数字信处理习题集附答案

1、数字信号处概述简答题：1. 在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在 A/D 变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样 频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在 D/A 变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故 又称之为“平滑”滤波器。判断说明题：2. 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ）答：错。需要增加采样和量化两道工序。3. 一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理

2、理论，对信号进行等效的数字处理。（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统 未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分 析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统 理论是数字信号处理的理论基础第二章离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理 计算题：1. 过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期(假设T足够小，足以防止混叠效应)，把从x(t)到y(t)的整个系统等效为一个模拟滤 波器。(a) 如果h(n)截止于8rad，1 T 10kHz，求整个系统的截止频率

3、。(b) 对于1 T 20kHz，重复(a)的计算。解(a)因为当| |/8rad时H(ej ) 0，在数一模变换中所以h(n)得截止频率 c. 8对应于模拟信号的角频率c为1因此fcc625Hzc 216T由于最后一级的低通滤波器的截止频率为一，因此对一没有影响，故整个系统T8T的截止频率由H(ej )决定，是625Hz。(b)采用同样的方法求得1T 20kHz，整个系统的截止频率为离散时间信号与系统频域分析计算题:1.设序列x（n）的傅氏变换为X（e ），试求下列序列的傅里叶变换。(1) x(2n)(2) x*(n)(共轭)解：(1) x(2 n)由序列傅氏变换公式0nnDTFT x(n)

4、X(ej )x(n)e j n可以得到DTFT x(2n)x(2 n)enjnx(n)ejn2n为偶数(2)x* (n)(共轭)解：DTFTx* (n)x* (n)e jnx(n)ejn * X * (e j )2. 计算下列各信号的傅里叶变换。(a) 2nu n(b)1(4)nun 2(c)4 2n(d)解：（a） X（）2nu ne j n(b)X(2e jn2(in(c)X(xne j n42ne j ne j2(d)(尹*1 1e21利用频率微分特性，可得3 .序列x( n)的傅里叶变换为X(ejw)，求下列各序列的傅里叶变换。解:(1) x*( n)(2)Rex(n) nx(n)(1

5、)njwnn)ex( n)e jw( n)* X*(ejw)n(2)Rex( n)e jwngx( n)x (n)e jwn1X(ejw)X (e jw)nn22(3)nx(n)e jwn1 dx(n)ejwn . dj -jwnx(n )e dX(ejw)nnjdwdw ndw(2)4.序列x(n)的傅里叶变换为X(ejw)，求下列各序列的傅里叶变换。x2( n)(1) x (n)( 2) j Imx(n)解：(1) x (n)ex(n)e j(w)( n)x(n)e j( w)n X (e jw )(3)5. 令x(n)和X(eJ表示一个序列及其傅立叶变换，利用 XWJ表示下面各序列的傅立

6、叶变换。解:(1) G(ejw)ng(n)e jnwx(2n)ejnw.k j wx(k)e 2kk为偶数(1)g(n)x(2 n)(2)g(n)x n 20n为偶数n为奇数(2)G(ejw) g(n)e jnw g(2r)e j2rw x(r)e jr2wX(ej2w)nrr6. 设序列x(n)傅立叶变换为X(e”)，求下列序列的傅立叶变换。(1) x(n no)n0为任意实整数/c、X n/2 n为偶数(2) g(n) 0n为奇数(3) x(2n)解:(1) X(ejw) e jwn0(2)x(%) n 为偶数0n为奇数jw/(3) x(2n)X(e 2)7. 计算下列各信号的傅立叶变换。

7、【解】(1) X(k)n1(2)n u(n 3) u(n2) e2j knN(2)假定cos(18 n7)和sin(2n)的变换分别为xjk)和X2(k)，则所以X(k)X,k)X2(k)(j 18N2k )(j 18N2k) j $k 2 2k)(才 2 2k)(3) X(k)cos ne43jnkN8. 求下列序列的时域离散傅里叶变换x ( n) Re x(n) x(n)解： x ( n)x( n)ej ( n)X (ej )u(n 3)u(n 2)(1)2(2)cos(18n7)sin (2 n)(3)x(n)cos(n3) T n 40其它三、离散时间系统系统函数填空题：1. 设H(z

