机械振动基础第一章的PPT

1、 2021年7月25日 2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 2021年7月25日 3 什么是自由度什么是自由度 在振动过程中任何瞬时都能完全确定系在振动过程中任何瞬时都能完全确定系 统在空间的几何位置所需要的统在空间的几何位置所需要的独立坐标独立坐标的的 数目数目。 刚体在空间有刚体在空间有6个个自由度：三个方向的移自由度：三个方向的移 动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船； 质点在空间有质点在空间有3个个自由度：三个方向的自由度：三个方向的 移动，如高尔夫球；移动，如高尔夫球； 质点在平面有质点在平面有2个个自由度：两个方向的移自由度：两个方向的移

2、 动，加上约束则成为单自由度。动，加上约束则成为单自由度。 单自由度系统单自由度系统 仅需一个独立坐标来描述的系统。仅需一个独立坐标来描述的系统。 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度 不不 同时，则可能简化成不同自由度的振动系统。同时，则可能简化成不同自由度的振动系统。 1.1 概述概述 2021年7月25日 4 1.1 概述概述 构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素 构成振动系统的基本元素有构成振动系统的基本元素有惯性惯性(质量质量) 、恢复性（弹簧）、恢复性（弹簧）和和阻尼（阻尼器）阻尼（阻尼器）。 惯性惯性就是能使物体当前

3、运动持续下去的性质。就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼阻尼就是阻碍物体运动的性质。就是阻碍物体运动的性质。 从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 2021年7月25日 5 分析复杂的实际问题，分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就成一

4、个数学问题，这就 称为建模。称为建模。 建模要抓住实际问题的建模要抓住实际问题的 主要因素。主要因素。 模型建立起来了，实际模型建立起来了，实际 问题化成了数学问题。问题化成了数学问题。 1.1 概述概述 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 6 1.1 概述概述 有限元有限元 模型模型 离散模型离散模型 简化系统简化系统 简化系统简化系统 连续体模型连续体模型 对于振动问题的适应性强，应用范围广，对于振动问题的适应性强，应用范围广， 能详细给出各种数值结果，并通过图像能详细给出各种数值结果，并通过图像 显示还可以形象地描述振动过程。显示还可以形象地描述振动过程。 单

5、自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 7 1.1 概述概述 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 8 1.1 概述概述 步 骤： 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 9 1.1 概述概述 Example 1 SDOF damping system 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 10 1.1 概述概述 SDOF damping system 建立建立广义坐标广义坐标。取质量元。取质量元 件沿铅垂方向的位移作为件沿铅垂方向的位移作为 广义坐标广义坐标x。原点在系统的。原点在系统的 静平衡

6、位置，向下为正。静平衡位置，向下为正。 隔离体隔离体受力分析受力分析 由力学原理得到由力学原理得到 ()( )k ucumgF tmu ( )mucukuF t Example 2 kmg 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 11 1.1 概述概述 Pendulum Example 3 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 12 1.1 概述概述 Pendulum 建立广义建立广义坐标坐标。单摆偏离。单摆偏离 平衡位置的转角平衡位置的转角，坐标，坐标 零位零位在铅垂位置，逆时针在铅垂位置，逆时针 方向方向为正。为正。 隔离体隔离体受力分析受

7、力分析 由动量矩原理得到由动量矩原理得到 0sin 2 lgmlm sin 0）（lg Example 3 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 13 1.1 概述概述 Example 4 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 14 1.1 概述概述 (2 / )0yg l y Example 4 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年7月25日 15 1.1 概述概述 单自由度振动系统微分方程的一般形式单自由度振动系统微分方程的一般形式 eee ( )m uc uk uFt 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 2021年

8、7月25日 16 2021年7月25日 17 力学模型力学模型 给图示系统一个初始扰动。给图示系统一个初始扰动。 便会产生振动响应。便会产生振动响应。 其中其中s 为静变形。为静变形。 s kmg 数学模型数学模型 即即 ： 0muku 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 () s mumgku 令令 ： n k m 单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s） 2 0 n uu 则有则有 ： 固有频率固有频率 2021年7月25日 18 求解方程求解方程 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 0muk u 令令( )e s t u tc 2 ( )e s t u tc

