPcr，使它位于影响线的 一个顶点上； 2）当FPcr稍作左右移动时，分别计算 的 值。若变号，则此FPcr即为一临界荷载，相应的荷载 位置为临界位置。用同样的方法可以确定其它的FPcr 及相应的荷载临界位置。 Rii F tg 确定最不利荷载位置的步骤如下： 93 3) 对于每个荷载临界位置求出相应的Z值，比较 各个Z值，可确定Zmax及Zmin，进而确定相应的最不 利荷载位置。 94 例4-4-1 如下图多边形影响线及移动

46、荷载组，试求 荷载最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m, FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。 FP1FP2FP3FP4FP5 q a a a a a a=1.5m 30m Z的影响线 6m4m8m 1 3 1 0.75 2 95 2）计算 123 10.250.75 (,) 846 tgtgtg iRitg F 解： 1）将FP4放在影响线的最大点，移动荷载组的 位置如下图示。 Z的影响线 FP1FP2FP3FP4FP5 q a a a a a a=1.5m 6m3.5m1 6m4m8m 1 3 1 0.75 0.81 0.906 2 96 若荷载稍向右移， 各段荷

47、载合力为： 02 . 8 6 75. 0 8 .226 4 25. 0 8 .217 8 1 270 8 .22668 .37 8 .21718 .37290270390 3 21 kNtgF kNF kNFkNF iRi R RR Z的影响线 1 2 3 1 8 0.25 4 0.75 6 tg tg tg FP1FP2FP3FP4FP5 q a a a a a a=1.5m 6m3.5m1 6m4m8m 1 3 1 0.75 0.81 0.906 2 97 若荷载稍向左移， 各段荷载合力为： Z的影响线 1 2 3 1 8 0.25 4 0.75 6 tg tg tg FP1FP2FP3F

48、P4FP5 q a a a a a a=1.5m 6m3.5m1 2 6m4m8m 1 3 1 0.75 0.81 0.906 3.5/8 1 2 3 904360 9037.8 1127.8 37.86226.8 10.250.75 360127.8226.88.70 846 R R R Rii FkN FkN FkN F tgkN 1 2 3 904360 9037.8 1127.8 37.86226.8 10.250.75 360127.8226.88.70 846 R R R Rii FkN FkN FkN F tgkN 1 2 3 904360 9037.8 1127.8 37.86

49、226.8 10.250.75 360127.8226.88.70 846 R R R Rii FkN FkN FkN F tgkN 98 因为 变号，故FP4为临界荷载，相应的 荷载位置为临界位置。 iRitg F 3）计算Z值 3.556.5 90 (1)90 0.906 888 0.81 0.750.75 6 37.8 (1) 22 258.7581.54 114.53 454.82 Z kN 容易确定只有FP4是临界荷载，所以相应的荷载 位置就是最不利荷载位置。 99 三角形影响线： 对于三角形影响线， 确定荷载的临界位置比 较简便。选一集中力放 在Z的影响线顶点，使Z 取得极大值的条

50、件为： 当荷载稍向右移时， 当荷载稍向左移时， 0 Rii F tg 0)(tgFFtgF RPcrR右左 0 Rii F tg 0)(tgFtgFF RPcrR右左 FP1FP2 FR左 FPcr FP4FP5 FR右 ab c 100 0)( 0)( b c F a c FF b c FF a c F RPcrR RPcrR 右左 右左 上式表明，荷载临界位置的特征是：有一集中 荷载FPcr位于影响线的顶点，FPcr计入哪一边，哪一 边荷载的平均集度就大。 ()0 PcrRR FtgFFtg 左右 将tg =c/a及tg = -c/b代入上两式： ()0 PcrRR FFtgFtg 左右

51、b F a FF b FF a F RPcrR RPcrR 右左 右左 101 例4-4-2 求反力FRB的最大值并确定最不利荷载位 置。 FP1=FP2=478.5kN，FP3=FP4=324.5kN。 解： 1）FRB的影响线如上图示。 2）将FP2当作FPcr放在影响线顶点： FRB的影响线 0.125 1 0.7583 A 6m6m B C 0.75m FP1FP2FP3FP4 5.25m 1.45m 4.55m 0.25m 102 所以FP2是 临界荷载。 478.5 (1 0.125)324.5 0.7583 538.31246.07784.38 RB F kN FRB的影响线 0

52、.125 6m6m 1 A B C 0.7583 FP1FP2FP3FP4 5.25m 1.45m 4.55m 0.25m0.75m 2478.5324.5 (159.554.08) 66 478.5478.5324.5 (79.75133.83) 66 判别式： 有： 103 3）将FP3当作FPcr放在影响线顶点： FRB的影响线 FP1FP2FP3FP4 4.55m 0.7m1.45m 4.8m 1.2m 0.2 6m6m 1 A B C 0.7583 478.5324.5324.5 (133.8354.08) 66 478.52 324.5 (79.75108.17) 66 判别式：

