李庆扬数值分析第五版与习题答案供参考

1、百度文库让每个人平等地捉升口我第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪此方程组可以不选主元？答：使用髙斯消去法时，在消元过程中可能出现=0的情况，这时消去法无法进行：即 时主元素。：工0,但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入 误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证汁算的进行和计 算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选 择列主元消去法。2、髙斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？ A要满足什么 条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三

2、角形矩阵相乘的因式分解，英中一个 为上二角矩阵U, 个为下二角矩阵L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2,n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限左下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具 有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳泄？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳泄的 算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程

3、组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见P53,符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式设X为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章pl65）11x11,= 1 xt 1fl111叫=（工斤f7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给岀矩阵人=（购）的三种范数IMHn|力11 1丨&11丄与1丨川|2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见pi62,需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有II All,II All,IIA IL从泄义可知，IIAIh更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设A为非奇异阵，称数c

4、/（A）v=|A-10、判断下列命题是否正确: 只要矩阵q非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。答：错误，主元位置可能为0,导致无法计算结果。（2）对称正泄的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向疑b的决泄的。答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一九是零矩阵。答：正确。（7）奇异矩阵的范数一左是零。| |A（y = l,2,oo）为矩阵A的条件数当c

5、o”（A）1时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判世矩阵接近奇异?（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有、（2）注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。3百度文邮-让每个人平零地捉升口我答：错误，|L可以不为-(8) 如果矩阵对称，则|A|h=|/l|-o答：根据范数的定义，正确。(9) 如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0.(10) 在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很 小。答

6、：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。(11) IMI|1=IMT|-.答：根据范数的立义，正确。(12) 若人是nxn的非奇异矩阵，则cond(A) = cond(A_l)答：正确。人是nxn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。根据条件数的左义有:cond(A) = |A|A-,|cond(犷)=|A-1| |(A-尸 | = |A-1| |A| = |A|. | 屮 |#百度文库让每个人平等地捉升口我习题1. 设A是对称阵且u 0,经过高斯消去法一步后，A约化为称矩阵。 证明：设对称矩阵A=al 1212 22/j2,则经过次髙斯校区法后，有%2a5itanl 一- an5所以 a

7、： =112an2八Cln nan2 a211所以A2为对称矩阵。2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A =(勺)八 其中A =(知)a=(42Vi：证明：(1) A的对角元素山 0 (i = 12,“)：(2)仏是对称正定矩阵;(1) 依次取无=(00,0几 心12从 则因为A是对称正定矩阵,所以有5 = x7 Ar 0 o（2）人中的元素满足盗）=-红S, （iJ = 2,3,皿），乂因为A是对称正定矩阵，满足 5=% ij = l,2,，“，所以 ap = a. -= a. -,“11dll即人是对称矩阵。3、设乙为指标为R的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，厶

8、和单位阵/相同）,1加2乂 1 求证当i、jk时，厶=/“厶打 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，英中打为初等巻换 矩阵。4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角 矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147页。5、设Ux = d，其中为三角矩阵。（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写岀算法（2）计算解三角方程组Ux = d的乘除法次数（3）设为非奇异矩阵，试推导求的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算时对应的求解公式。 解法，略。6、证明:（1）如果A是对称正定矩阵，则A也是对称正上矩阵（2）如果A是对称正定矩

9、阵，则A可以唯一地写成A = L：L，其中厶是具有正对角元的下 三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组12州 一 3兀2 +3七=15* 18Xj + 3x-y 花=_15 x+x2+x3 =6并求出系数矩阵A的行列式的值12-181-333 -11 112-33Ab =-183-111 115-156使用列主元消去法，有12-3315Ab= -1831 1-1 -151 6-183一1=12-331 1 1-15156-183= 0-10 z6-1 -15Z 5317 3118 T-183=0 ?60 -1-1 -151731Is 6I 53-1-1517