9、s 0 2 ksm 得到特征方程得到特征方程 2 n /mk 1,2n is 1n2nn ( )cossincosu tatatat（） 有有 If 2021年7月25日 19 0muku n k m 2 0 n uu 22 12 aaa 1 1 2 a tg a 12 ( )cos()sin() nn u tatatsin() n at u t 0 a n 2/ n T 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 20 12 ( )cos()sin() nn u tatatsin() n at 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 简谐振动简谐振动 固

10、有频率固有频率 固有圆频率固有圆频率 固有频率固有频率 周期周期 振幅振幅 & 相位相位 mk / n mkf/ 2 1 n km /2 n 只与系统本身元件只与系统本身元件 的参数有关的参数有关 Initial conditions Physical properties u t 0 a n 2/ n T 2021年7月25日 21 考虑系统在初始扰动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动 12 ( )cos()sin() nn u tatatsin() n at 设设 的初始位移和初始速度为：的初始位移和初始速度为： 0t 0 (0)uu 0 (0)uu 0 102 , n u au

11、a 解得解得 ： 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2 2 0 0 n u au 0 0 arctan n u u 0 0 ( )cos()sin() nn n u u tutt 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： sin() n at 2021年7月25日 22 0 0 ( )cos()sin() nn n u u tutt 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： sin() n at 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无

12、休止。 n 初始条件的说明：初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入弹性势能，有初始速度即转入 了动能。了动能。 u t 0 a n 2/ n T 0 u 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 23 0 0 ( )cos()sin() nn n u u tutt 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： sin() n At 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐

13、振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 0 初始条件：初始条件： 00 2,0uu 固有频率从左到右：固有频率从左到右： ,2,3 nnn 时间时间 位置位置 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 24 固有频率计算的另一种方式：固有频率计算的另一种方式： 0muku n k m 在静平衡位置：在静平衡位置： n s kg m 则有：则有： 对于不易得到对于不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形的系统，若能测出静变形 ，则用，则用 该式计算是较为方便的该式计算是较为方便的 。 s 0 m s u 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧

14、原长位置 k 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 s kmg 2021年7月25日 25 例：例： 提升机系统提升机系统 重物重重物重 量量NW 5 1047. 1 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 cmNk/1078. 5 4 重物以重物以 的速度均匀下降的速度均匀下降 15/minum 求：求： 绳的上端突然被卡住时，（绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，）重物的振动频率， （2）钢丝绳中的最大张力。）钢丝绳中的最大张力。 W 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 u 2021年7月25日 26 解：解： 19.6/ n gk rad s W 振动频率振动

15、频率 重物匀速下降时处于静平衡位重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置住瞬时重物所在位置 则则 t=0 时，有：时，有： 0 0u 0 uv ( )sin()1.28sin(19.6 )() n n v u tttcm 0 0 ( )cos()sin() nn n u u tutt 振动解：振动解： W 静平衡位置静平衡位置 k u W v 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 27 ( )sin()1.28sin(19.6 ) () n n v u tttcm 振动解：振动解： 绳中的最大张力等于

16、静张力与因振动引起绳中的最大张力等于静张力与因振动引起 的动张力之和的动张力之和 ： max 55 5 1.47 100.74 10 2.21 10 () s TTkaWka N 动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半 由于由于 n v kakv km 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 W v 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 28 例：例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞 梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EJ 求：求： 梁的自由振动频率和最大

17、挠度梁的自由振动频率和最大挠度 m h 0 l/2l/2 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 29 解：解： 由材料力学由材料力学 ： 自由振动频率为自由振动频率为 ： EJ mgl 48 3 n g 取平衡位置取平衡位置 以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立 坐标系坐标系 静变形静变形 3 48 ml EJ m h 0 l/2l/2 u 静平衡位置静平衡位置 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 30 撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有： 0 u

18、则自由振动振幅为则自由振动振幅为 ： 2 2 0 0 0 u au 梁的最大扰度：梁的最大扰度： A max 0 0 ( )cos()sin() nn n u u tutt h2 2 0 2ugh m h 0 l/2l/2 u 静平衡位置静平衡位置 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 31 例：圆盘转动例：圆盘转动 圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I 在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置半径作为角位移的起点位置 0 kI / n kI 扭振固有频率扭振固有频率 2 0 n 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚

19、度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩)/(radmN k k I 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 32 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振直线振 动动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、 k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完 全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广全适用于角振动。以后不加特