53、所以FP3是 临界荷载。 104 所以： FP2是放在影响线顶点时，相应的荷载位置 为最不利荷载位置。 kNFRB38.784)( max 478.5 0.7583324.5 (1 0.2) 362.85389.40752.25 RB F kN 有： 比较可知： 105 例4-4-3 求MC的最大值及相应的最不利荷载位置， 已知q=92kN/m， FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=220kN。 a) FP1FP5q 18.5m 51.5m 10 AB C 20m20m MC的影响线 106 解：1）将FP5当作FPcr放在影响线顶点，如上页图 a)所示。 5 22092 18.5 (55

54、85.1) 2020 220 422092 18.5 (4496.1) 2020 所以所以FP5不是临界荷载。不是临界荷载。 2）将均布荷载跨越影响线顶点，使左右两边荷载平 均值相等，见下页图 b)。 判别式： 107 max 5 2209292 20 11009218408.04 2020 ()220 5 3.7392 8.04 7.9992 20 10/2 410359109200 19213 c x xxm M kN m 上图b)所示荷载位置即为最不利荷载位置。 b) FP1FP5 q 20m 51.5m x=8.04m4.46m 10 AB C 20m20m 3.73 5.98 MC的

55、影响线 108 例4-4-4 求图示均布移动荷载的最不利荷载位置。 解：解：均布荷载段横跨影响线顶点，若荷载稍向 右移动，则CD范围影响线面积增加了yDdx，影响线 面积减少了yCdx，如下页图a）所示。 A B CD a yCyD q 109 所以 )( )( CD CD yyq dx dZ dxydxyqdZ 令 0 dx dZ CDCD yyyyq0)(即 故 ABCD/ q AB CD a yCyD dxdx a) q AB CD a aE b) 110 根据以上讨论，可以用作图法确定最不利荷载 位置，如上页图b)所示。 另外需要指出，对于剪力影响线，为了确定最 不利荷载位置，通常用直

56、观判断并试算即可确定。 （见书中例题4-5、4-6 或7-4、7-6） 111 4-5 简支梁的内力包络图和绝对最大 弯矩(见下册11-9 ) 一、简支梁内力包络图的概念 在给定的移动荷载作用下， 用上一节讨论的方 法可以求得指定截面某内力Z的最大值Zmax或最小值 Zmin。在结构设计中，需要求出每个截面在给定移动 荷载作用下内力的最大值和最小值。 112 在给定移动荷载作用下，将各截面内力Z的最 大值Zmax连成一条曲线，同样将最小值Zmin也连成 一条曲线，这样的图形称为内力包络图。 即： 连接各截面内力最大值(最大正值和最大 负值)的曲线称为内力的包络图。 1、作简支梁内力包络图的步骤

57、为： 1）将梁分成若干等分，取等分截面作为求 Zmax和Zmin的截面。 2）作各等分截面内力Z的影响线。 113 3）利用上节的方法求各等分截面的Zmax和Zmin， 然后把各截面的Zmax或Zmin分别连成曲线，即得简支 梁的内力包络图。 2、简支梁剪力包络图：下面以求简支梁第三等 分点(分为10等份)截面剪力的最大值 和最小值为例 进行说明。 12m 3.5m3.5m 82kN82kN82kN82kN 1.5m 3.6m 114 (FQ)max=82(0.7+0.575+0.283-0.0083)=127.07kN 求剪力最大值的荷载位置 3.5m3.5m 82kN82kN82kN82k

58、N 3.4m1.5m0.1m 第三等分截面剪力影响线 8.4m3.6m 0.7 0.575 0.3 0.283 0.0083 12m 3.5m3.5m 82kN82kN82kN82kN 1.5m 3.6m 115 (FQ)min= -82(0.3+0.0083)= -25.28kN 求剪力最小值的荷载位置 3.5m 82kN82kN 0.1m 82kN 8.4m3.6m 0.7 0.575 0.3 0.283 0.0083 第三等分截面剪力影响线 116 简支梁剪力包络图(kN) 179 153 94.3 127 212 65 41.725.316.4 8.2 0 179 153 94.3 1

59、27 212 65 41.7 25.3 16.4 8.2 0 117 5.625 m 6.375 m 215 366 465 559 574 578 215 366 465 559 578 简支梁弯矩包络图(kN.m) 简支梁弯矩包络图如下图示。 用相同的方 法可以作出 简支梁的弯 矩包络图， 从左边图可 以看出：在 一组移动荷 载下，简支 梁的最大弯 矩并不在跨 中点。 118 3、弯矩包络图 具体作法：以书(见下册11-9 )中例题讲解。 单个集中荷载作用在简支梁上。 在梁上取有限个点，分别作出各点某量值的影 响线，求出最大值(正或负)，即可作出梁上该量值 的包络图。 以C截面的弯矩为例计算。 1）作出MC的影响线； 2）求MCmax； 将荷载FP置于MC影响线顶点有 119 FP x A B C ab l 弯矩包络图 109876543210 0.09Pl 0.16Pl 0.21Pl 0.24Pl 0.25Pl Mc影响线 l ab PC F l ab M max 时当lbla7 . 0,3 . 0 lFM PC 21. 0 max 用同样的方法，我们 可求出其他截面的弯矩 最大值。 据此，通过连接各截 面最大弯矩竖距顶点， 可作出该