8、)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1, 0.8 , 1+j，该系统 阶数至少为()。解：由线性相位系统零点的特性可知，z 1的零点可单独出现，z 0.8的零点需成对出现，z 1 j的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。简答题：2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数Hmin(Z)有何特点?解：一个稳定的因果线性时不变系统，其系统函数可表示成有理方程式H(Z)P(Z)Q(Z)MbrZN1 akZk 1，他的所有极点都应在单位圆内，即1。但零点可以位于Z平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G(Z) 1H(Z)也是稳定因果的。这就需要 H(Z)的零点也位于

9、单位圆内，即r 1一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相 位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相 位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值H(ejw)唯一确定。从ejw求H(Z)24的过程如下：给定ejw，先求ejw，它是cos(kw)的函数。然后，用-(Zk Z k)替代2cos(kw)，我们得到G(Z) H(Z)H(Z 1)。最后，最小相位系统由单位圆内的G(Z)的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即完成这个因式分解的过程如下：首先，把 H(Z)的

10、所有单位圆外的零点映射到它在 单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数 Hmin(Z)是最小相位的。然后，选择 全通滤波器Hap(Z)，把与之对应的Hmin(Z)中的零点映射回单位圆外。3.何谓全通系统？全通系统的系统函数Hap(Z)有何特点?解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap(Z)对应的傅里叶变换幅值H(ejw)1，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即Hap(Z)P(Z)Q(Z)MbrZ rr 0N1 akZk 1N 1- 冷。因而，如果在Z k 1 1kZk处有一个极点，则在其共轭倒数点Z4.有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的

11、频率响应、系统(转移)函数、差分方程和卷积关系表达式。解：频率响应：H(ej )h(n)e系统函数：H(Z) h(n)Zn差分方程：Z 1 Y(Z)X(Z)卷积关系：y(n)h(n) x(n)第三章离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1.如果(n)是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为 2N的周期序列。把(n) 看作周期为N的周期序列有(n)(周期为N);把(n)看作周期为2N的周期序列有(n) X2(k)(周期为2N)；试用Xi(k)表示X2(k)。解:N 1ii(k)(n)wNknn 0(n)e j-kn0对后一项令n nN，则 k所以 X2(k)2Xi(2)0k为偶数k为奇数离散

12、傅立叶变换定义填空题2. 某DFT的表达式是X(l)x(k)wM，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之k 0间的间隔是()。解：2 MN 13. 某序列DFT勺表达式是X(l) x(kW，由此可看出，该序列的时域长度是k 0()，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是()。解：N 2 M4. 如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件( 纯实数、偶对称)。解：纯实数、偶对称5. 采样频率为FsHz的数字系统中，系统函数表达式中z 1代表的物理意义是(延时一个采样周期T=1/F)，其中时域数字序列x(n)的序号n代表的样值实际位置是(nT二n/F); x(n)的N点DFTX

13、(k)中，序号k代表的样值实际位置又是(k k )。N解：延时一个采样周期T 1 F，nT nF ， k kN6. 用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了 512点的DFT则频域抽样点之间的频率间隔f为8000/512,数字角频率间隔w为2pi/512和模拟角频率间隔8000*0.0123 。解：15.625，0.0123rad， 98.4rad/s判断说明题:7. 个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。()解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题8. 令X(k)表示N点