20、别声明时，弹簧质量系统是广 义的义的 。 0muku / n k m 0 kI / n kI k I 0 m j u 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧原长位置 k 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 33 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件

21、，它表现为具有刚度生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。 0muku / n k m 0 kI / n kI k I 0 m s u 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧原长位置 k 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 34 例：复摆例：复摆 刚体质量刚体质量 m 对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量 0 I 重心重心 C 求：求： 复摆在平衡位置附近做

22、微振动时的微分方程和固有频率复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 mg 0 I a 0 C 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 35 解：解： 由牛顿定律由牛顿定律 ： 0sin 0 mgaI 因为微振动：因为微振动：sin 则有则有 ： 0 0 mgaI 0 / n mga I固有频率固有频率 ： 实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出，则可求出 ，再由移轴定，再由移轴定 理，可得物质绕质心的转动惯量：理，可得物质绕质心的转动惯量： n 0 I

23、2 0 maII c mg 0 I a 0 C 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 36 例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动 斜面倾角斜面倾角 300 质量质量 m=1kg 弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm 开始时弹簧无伸长，且速度为零开始时弹簧无伸长，且速度为零 求：求： 系统的运动方程系统的运动方程 m 300 k 重力角速度取重力角速度取 9.8 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 37 解：解： u 0 以静平衡位置为坐标原点以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系建立坐标系 振动

24、固有频率：振动固有频率： 2 / 49 10 /1 70 (/ ) n k m rad s 振动初始条件：振动初始条件： 0 0 sin30kumg 0 0.1 ()ucm 考虑方向考虑方向 0 0 ( )cos()sin() nn n u u tutt 0 0u 初始速度：初始速度： 运动方程：运动方程：( )0.1cos(70 ) ()u ttcm m 300 k 1.2 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 38 作业作业1 P44 题题1-3 P45 题题1-5 2021年7月25日 39 2021年7月25日 40 等效系统等效系统 1.3 等效单自由度系统

25、等效单自由度系统 多个质量（弹性、阻尼）元件多个质量（弹性、阻尼）元件为一个质量（刚度、阻为一个质量（刚度、阻 尼）元件。连续系统的质量和弹性尼）元件。连续系统的质量和弹性成一个质量元件和成一个质量元件和 一个弹性元件。一个弹性元件。 单自由度振动系统微分方程的一般形式单自由度振动系统微分方程的一般形式 eee ( )m uc uk uFt )( e t e te tTkcJ 2021年7月25日 41 等效系统等效系统 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 1 等效刚度等效刚度 计算方法：计算方法：1 从刚度的定义。从刚度的定义。 2 等效前后系统势能不变。等效前后系统势能不变。 斜向布

26、置的弹簧斜向布置的弹簧 等效弹簧刚度等效弹簧刚度 eu u k u 方向的力 方向的位移 cos u FF cosu 2 e cos x kk x F k x e 2021年7月25日 42 等效系统等效系统 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 1 等效刚度等效刚度 计算方法：计算方法：1 从刚度的定义。从刚度的定义。 2 等效前后系统势能不变。等效前后系统势能不变。 并联和串联弹簧并联和串联弹簧 2021年7月25日 43 等效系统等效系统 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 1 等效刚度等效刚度 计算方法：计算方法：1 从刚度的定义。从刚度的定义。 2 等效前后系统势能不变。等

27、效前后系统势能不变。 并联弹簧并联弹簧 x F k x e xkF n i ix )( 1 1 n i i k 等效弹簧刚度等效弹簧刚度 2021年7月25日 44 等效系统等效系统 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 Series Springs x F k x e n i i x n i i x n i i k F k F xx 111 1 n i i k 1 1 1 串联弹簧串联弹簧 等效弹簧刚度等效弹簧刚度 1 等效刚度等效刚度 计算方法：计算方法：1 从刚度的定义。从刚度的定义。 2 等效前后系统势能不变。等效前后系统势能不变。 2021年7月25日 45 等效系统等效系统 1

28、.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 Example 求图示系统对求图示系统对A点的等效质量点的等效质量 Spring-lever-mass system 2 2 2 4 2 1 2 2 1 2 1 xmml l x mxmV baba 2 ee 2 1 xmV VV eba mmm4 e 2 等效质量等效质量 等效等效前后系统动能不变前后系统动能不变 2021年7月25日 46 作业作业 n m k1 k2 k3 k4 已知: m =0.3kg 求等效刚度ke和固有频率 1234 15N/cm, 25N/cm, 35N/cm, 20N/cm,kkkk 2021年7月25日 47 2021年