10、31Ti6666621T_-18 3 =0 ?60 0A的行列式为66方程组的解为Xl=l/x2=2/x3=38、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解1x1+x2 + 2a-3=8本题考查LU分解。解: 4 561 | |345-1 2251160613909575409、用追赶法解三对角方程组Ax = b.其中_2 -10 0 0 _1-12-10000-12-10,b =00 0-12-10.0 0 0 12 .0解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有(1)计算0勺递推公式 卩、=cj b、= 1/2 = -0.502 =血/(x 伤)=一1/(

11、2-(一1),2=(A-2yi)/(-M)=(-(-1)x(l/2)/(2-(-l)x(-0.5) = l/3 儿=(厶一力)/(勺一 02)=( (T)x(1/3)/(2 (1)x(2/3) = 1/4 九=(几一角儿)/-角人)=(0-(一 1)x(1/4)/(2 (1)x(3/4) = 1/5 ,5=(/5-54)/(-A) = (0-(-1)x(1/5)/(2-(-1)x(-4/5) = 1/6(3) 解 UX=yx5 = y5 = 1 / 6x4 = y4 一卩血=l/5-(-4/5)xl/6 = 1/3勺=比一0*4 =l/4 (3/4)xl/3 = l/2W =儿一0血= l/3

12、 (2/3)xl/2 = 2/3xx =) -= 2-(-l/2)x2/3 = 5/ 6io、用改进的平方根法解方程组本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P15710723Xi = , Xy = , X-9 = o9 99X、下列矩阵能否分解为厶U （苴中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么 分解是否唯一。12 3ill1 2 62 4 1,B =2 2 1,c =2 5 154 6 73 3 16 15 46LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵(或 U矩阵)为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，

13、矩阵的LDU可分解条件也相同, 并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式 不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。解：因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 0, -10,所以A不能直接分解为三 角阵的乘积，但换行后可以。因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 0, 0,所以B不能分解为三角阵的 乘积。因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 5, 1,所以C能够分解为三角阵的 乘积，并且分解是唯一的。12、设0.6 0.5 A =0.1 0.3 计算A的行范数.列范数，2-范数及F-范数。本题考查的是矩阵范数的建义及求法行范

14、数 0. 6+0. 5=1.1列范数 0. 5+0. 3=0. 82-范数的计算需要用到特征值，特征值的讣算可以使用幕法进行计算，也可以直接求。/fA的最大特征值为03690 所以2-范数为06074F-范数0842613. 求证：金件引州2訥厂根据定义求证。n闊L =標泪勻|4 =工闯5禽闻=嗣异 r-l|4=4.()14、设P e Rnxn且非奇异，又设啊为R”上一向量范数，定义卜|“=|別|。试证明卜L，是9百度文库让每个人平等地捉升口我R上向疑的一种范数。根据向量范数的定义来证明:要求就有正泄性，齐次性，三角不等式等性质。显然虬引門沁 岡円阳I*啊|#|忸、Ikl +4 =昨+X2)H

15、 +列引已田列=町+帆IL，从而卜|p是用上向量的一种范数。15、设A e Rnxn为对称正定,定义|孔=(仏0,试证明卜L是R上向量的一种范数。根据向捲范数的定义来证明:要求就有正泄性，齐次性，三角不等式等性质。显網|冲=(Av,x)2 = ylxTAx 0I1|cx|A = (Acx,cxy = ylc2(xTAx) = c(Ax,xy =c|x|A|卜1+勺|片=(人(州+兀2)，(西+兀2) =y(Xl+X2)T A(Xi+X2)SJxW + &皿2 = kllL +1|.41 |a|16. 设A为非奇异矩阵，求证厂 =min学4。MIL z 卜IL0kl=inaxM=max Kl=