14、的序列x(n)的N点离散傅里叶变换，X(k)本身也是一个N点的序 列。如果计算X(k)的离散傅里叶变换DFT得到一序列xi(n)，试用x(n)求为(n)。N 1 N 1x(n曲WN 1Nx(n)n 0kn)N 1解：xdn)X(k)W0k 0因为所以9 .序列x(n)久1,0,0，其4点DFTx(k)如下图所示。现将X(n)按下列(1)， (2)，(3)的方法扩展成8点，求它们8点的DFT?(尽量利用DFT勺特性)yd n)x(n)x(n 4)y2( n)x(n)0(1)(2)(1) x(n) an,0 n N 1y3( n)(3)0n偶数n奇数1)Y 2k 2X k , 0 k 3)Y 2k

15、 10k(2) Y2 kiX - X k ,ki 2k, 0 ki 7,0 k 32 Y3kkX k1 4 X k7,0 k 3, k k1 mod 410.设x(n)是一个2N点的序列，具有如下性质: 另设 x-(n) x(n)Rz (n)，它的 N点 DFT为 x-(k)，求 x(n)的 2N点 DFTX(k)和 x-(k)的关系。解：X k 2X1 k推导过程略211.试求以下有限长序列的N点DFT(闭合形式表达式)(1) x(n) anRz(n)(2) x(n) nRn5)解:(1)因为 x(n) anRz(n)，所以(2) 由 x(n) nRn5)，得所以12 .计算下列序列的N点D

16、FT R162(2) x(n) cos nm，0 n N，0N解：(1)X(k)anwNN1 nk1aNWNNK1 aN1 aWkN 1(2) X (k) cosn 0N 12nk 1mn WN -N2 n 02j mne N2vmn2jNnk0,k=m 或 k=-m其它13 .已知一个有限长序列x( n)(n) 2(n 5)(1)求它的10点离散傅里叶变换X(k)(2)已知序列y(n)的10点离散傅立叶变换为Y(k)Wi第X(k),求序列y(n)(3)已知序列m(n)的10点离散傅立叶变换为M (k)X(k)Y(k)，求序列 m(n)解;N 19(1) X(k)x(n)W,k(n) 2 (n

17、 5)w0kn 0n 02j 5k= 1+2W10k=1+2e 10= 1+2( 1)k, k 0,1,.,9(2)由Y(k) Wi0kX (k)可以知道，y(n)是x(n)向右循环移位2的结果，即(3)由M(k) X(k)Y(k)可以知道，m(n)是x(n)与y(n)的10点循环卷积。一种方法是先计算x(n)与y(n)的线性卷积=0,0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4然后由下式得到10点循环卷积另一种方法是先计算y(n)的10点离散傅立叶变换再计算乘积(2)已知序列：x(n)由上式得到m( n) 5 n 2 4 n 714.(1)已知序列：2x(n) sin 2 n ,0 n N

18、 1，求 x(n)的 N点 DFT。N0，其它，1,2，则 x(n)的 9 点 DFT是2 sin kX(k) e%3，k 0,1,2,.,8正确否？用演算来证明你的结论。P345sin k9解：( 1)X(k)22jknsin n e NN0，其它jLke 9e 92j2kn 1(2)X(k) e x(m)W8mk,0 k 7X (k) m 0 0,其它1n 0,可见，题给答案是正确的。15. 个8点序列x(n)的8点离散傅里叶变换X(k)如图5.29所示。在x(n)的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列y(n)，即x2， n为偶数0， n为奇数(1)求y(n)的16点离散傅里叶

19、变换Y(k)，并画出Y(k)的图形。(2)设X(k)的长度N为偶数，且有X(k) X(N 1k), k0,1,.,- 1，求 x 号。2 2解:因n为奇数时y(n) 0，故0 k 157x(m)W8mk，另一方面m 0因此X(k 8)7m(k 8)x(m)W8m 00,8 k 15其它所以Y(k)x( m)W8mk , 0 k 15 m00,其它按照上式可画出 Y(k) 的图形，如图 5.34 所示16 .计算下列有限长序列x(n)的dft假设长度为No1) x(n) an0nN12) x(n)1,2, 3, 1N1解：( 1 ) X(k)anWNnkn0N1knaWNkn03(2) X(k)