29、7月25日 48 阻尼自由振动阻尼自由振动 前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系 统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。 振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质 阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的 方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。 最常用的一种阻尼力学模型是最常用的一种阻尼力学模型是粘

30、性阻尼粘性阻尼。在流体中低速。在流体中低速 运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼 。 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 49 粘性阻尼力与相对速度称正比，即：粘性阻尼力与相对速度称正比，即： cvP d c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数：为粘性阻尼系数，或阻尼系数 msN/单位：单位： 0mucuku 数学模型：数学模型： 2 20 nn uuu 或写为：或写为： n k m km c 2 固有频率固有频率 相对阻尼系数相对阻尼系数 m k c m cu mu u 0 ku 力学模型力学模型 取

31、坐标如图，静平衡位置为坐标原点。取坐标如图，静平衡位置为坐标原点。 据牛顿定律写出运动微分方程：据牛顿定律写出运动微分方程： 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 50 动力学方程：动力学方程： 2 20 nn uuun k m km c 2 设有特解：设有特解： st uue 特征方程：特征方程： 22 20 nn ss 特征根：特征根： 2 1,2 1 nn s 三种情况：三种情况： 1 1 1 欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 求解方程求解方程 代入微分方程得：代入微分方程得： 22 (2)0 st nn ssue 1.4 有阻尼系统的自由振动有

32、阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 51 第一种情况：欠阻尼第一种情况：欠阻尼 1 动力学方程：动力学方程： 2 20 nn uuu 特征方程：特征方程： 22 20 nn ss 特征根：特征根： 2 1,2 1 nn s 1,2nd si 特征根：特征根： 2 1 dn 阻尼固有频率阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率有阻尼的自由振动频率 0 12 ( )(cossin) t dd u teatat 通解：通解： a1、a2：初始条件决定：初始条件决定 一对共轭复数根一对共轭复数根 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 52 1欠阻尼欠阻尼 12 ( )(

33、cossin) nt dd u teatat 振动解：振动解： 设初始条件：设初始条件： 0 (0)uu 0 (0)uu 00 0 ( )(cossin) nt n dd d uu u teutt 则：则： ( )sin() nt d u teat 或：或： 22 00 0 () n d uu au 1 0 00 d n u tg uu 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 53 1欠阻尼欠阻尼 振动解：振动解： 2 1 dn 阻尼固有频率阻尼固有频率 阻尼自由振动周期：阻尼自由振动周期： d d T 2 T0：无阻尼自由振动的周期：无阻尼自由振动的周期 特性

34、一：特性一： 阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的 周期周期 2 2 1 n 2 0 1 T 00 0 ( )(cossin)sin() nn tt n ddd d uu u teutteAt 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 54 t Ae 0 t Ae 0 d T t ( )u t A A 0 1欠阻尼欠阻尼 响应图形响应图形 振动解：振动解： 00 0 ( )(cossin)sin() nn tt n ddd d uu u teutteAt 特性二：特性二： 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰

35、减的振动 =0 1 时间时间 位置位置 阻尼大，则振动衰减快；阻尼小，则衰减慢阻尼大，则振动衰减快；阻尼小，则衰减慢 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 55 评价阻尼对振幅衰减快慢的影响评价阻尼对振幅衰减快慢的影响 1 i i 与与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为无关，任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为衰减振动的频率为 ，振幅衰减的快慢取决于，振幅衰减的快慢取决于 ，这两个重要，这两个重要 的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 d n 1,2nd i 减幅系数减幅系数 定义为相邻两个振幅的比值：定义为

36、相邻两个振幅的比值： () n i nid t tT Ae Ae n d T e 00 0 ( )(cossin)sin() nn tt n ddd d uu u teutteAt t Ae 0 t Ae 0 d T t ( )u t A A 0 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 56 d di i T Tt t i i e Ae Ae 0 0 0 )( 1 减幅系数：减幅系数： 含有指数项，不便于工程应用含有指数项，不便于工程应用 实际中常采用实际中常采用对数衰减率对数衰减率 ： d i i T 0 1 lnln t Ae 0 t Ae 0 d T t