16、_所以得证1717、矩阵第一行乘以一数，成为4 =2,证明当2 = -时，cond(A)x有最小值。本题考查条件数的计算/(A)a=|A-|a| 首先计算A的逆阵取得最小值为2213212|a-,| =丄 + 2121121 ，当取值越大，则最小值为2从而co”(A)h 彳卜-打 |A|L =( 4 +2)max3|/l|,2, 又当|2| ( + 2) 2 = 7 oA2当恥I时，cond(A)x = ( + 2) max(3|2|,2= ( + 2) - 3|2| = 3 + 6|2| 7 /z7?综上所述,cond(A) = 7时最小,这时|2| =-,即2 = -o100 9918、设

17、A= gg 计算人的条件数cond(A)v (v = 2,oo)100 9999 98（小（犷）可知,-98 99屮_ 一98 9999 -10099 -100-98 99 nr99 -iooj_|_从而19405 -19602-19602 198012-1940519602196022-19801=，39206/1 + 1=0,T _ 100 99 100 “ 4一 99 989999 _1980198196021960219405.由八心= Z980、9602-19602 2-19405= A2 -392062 + l = 0,可得IMIL = |犷|, = 19603 + V384277

18、608 ,从而 cw?J(A)2 =|a_,|州、=19603 + 7384277608 39206|A_,|3c =199,制J =199,从而cond(A)x = |A_,|J|A|x = 199x199 = 39601o19、证明：如果A是正交矩阵，则co“(A)2=1若A是正交阵，则人7=屮，从而AtA = 1 , (A-1)7- = A4_, =/ ,故 IHL TIQL 九 s“/(a)2 Ty州2=1。20、设A、B w RM ,且加为严”上矩阵的算子范数，证明：cond(AB) 0,所以A1 A为对称正泄矩阵。/，/八、儿max(AA)(egg)，.盯X min( )由于A?A

19、为对称正泄矩阵，所以A1 A = AArCOM(心)2 =|心L |心)5 _ lAmax(ArA)r(ArA)A min( A7 A)( A7 A)7)_ lAmaxaAAA A)Amin(AAr)(ArA)r)则=2 max( A7 A A1 A) A min(AArAAr)A max( A7 A)2 A min( A A1 )22 max( Az A) /imin(A4z)=(cond(A)2)2第7章复习与思考题1什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213,若f(x)eCa,b且f(a)f(b)0,根据连续函数性质可知/(x)= 0在妝甸内至 少有一个实根，这时称么切为f(x)

20、= 0的有根区间。2. 什么是二分法？用二分法求/(x) = 0的根，/要满足什么条件？P213一般地，对于函数/(x) = 0如果存在实数c,当x=c时，若/(c) = 0,那么把x=c叫做函数 f(x) = 0的零点。解方程即要求f(x) = 0的所有零点。假)iLfx) = 0在区间(x, y)上连续，先找到a、b属于区间(x, y),使/(a)/(b)vO,说明在区间(a,b)内一圧有零点，然后求/(a+ b)/ 2)，现在假设 /(a) a0,则在区间a,(a+b)/2)内有零点，从开始继续使用中点函数 值判断。 这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方

21、法，使区间 的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3. 什么是函数俠x) = 0的不动点？如何确定0(x)使它的不动点等价于/(x)的零点P215.将方程= 0改写成等价的形式x =(p(x),若要求X*满足/(卅)=0,则炉=仅卅)； 反之亦然，称X*为函数0(x)的一个不动点。4. 什么是不动点迭代法？仅x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 0(x)的不动点P215求f（x） = 的零点就等价于求0（x）的不动点，选择一个初始近似值兀，将它代入x = 0（x）的右端，可求得X =