20、x(n)W4nkn017. 长度为 8的有限长序列x( n)的8点DFT为X(k)，长度为16的一个新序列定义为n1,3,.,15试用X(k)来表示Y(k)DFT y(n) o15解： Y(k)y(n)W1n6kn07而 X(k)x(n)W8nk(k 0,1,.,7)n0因此，当 k 0,1,.,7 时， Y(k)X(k);当 k 8,9,.,15 时，令 k l 8(10,1,.,7)，得77到： Y(l 8)x(r)W8r(l 8)x (r )W8rlX(l)于是有18.若x(n)即 Y(k) X(k 8)r X(k)k 0,1，,72 n 0,11 L 2, N 4试计算x(n)的离散傅

21、里叶变换X(k)的值(k ，123)0 n 34 1【解】 X(n)x(k)Wk 03所以 X(0)x(k)W 2W( 2wN0 1wN? 0 5k 0证明题: 19.设X(k)表示长度为N的有限长序列x(n)的DFT(1) 证明如果x(n)满足关系式则 X(0)0(2) 证明当N为偶数时，如果则 X(N)02解 (1)令 N 1 n m显然可得X(0)0N 1N 1(2) X(-)x(n)ejkx(n)(1)n(将n分为奇数和偶数两部分表示)2n 0n 0显然可得X() 02简答题：21.在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？解：因为为采样时没有满足采样定理减小这

22、种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率fs. 2的频率成分。22 .试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。解：离散傅立叶变换是Z变换在单位圆上的等间隔采样。三、离散傅立叶变换性质填空题：1 .已知序列 xk 2,2,3, 1;k0，1，2,3，序列长度 N 4，写出序列 x(2 k)N R|k的值()。解：x(2 k)N】R4【kx2, x1,x0, x3;k 0,1,2,33,2, 2, 1; k 0,1,2,32.已知 xn 1,2,3,2,1;k0,1,2,3,4 , hn 1,0,1, 1,0;k 0,1,2,3,4，则 xn和 hn的 5点循环卷积为()

23、。解：xk hk xk k k 2 k 33 .已知 xn 3,2,0,2;k0,1,2,3 , h n4, 2,1, 1;k0,123 则 xn和 hn的4点循环卷积为()解:h0h3h2h1x0411236h1h0h3h2,? x124112?4h2h1h0h3x21241 03h3h2h1h0x3112427证明题：4.试证N点序歹V xn的离散傅立叶变换X k满足parseval恒等式证:1NN m1 2Xm01 N 1Nm0XmX*m5. x(k)和X(n)是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性:1NX(k)心)证明略 6. x(n)长为N的有限长序列，xe(n),xo

24、(n)分别为x(n)的圆周共轭偶部及奇部，也即证明:1 1证 Xe(n) Xe*(N n) -x(n) x*(N n) Rx(n) x*( n)N】1 N 1证：X(n) k0X(k)WNkn(1)X(k)N 1x(n)wNkn(2)N 1由(2) X(k)x(n)W,n，将 k与n 互换，则有k 0N 1X(n) x(k)W,(这应该是反变换公式)n 01 N 1Nx(k)WNkn (用 k代替k ,且求和取主值区)N k o(1)比较所以 X(n) Nx( k)N8.若 x(n) IDFT X(k)，求证 IDFTx(k)n)N )Rn (n)。证：IDFS(k) 1N 1knx(k)Wz

25、01NIN所以IDFS (k)2刘N2INn)1X( n)N(l为整数)1 1于是 IDFT x(k) X( n)RN(n)X( n)n)Rn(n)NN9.令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT试证明：(a)如果x(n)满足关系式x(n) x(N 1 n)，则X(0)0。(b)当N为偶数时，如果x(n) x(N 1n)，则X屛N 1证：X(k)x(n)WNnk(k 0,1,., N 1)n 0N 1(a) X(0) x(n)n 0N彳N .1 1N为偶数:X(0)22x(n) x(N 1 n)n 0n 0N为奇数：X (0)N 1 “12x(n)n 0N 1 “12x(Nn 0n)】)而x