37、( )u t A A 0 特性三：特性三： 振幅按几何级数衰减。振幅按几何级数衰减。 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 57 第二种情况：过阻尼第二种情况：过阻尼 1 动力学方程：动力学方程： 2 20 nn uuu 特征方程：特征方程： 22 20 nn ss 特征根：特征根： 2 1,2 1 nn s * 1,2n s 特征根：特征根： 两个不等的负实根两个不等的负实根 通解：通解： a1、a2：初始条件决定：初始条件决定 22 (1)(1) 12 ( ) nn tt u ta ea e *2 1 n 12 () nt tt ea ea e 1.4 有

38、阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 58 设初始条件：设初始条件： 0 (0)uu 0 (0)uu 则：则： 0000 12 ()() , 22 nn uuuu aa 一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 响应图形响应图形 ( )u t 0 u t 0 振动解：振动解： ( )u t 12 () nt tt ea ea e 1过阻尼过阻尼 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 59 1 动力学方程：动力学方程： 2 20 nn uuu 特征方程：特征方程： 22 20 nn ss 特

39、征根：特征根： 2 1,2 1 nn s 1,2n s 特征根：特征根：二个重根二个重根 通解：通解： a1、a2：初始条件决定：初始条件决定 0 12 ( )() t u teaa t 第三种情况：临界阻尼第三种情况：临界阻尼 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 60 振动解：振动解： 12 ( )() nt u tecc t 1 临界阻尼临界阻尼 0 (0)uu 0 (0)uu 则：则： 仍然是按指数规律衰减仍然是按指数规律衰减 的非周期运动，但比过的非周期运动，但比过 阻尼衰减快些阻尼衰减快些 000 ( )() nt n u teuuu t km c

40、 2 临界阻尼系数临界阻尼系数 cr c kmccr2 设初始条件：设初始条件： 响应图形响应图形 ( )u t 0 u t 0 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 61 t u(t) 2 . 0 1 4 . 1 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较： 1 1 1 欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期

41、蠕动，没有振动发生 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 62 小结：小结：0mucuku动力学方程动力学方程 1欠阻尼欠阻尼 1 过阻尼过阻尼 1临界阻尼临界阻尼 00 0 ( )(cossin) nt n dd d uu u teutt 2 1 dn 0000 ()() ( )( 22 nt tt nn uuuu u teee *2 1 n 按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期蠕动 000 ( )() nt n u teuuu t kmccr2按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动振幅

42、衰减振动 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 63 例：阻尼缓冲器例：阻尼缓冲器 静载荷静载荷 P 去除后质量块越过去除后质量块越过 平衡位置的最大位移为初始平衡位置的最大位移为初始 位移的位移的 10 求：求： 缓冲器的相对阻尼系数缓冲器的相对阻尼系数 k c u 0 u0 P m 平衡位置平衡位置 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 64 解：解： 由题知由题知 (0)0u 设设 0 (0)uu 00 0 ( )(cossin) nt n dd d uu u teutt 求导求导 ： 0 2 0 ( )sin t n

43、d d u u tet 设在时刻设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： 1 2 0 1 ( )sin0 nt n d d u u tet d t 1 即经过半个周期后出现第一个振幅即经过半个周期后出现第一个振幅 u1 2 1 1 1100 ( ) nt uu tu eu e k c u 0 u0 P m 平衡位置平衡位置 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 65 由题知由题知 2 1 1 0 10% u e u 解得：解得：59. 0 2 1 1 1100 ( ) nt uu tu eu e 1.

44、4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 66 例：例： 刚杆质量不计刚杆质量不计 求：求： （1）写出运动微分方程）写出运动微分方程 （2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼系数，阻尼固有频率 小球质量小球质量 m l a k cm b 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 67 解：解： 阻尼固有频率：阻尼固有频率： 无阻尼固有频率：无阻尼固有频率： m 广义坐标广义坐标 0bbkaacllm 力矩平衡：力矩平衡： 0 222 kbcaml 2 2 n kb ml m k l b 2 2 2 n ca ml 2 2 2 n ca

45、 ml k m mlb ca 2 2 2 1 dn 4222 2 4 2 1 aclkmb ml 1mk a bl ccr 2 2 受力分析受力分析 ac bk lm 2 20 nn uuu 0mucuku l a k cm b 1.4 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 2021年7月25日 68 2021年7月25日 69 阻尼在所有振动系统中是客观存在的阻尼在所有振动系统中是客观存在的 大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同 非粘性阻尼的数学描述比较复杂非粘性阻尼的数学描述比较复杂 处理方法之一：处理方法之一： 采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻

46、尼采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼 原则：原则： 1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 讨论以下几种非粘性阻尼情况：讨论以下几种非粘性阻尼情况： 干摩擦阻尼干摩擦阻尼低粘度流体阻尼低粘度流体阻尼结构阻尼结构阻尼 2021年7月25日 70 （1）干摩擦阻尼）干摩擦阻尼（库仑阻尼）（库仑阻尼） 摩擦力：摩擦力：sgn d fNu ：摩擦系数：摩擦系数 N：正压力：正压力sgnu ：符号函数：符号函数 1,0 sgn0, 0 1, 0 u uu u 摩擦力一个周期内所消耗地能量：摩擦力一个周期内所消耗地能量： 4WNa 等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数： 4 e N c a 2 Wc a 1

47、.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 ( )sin() n u tat 2021年7月25日 71 （2）低粘度流体阻尼低粘度流体阻尼 2 Wc a 工程背景：低粘度流体中以较大速度运动地物体工程背景：低粘度流体中以较大速度运动地物体 2 sgn d fuu ：阻力系数：阻力系数 等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数： 阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反 摩擦力：摩擦力： 在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2： 2 sgnWuudu /4 3 /4 2 T T u dt 23 8 3 a 8 3 e ca (

48、 )sin() n u tat 1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2021年7月25日 72 （3）结构阻尼结构阻尼 2 Wc a 由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为的阻尼称为结构阻尼结构阻尼 2 Wa ：比例系数：比例系数 等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数： 特征：应力应变曲线存在滞回曲线特征：应力应变曲线存在滞回曲线 内摩擦所耗散的能量等于滞回环内摩擦所耗散的能量等于滞回环 所围的面积：所围的面积： e c 加载和卸载沿不同曲线加载和卸载沿不同曲线 应变应变 应力应力 加载加载 卸载卸载 0 1.5 等效粘性

49、阻尼等效粘性阻尼 2021年7月25日 73 2021年7月25日 74 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 振动系统在外 力作用下引发 的振动。 受迫振动也称 强迫振动 2021年7月25日 75 弹簧质量弹簧质量阻尼系统阻尼系统 设设 0 ( )sinF tFt 0 F外力幅值外力幅值 外力的激励频率外力的激励频率 m cu mu ku )(tF k c u 0m )(tF 力学模型力学模型 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 i 00 sinIm(e) t mucukuFtF 数学方程数学方程 2021年7月25日 76 0 sinmucukuFt振动

50、微分方程：振动微分方程： 显含时间显含时间 t 非齐次微分方程非齐次微分方程 非齐次微分方程非齐次微分方程 通解通解 齐次微分方程齐次微分方程 通解通解 非齐次微分方程非齐次微分方程 特解特解 阻尼自由振动阻尼自由振动 逐渐衰减逐渐衰减 暂态响应暂态响应 持续等幅振动持续等幅振动 稳态响应稳态响应 本节内容本节内容 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 振动微分方程的解振动微分方程的解 2021年7月25日 77 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 12 ( )( )( )u tutut i 200 sinIme t utUtU i 00 sinIm(e) t

51、 mucukuFtF n 1d ecos t u tRt 1 其中其中, u1(t)为相应齐次方程的解为相应齐次方程的解 u2(t)为方程的特解为方程的特解 振动微分方程的解振动微分方程的解 2021年7月25日 78 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 0 2 2 2 2 sinarctan Fc t km kmc 系统的全响应为系统的全响应为: n d ecos t u tRt 上式中的待定系数由初始条件确定，当上式中的待定系数由初始条件确定，当 时，时，R 不一定为零，这是它与自由振动的区别不一定为零，这是它与自由振动的区别。 0 u 0 0u 振动微分方程的解振动微分

52、方程的解 2021年7月25日 79 0 sinmucukuFt 222 1 ( ) (1)(2) 0 sin()sin() F utAt k 1 2 2 ( ) 1 stg 0 222 1 (1)(2) F A k 结论：结论： 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 2021年7月25日 80 稳态响应的特性稳态响应的特性 以以为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线 ( ) 222 1 ( ) (1)(2) 幅频特性曲线幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性：简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当）当1（ ） n 0 激振频率相对于系统固有频率很高激振频率相对于系统固有频率很高