22、 0（兀），如此反复迭代有忑+i =0（忑），比=0,1,2,.,0（x）称为迭代函数，如果对任何xoea,b,由母+| =俠血）北=0,1,2,得到的序列母有极限hmxk =x*,则称迭代方程收敛，且卅=卩（卅）为0（卞）的不动点，故称xk+l =（p（xk）,k =0,1,2,为不动点迭代法。5. 什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定尤如=0（不）仇=0,1,2,.）的收敛阶P219设迭代过程X= 叽）收敛于X =（px）的根X*,如果当ks 时，迭代误差 ek =xk-x*满足渐近关系式也 tC,C = co“WH0ekP则称该迭代过程是P阶收敛的，特別点，当p=l时

23、称为线性收敛，P1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。&什么是求解f（x） = 0的牛顿法？它是否总是收敛的？若/（x*） = 0, x*是单根，/是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法：片=% 心）如*g当1广（忑）10,所以有根区间为(1.5,1.75)； 16/(1.625) = 1.6252 一 1.625 _ 1 =丄 0，所以有根区间为(1.5,1.625)；6416 16 163125690,所以有根区间为1 =丄625I 16取/ =+12)= = 1.59375 ,2 168321 Q1这时它与精确解的距离v丄(1.625-1)=

24、丄v 0.05。2 16322. 为求方程x3-x2- = 0在x0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形 式，并建立相应的迭代公式：1) X = l + /x2f 迭代公式+=1 + 1/球；2) X、= 1 +亍，迭代公式xk+l = #1 +丘；3) x2 = ,迭代公式耳+ = 1 /yjxk -1 ；X 1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似 值。解1)设0(尤)=1 +丄，则(px) =,从而材(1.5)| = |-三=孕 1,所以xx| 1 5 |27迭代方法局部收敛。2)设(p(x) = V1 + X1，则= x(l + x2) 3 ,从

25、而2 二0(15)|= -xl.5(l + 1.52)所以迭代方法局部收敛。丄 x(0.5) =V21,2所以迭代方法发散。4) 设*) = J/-1 ,则(x) = |x2(x3-l)_5,从而|(1.5)|=-xl.5(-p =21，所以迭代方法发散。1解1)使用二分法,令f(x) = ex +10x-2,则/(0) = -1, /(l) = e + 8,有根区间为0,1： /(0.5)=严+30,有根区间为0,0.5； /(0.25)=严 +0.50,有根区间为0,0.25； /(0.125)=严5 _0.75 0,有根区间为0,0.125； ia/(_)= 丘一_ = 一0 5605

26、0,有根区间为 16828V383. 比较求丁+102 = 0的根到三位小数所需的计算量：168 3-17饬】61713-03575,有根区间为539/宙十一32浜。，有根区间为春吕;1173有根区间为11312832/(2L)= e忌一巴7 2561280,有根区间为2347256 51293临)5595120,有根区间为2393256 *141)在区间0,1内用二分法；2)用迭代法忑+| =(2-八)/10,取初值x()=0o从而宀芫+岛“篇9。332,共二分10次。丽需x： _ 3忑 _ 1 _ 2x： +1?3彳 _33丘 -3 2)使用迭代法兀如=一，则山= 0.1,龙= 一 =0.

27、0894829 ,10 10 10_ 0.0894829? _ 0.Q906391“= 0.0906391 ,心= = 0.0905126 ,3 10 4 10即 X* = x4 = 0.0905126 ,共迭代 4 次。4. 给定函数f(x),设对一切x,厂(x)存在且0 / fx) 0(劝-1,即 |0(x)|vl,从而迭代 格式收敛。5. 用斯特芬森迭代法计算第2题中(2)和(3)的近似根，精确到10- 斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。6. 设0 ,证明对一切k = 12，2 xk ya且序列X,兀2，是递减的。显然，忑0,又因为兀*厂循=丄（无+邑）_循=比_曲厂R0 ,所以2 Xr2xk2xk Vn, k = 1,2,又兀+i-兀=丄（兀+丄）一电=x/=才_ = 0的迭代公式:X =X /（无）_ I 兀 j_（n-）xkn+a些”/ 一 1a= xk + ETnnx.lim 二 “ =lim