26、(n)中间的一项应当满足：因此必然有X(n -) 02这就是说，当N为奇数时，也有X(0) 0(b)当N为偶数:N n x(n)WN 2 0x(n)(n 01)当N为偶数时，N 1为奇数，故(1)N 11 ；又由于(1) n(1)n,故有10.设 DFT x(n) X(k)，求证 DFT X(k) Nx(N n) 012 .已知 x(n) n 1(0 n 3), y(n) (1)n(0 n 3)，用圆周卷积法求 x(n)和 y(n)的线根据题意x( n)1 N 1-X(k)WNnkN k o因为 WNk(N n) wNnkN 1所以 Nx(N n)X(k)WNkn DFT X(k)k 011.

27、证明：若x(n)为实偶对称，即x(n) x( N n)，则X(k)也为实偶对称【解】根据题意N 1X(k)x( n)W,kn 01F面我们令N n m进行变量代换，则 X(k)x(m)wNN k)mm N又因为x(n)为实偶对称，所以x(0) x(N) 0 ,所以N可将上式写为 X(k)x(m)WN(N k)m x(0)Wn(N k)0m 1N 1所以 X(k)x(m)wNN k)m X(N k)m 0即证。注意：若x(n)为奇对称，即x(n) x(N n)，则X(k)为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。计算题:性卷积 z(n)。解： x(n) 1,2,3,40 n 3， y(n) 1, 1,1

28、, 10 n 3因为x(n)的长度为Ni 4, y(n)的长度为N?4所以z(n)x(n)y(n)的长度为N NiN217,故应求周期N 7的圆周卷积x( n) y(n)的值，即所以 z(n)x(n)y(n) 1,1,2,2, 3,1, 4,0n613.序列 a(n)为 1,2,3，序列 b(n)为 3,2,1 0(1)求线性卷积 an b n(2)若用基2 FFT的循环卷积法(快速卷积)来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？解：( 1 ) w(n) a(n) b(n) a(m)b(n m)n所以 w(n) a(n) b(n) 3,8,14,8,3 ， 0 n 4(2)若用基

29、2FFT的循环卷积法(快速卷积)来完成两序列的线性卷积运算，因为a(n)的长度为 N13；所以 a n b n 得长度为 N N1 N2150故FFT至少应取238点14 .有限长为N=100的两序列 做出x(n),y(n)示意图，并求圆周卷积f(n) x(n) y(n)及做图解 x( n),y( n)示意图略，圆周卷积f(n) x(n) y(n)15.已知x(n)是长度为N的有限长序列，X(k) DFTx(n)，现将x(n)的每两点之间补进r 1个零值，得到一个长为rN的有限长序列y(n)求：DFTy(n)与X(k)的关系。N 1lk解：因为 X(k) |ox(l)W0 k N 10rN 1

30、N 1nY(k)y( n)WrNnx( WrNn令耳 in 0l 0,r,2r rr16 .已知x(n)是N点有限长序列,X(k) DFTx(n)。现将长度变成rN点的有限长序列y(n) 试求rN点DFT y(n)与X(k)的关系N 1j解：由 X(k) DFTx(n)x(n)e N ,0 k N 1可得所以在一个周期内，丫(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当于在X(k)的每两个值之k间插入r 1个其他的数值(不一定为零)，而当k为r的整数I倍时，Y(k)与X 相r等。17. 已知x(n)是N点有限长序列，X(k) DFTx(n)。现将x(n)的每两点之间补进r 1个零值点，得到一个rN点的