53、 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 很小很小 0 123 0 1 2 3 4 5 ( ) 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 0 sin()sin() F utAt k 2021年7月25日 82 稳态响应特性稳态响应特性 （3）在以上两个领域）在以上两个领域 1，1 结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同对应于不同 值值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 222 1 ( ) (1)(2) 0 123 0 1 2 3 4 5 (

54、) 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 2021年7月25日 83 稳态响应特性稳态响应特性 结论：共振结论：共振 振幅无穷大振幅无穷大 222 1 ( ) (1)(2) （4）当）当 1 n 对应于较小对应于较小 值，值， 迅速增大迅速增大 ( ) 当当0( ) 但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 =1 附近的区域内，附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降增加阻尼使振幅明显下降 0 123 0 1 2 3 4 5 ( ) 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 1.

55、6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 0 sin()sin() F utAt k 2021年7月25日 84 稳态响应特性稳态响应特性 222 1 ( ) (1)(2) （5）对于有阻尼系统，）对于有阻尼系统， 并不并不 出现在出现在=1处，而且稍偏左处，而且稍偏左 max 0 d d 2 max 12 1 2 12 0 123 0 1 2 3 4 5 ( ) 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 0 sin()sin() F utAt k 2021年7月25日 85 稳态响应特性稳态响应特性 222 1 (

56、 ) (1)(2) （6）当）当2/11 振幅无极值振幅无极值 0 123 0 1 2 3 4 5 ( ) 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 2021年7月25日 86 稳态响应特性稳态响应特性 222 1 ( ) (1)(2) 2 1 1 s Q 记：记：品质因子品质因子 在共振峰的两侧取与在共振峰的两侧取与 对应的两点对应的两点 ， 2/Q 1 2 12 带宽带宽 Q与与 有关系有关系 ： n Q 阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，带越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭宽越窄，共振峰越陡峭 2 Q 2/Q 1 n 2 n 1

57、 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 0 sin()sin() F utAt k 2021年7月25日 87 稳态响应特性稳态响应特性 相频特性曲线相频特性曲线 （1）当）当1（ ） n 位移与激振力反相位移与激振力反相 （3）当）当1 n 共振时的相位差为共振时的相位差为 ，与阻尼无关，与阻尼无关 2 ( ) 0123 0 90 180 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 0 sin()sin() F utAt k 2021年7月25日 88 有阻尼单自由度系统有阻尼单自由度系统 外部作用力规律：外部作用力规律： 0 ( )cosF tFt 假设系统固有频

58、率：假设系统固有频率：1 n 从左到右：从左到右： 6 . 1,01. 1, 4 . 0 0 0 0 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 2021年7月25日 89 高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转 机械总质量为机械总质量为M，转子偏心质量为，转子偏心质量为m，偏心距为，偏心距为e，转子转动角速度为，转子转动角速度为 u：机器离开平衡位置的：机器离开平衡位置的 垂直位移垂直位移 则偏心质量的垂直位移：则偏心质量的垂直位移： sinuet 由达朗伯原理，系统在垂直方由达朗伯原理，系统在垂

59、直方 向的动力学方程：向的动力学方程： 2 2 ()(sin)0 d Mm umuetcuku dt 2 sinMucukumet 简化图形简化图形 m u c 2 k 2 k t e M k c tmesin 2 u M k c u t e m 偏心质量引起的强迫振动偏心质量引起的强迫振动 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 2021年7月25日 90 2 sinMucukumet me ：不平衡量：不平衡量 ：不平衡量引起的离心惯性力：不平衡量引起的离心惯性力 2 me 2 0 meF 设：设： ( )sin()u tBt 222 1 (1)(2) k me k F B

60、2 0 1 2 2 1 tg n n K M 得：得： M k c tmesin 2 u 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 2021年7月25日 91 ( )sin()u tBt 222 1 (1)(2) k me k F B 2 0 1 2 2 1 tg B 又写为又写为 ： 22 2 n meme B kM 2 222 ( )sin() (1)(2) me u tt M 2 1 222 (1)(2) M me B 1 2 me M )sin( 11 tB n 1.6 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 2021年7月25日 92 2 sinMucukumet