数理逻辑练习题及答案

1、时命题的真值：一阶逻辑基本概念1 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)(1) 凡有理数都能被 2 整除。(2) 有的有理数能被 2 整除。其中(a)个体域为有理数集合，(b)个体域为实数集合。时命题的真值:2 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)(1) 对于任意的x，均有x2-2= (x+)(x-)。(2) 存在x，使得x+5=9。其中 (a) 个体域为自然数集合， (b) 个体域为实数集合。3 在一阶逻辑中将下列命题符号化：(1) 没有不能表示成分数的有理数。( 2)在北京卖菜的人不全是外地人。(3) 乌鸦都是黑色的。(4) 有的人

2、天天锻炼身体。4 在一阶逻辑中将下列命题符号化：( 1 )火车都比轮船快。(2) 有的火车比有的汽车快。(3) 不存在比所有火车都快的汽车。(4) “凡是汽车就比火车慢”是不对的。5 给定解释 I 如下：(a) 个体域 DI 为实数集合 R。(b) D I 中特定元素 =0。(c) 特定函数(x,y)=x-y, x,y D。(d) 特定谓词(x,y) : x=y, (x,y): xy, x,y D。说明下列公式在 I 下的含义，并指出各公式的真值：(1) xy(G(x,y) = F(x,y)(2) xy(F(f(x,y ) ,a) f G(x,y)(3) xy(G(x,y) = F(f(x,y

3、),a)(4) xy(G(f(x,y),a) fF(x,y)6 给定解释 I 如下：(a)个体域D=N ( N为自然数)。( b) D 中特定元素 =2。(c) D上函数(x,y)=x + y, (x,y)=x 讨。(d) D 上谓词(x,y) : x=y。说明下列公式在 I 下的含义，并指出各公式的真值：(1) xF(g(x,a),x)(2) xy(F(f(x,a),y) fF(f(y,a),x)(3) xyz(F(f(x,y),z)(4) xF(f(x,x),g(x,x)7 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式:(1) x(F(x) f y(G(y) A H(x,y)(2) xy(F(x)

4、 A G(y) f H(x,y)6.答案1(1) (a) 中， xF(x) ，其中， F(x) ：x 能被 2整除，真值为 0。(b)中，x(G(x) A F(x)，其中，G(x) : x 为有理数，F(x)同(a)中， 真值为 0。(2) (a) 中， xF(x) ，其中， F(x) : x 能被 2整除，真值为 1。(b)中，x(G(x) A F(x)，其中，F(x)同(a)中，G(x) : x 为有理数， 真值为 1。2(1) (a) 中， x(x 2-2=(x+)(x-)，真值为 1。(b)中，x(F(x) -(x 2-2=(x+)(x-)，其中，F(x) : x 为实数，真值为 1

5、。(2) (a) 中， x(x+5=9) ，真值为 1。(b) 中， x(F(x) A (x+5=9) ，其中， F(x) ：x 为实数，真值为 1。3. 没指定个体域，因而使用全总个体域。(1) n x(F(x) An G(x)或 x(F(x) -G(x)，其中，F(x) : x 为有理数，G(x) : x 能 表示成分数。(2) n x(F(x) -G(x) 或 x(F(x) An G(x) ，其中， F(x) ：x 在北京卖菜， G(x) ：x 是外地人。(3) x(F(x) -G(x) ，其中， F(x) ：x 是乌鸦， G(x) ：x 是黑色的。(4) x(F(x) A G(x) ，

6、其中， F(x) ：x 是人， G(x) ：x 天天锻炼身体。4. 因为没指明个体域，因而使用全总个体域。(1) xy(F(x) A G(y)-H(x,y) ，其中， F(x) ：x 是火车， G(y) ：y 是轮船， H(x,y):x 比 y 快。(2) xy(F(x) A G(y) A H(x,y) ，其中， F(x): x 是火车， G(y)：y 是汽车， H(x,y):x 比 y 快。(3) n x(F(x) A y(G(y) -H(x,y)或 x(F(x) -y(G(y) An H(x,y) ，其中， F(x): x 是汽车， G(y) ：y 是火车， H(x,y):x 比 y 快。

7、(4) n xy(F(x) A G(y)-H(x,y)或 xy(F(x) A G(y) An H(x,y) )，其中， F(x): x 是汽车， G(y) ：y 是火车， H(x,y):x 比 y 慢。5.(1) xy(xvy x 工 y)，真值为 1。(2) xy(x- y=0) -xy)，真值为 0。(3) xy(xvy) - (x -y工 0)，真值为 1。(4) xy(x- yv0)-(x=y) ，真值为 0。(1) x(x 2=x)，真值为 0 xy(x+2=y)- (y+2=x)，真值为 0。(3) xyz(x+y=z), 真值为 1。 x(x+x=x x),真值为 1。7.(1) 取个体域为全总个体域解释 I 1：F(x) ：x 为有理数， G(y) ：y 为整数， H(x,y) ：xy在I i下：x(F(x) y(G(y) A H(x,y)为真命题，所以该公式不是