31、有限长序列y(n)试求rN点DFT y(n)与X(k)的关系。N 1解：由 X(k) DFTx(n)x(n脚-0 k N 1n 0可得而Y(k) X(k)NRrN(k)所以丫(k)是将X(k)(周期为N)延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。18. 已知序列x(n) 4 (n) 3 (n 1)2 (n 2) (n 3)和它的6点离散傅立叶变换X(k)。(1) 若有限长序列y(n)的6点离散傅立叶变换为Y(k) W64kX(k)，求y(n)。(2) 若有限长序列u(n)的6点离散傅立叶变换为X(k)的实部，即U(k) Re X(k)，求 u(n)。(3)若有限长序列v(n)的3点离散傅立叶变换V

32、(k) X(2k) (k 0,1,2)，求v(n)解：(1)由Y(k) W；kX(k)知，y(n)是x(n)向右循环移位4的结果，即所以v(n)x(n)x(n 3), n 0,1,2(2)X(k)54 (n)3 (nn 01)2 (n2)(n 3) W6nk由上式得到u(n) 4 (n)32(n1)(n32) (n 3) (n 4)(n 5)25525(3)X(2k)x(n) W62nkx( n )WJx(n )W3nkx( n)W3nkn 0n0n 0n 3由于V(k)2v( n )W3nkn 0X(2k)v(0)x(0)x(3)5即v(1)x(1)x3v(2)x(2)x(5)2或v(n)5

33、 (n)3 (n1)2 (n 2)19 .令X(k)表示N点的序列x(n)的N点离散傅里叶变换，X(k)本身也是一个N点的 序列。如果计算X (k)的离散傅里叶变换得到一序列Xi(n)，试用x(n)求捲(n)。因为所以20 .为了说明循环卷积计算(用DFT算法)，分别计算两矩形序列x(n) Rn (n)的卷积，如果 x(n) R6(n) ，求( 1)两个长度为 6 点的 6 点循环卷积。( 2)两个长度为 6 点的 12 点循环卷积。【解】这是循环卷积的另一个例子。令图3-6中L 6，N定义为DFT长度。若N L，则N点DFT为如果我们将Xdk和X2k直接相乘，得由此可得x3n N 0 n N

34、 1这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列X2 (n m)N是对于xim旋转，则乘积x1mx2 (nm)N 的和始终等于 N。当然也可以把xin和X2n看作是2L点循环卷积，只要给他们增补 L个零即可。若 我们计算增长序列的 2L 点循环卷积，就得到图 3-7 所示序列。可以看出它等于有限 长序列xn和x2n的线性卷积。注意如图 3-7所，N 2L时所以图3-7 (e)中矩形序列X3【n的DFT为(N 2L)循环卷积的性质可以表示为考虑到DFT关系的对偶性，自然两个N点序列乘积的DFT等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若x3n x1nx2n，则、 1或xjn x2 n DFT

35、X/k X2kN21.设x(n)是一个2N点序列，具有如下性质另设 xi(n) x(n)Rn(n)，它的 N 点 DFT为 Xk)。求x(n)得2N点DFTX(k)和X1(k)的关系。【答案】DFTX (k) 2X1 -222 .已知某信号序列f(k) 3,2,1,2，h(k) 2,3,4,2，试计算(1) f (k)和h(k)的循环卷积和f (k) h(k);(2) f (k)和h(k)的线性卷积和f (k) h(k);(3) 写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】(1) y(k) 6h(k) 13h(k 1) 20h(k 2) 21h(k 3)( y(k) 6h(k)13h(k1)2

36、0h(k2)21h(k 3)14h(k4) 10h(k5) 4h(k 6)(3)略23 .如图表示一个5点序列x(n)。(1) 试画出 x(n) x(n)5(2) 试画出 x(n)x(n)解： 简答题：24 .试述用DFT十算离散线性卷积的方法。解：计算长度为 M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。25.已知X(k)，丫(k)是两个N点实序列x(n),y(n)的dfT直，今需要从X(k),Y(k)求 x(n),y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题

37、意x(n) X(k), y(n)Y(k)取序列Z(k) X (k) jY(k)对Z(k)作N点IFFT可得序列z(n) o又根据DFT性质IDFT X(k) jY(k) IDFT X(k) jIDFT Y(k) x(n) jy(n) 由原题可知，x(n), y(n)都是实序列。再根据z(n) x(n) jy(n)，可得x( n) Re z(n)y(n) Im z(n)四、频域取样 填空题：1. 从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法,从时域角度看是（）；从频域角度看是（）。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断2 .由频域采样X（k）恢复X（e ）时可

38、利用内插公式，它是用（）值对（）函数加权后求和。解：X（k）内插3频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（）。解：NT （频域采样点数N时域采样周期T）简答题：4.已知有限长N序列xn的z变换为X（z）,若对X（z）在单位圆上等间隔抽样 M点，且M N，试分析此M个样点序列对应的IDFTxin与序列 如】的关系。解：如果 Xim X（z） zeI,m 0,1, ,M 1即Xim是X（z）在单位圆上M点等间隔抽样，根据频域抽样定理，则存在x1k IDFT X1mxk IMRM【kl上式表明，将序列X(k)以M为周期进行周期延拓，取其主值区间0, M 1上的值，即得序列 Zk。由于M N，故在对

39、xk以M为周期进行周期延拓时，必然存 在重叠。5. FFT算法的基本思想是什么？解：答案略。6. 简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。解：答案略。计算题:x(n)Zn 0X(Z)7. 设x(n)是长度为M的有限长序列，其Z变换为0,1,今欲求X(Z)在单位圆上N个等距离点上的采样值 X(Zk)，其中，N解答下列问题(用一个N点的FFT来算出全部的值)(1)当N M和N M时，写出用一个n点FFT分别算出X(Zk)的过程; 若求X(Zk)的IDFT，说明哪一个结果和x(n)等效，为什么？ 解：(1) N M，对序列x(n)末尾补零至N个点得序列x(n)，计算x(n)的N点FFT 即可得到X

40、(Zk)。N M时，对序列x(n)以N为周期进行周期延拓得到一个新的序列x (n)，求序列 x( n)的前M点的FFT即可得X(ZJ(2) N M时得到的结果与x(n)等效，因为其满足频域取样定理。8.已知x(n)臥n)，0 a N 1alu(l)WNklWNnk交换求和次序 N K 0 l，今对其z变换X(z)在单位圆上等分采样，采样值为X(k) X乙曲，求有限长序列iDFTX(k)解方法1IDFTX(k)NanRN(n)1 a方法二X(k) X(z)zWNkWnlkla u(I)Wnlx,n)N 1nkX(k)WNN K 0N 1(因为WNk(l n)k 0Nl n mN0l n mN，m

41、 0,1,2)所以 x1(n)x(n mN) 0 n N 1m9.研究一个长度为M点的有限长序列x(n)M 1我们希望计算求z变换X(z) x(n)z n在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即在n 0j2-kz e N ,k 0,1, N 1上的抽样。当N M时，试找出只用一个N点DFT就能计算X(z)的N个抽样的方法，并证明之。解：若N M，可将x(n)补零到N点，即X(e 即)N 1jLnkxo (n)e N ,0 kn 010. 对有限长序列x(n)1,0,1,1,0,1的Z变换X(z)在单位圆上进行5等份取样，得到取样值 X(k)，即 X(k) X(z) z Wk,k0,1,2,3,4求X

42、(k)的逆傅里叶变换xdn)。解：11. 设如图所示的序列x(n)的Z变换为X(z)，对X(z)在单位圆上等间隔的4点上取样得到 X(k)，即 X(k) X(Z)jk0,1,2,3z e 4试求X(k)的4点离散傅里叶逆变换X1(n)，并画出X1(n)的图形。P379 解：因为对X(z)在单位圆上等间隔的4点上取样，将使x(n)以4为周期进行周期延拓，所以刘(n) x(n 4r)，根据上式可画出 为(n)的图形，如下图所示。r四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题简答题：1. 理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法？解：答案略2. 补零和增加信号长度对谱分析有何影响？是否

43、都可以提高频谱分辨率？ 解：时域补零和增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。3. 试说明连续傅里叶变换 X(f)采样点的幅值和离散傅里叶变换 X(k)幅值存在什么关系？解：两个幅值一样。4. 解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？解：如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。计算题：5 .用某台FFT仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中，上限频率1025kHz。要求谱分辨率 5Hz。试确定下列

44、参数： 1.一个记录中的最少抽样点数；2. 相邻样点间的最大时间间隔； 3. 信号的最小 记录时间解：因为待分析的信号中上限频率fm 1.25 kHz所以抽样频率应满足：fs 2fm 2.5kHz因为要求谱分辨率上5kHz，所以N 2.5 咖 500N5因为选用的抽样点数 N必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数N 512相邻样点间的最大时间间隔 T (2)抽样点的间隔 T 97.66 s10.241 ms 0.4msfsmin2 fs 2.5信号的最小记录时间Tpmin N T 512 0.4ms204.8ms6. (1)模拟数据以10.24千赫速率取样，且计算了 1024个取样的

45、离散傅里叶变换。 求频谱取样之间的频率间隔。(2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换 后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？10240解：(1)频率间隔 F10 (赫)1024整个 1024 点的时宽 T=97.661024=100ms02fsFos其中s是以角频率为变量的频谱的周期,o是频谱抽样之间的频谱间隔7.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了 512个抽样的DFT试确定频谱抽样 之间的频率间隔，并证明你的回答 证明：由得又fsFos No则FofsN对于本题有f s8kHz, N 512所以Fo800015.625 Hz5128设有一谱

46、分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如果采用的抽样时间间隔为 0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最咼频率；（3）在 个记录中的最少点数。解：1(1)因为To 一 ,而Fo 10Hz，所以F o即最小记录长度为0.1s113（2）因为 fs T 01 10 10kHz，而1所以fh - fs 5kHz2即允许处理的信号最高频率为5kHz。（3）N 耳 耳1031000，又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少T 0.1点数为N 2101024。第四章快速傅立叶变换一、计算DFT效率及其改善途径填

47、空题：1.如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需 100 s，每次复加需20 s，今 用来计算N=1024点的DFT（n）。问直接运算需（）时间，用FFT运算需要（） 时间。解：（1）直接运算：需复数乘法 N2次，复数加法N （N 1次。直接运算所用计算时间T1为（2）基2FFT运算：需复数乘法 Nlog2N次，复数加法NiogzN次。2用FFT计算1024点DTF所需计算时间T2为2. N点FFT的运算量大约是()。解：N log 2 N次复乘和N log 2 N次复加2j k3. 快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子e N的 来减少计算量，其特点是 ,和。长度逐次变短

48、和利用旋转因子蝶形计算、原位计算和码位倒解：快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换jLke N的 周期性来减少计算量，其特点是置。简答题：4. FFT主要利用了 DFT定义中的正交完备基函数 WN(n 0,1, ,N 1)的周期性和对称 性，通过将大点数的DF运算转换为多个小数点的DFT运算，实现计算量的降低。请 写出W N的周期性和对称性表达式。答：周期性：wNn N)k wNnk wNk N)n对称性：wj N 2 wn15. 基2FFT快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少?解：原理：利用WNkn的特性，将N点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT最 后再组合起来复乘次数：logN，复加次数：N logN2二、按时间抽取FFT算法简答题：1.简略推导按时间抽取基2-FFT算法的蝶形公式，并画出 N=8时算法的流图，说明该算法的同址运算特点。解：答案略。作图题：3.画出N 8基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列 xk 1,1乙1,0的DFT解：答案略 4 .对于长度为8点的实序列x(n)，试问如何利用长度为4点的FFT计算x(n)的8点DFT?写出其表达式，并画出简略流程图。7解：X(k)x( n)W8nkn 032rkx(2r)W8x(2rr 01)W8(2r