大一高数下复合求导

1、2021/6/161 第四节 一元复合函数)(),(xuufy 求导法则 x u u y x y d d d d d d 本节内容本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分 xxufuufyd)()(d)(d 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章 2021/6/162 )(),(ttfz 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则 定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu ),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点 在点 t 可导, t v v

2、z t u u z t z d d d d d d z 则复合函数 证证: 设 t 取增量t , v v z u u z z )()( 22 vu)(o 则相应中间变量 且有链式法则 vu tt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v , 2021/6/163 ,0t令,0,0vu则有 t o )( ( 全导数公式全导数公式 ) t v v z t u u z t z t o )( z vu tt )()( 22 vu )( o )()( 22 t v t u 0 (t0 时,根式前加“” 号) t v t v t u t u d d , d d 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、 t v v z t u u z t z d d d d d d 2021/6/164 若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点 例如例如:),(vufz tvtu , 易知:,0)0 , 0( )0 , 0( u f u z 但复合函数),(ttfz 2 1 d d t z t v v z t u u z d d d d 01010 0)0 , 0( )0 , 0( v f v z 偏导数连续偏导数连续减弱为 偏导数存在偏导数存在, 2 t 0, 22 22 2 vu vu vu ,00 22 vu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立. 2021/6/165 推

4、广推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 . t z d d 321 fff 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, ),(, ),(, ),(yxvyxuvufz x z 1211 ff 2221 ff y z z z wvu vu yxyx ttt t u u z d d t v v z d d t w w z d d x u u z x v v z y u u z y v v z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu 2021/6/166 又如,),(, ),(yxvvxfz 当它们都具有可微条件时, 有

5、 x z 121 ff y z 22 f fz x yx 注意注意: 这里 x z x f x z 表示固定 y 对 x 求导, x f 表示固定 v 对 x 求导 口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f x v v f y v v f 与不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/167 例例1. 设设,sinyxvyxuvez u ., y z x z 求 解解: x z veusin )cos()sin(yxyxye yx y z )cos()sin(yxyxxe yx veusin x u u z x v v z veucos y u u

6、z y v v z veucos y1 x1 z vu yxyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/168 例例2.,sin,),( 2 222 yxzezyxfu zyx y u x u ,求 解解: x u 222 2 zyx ex yxyx eyxx 2422 sin22 )sin21(2 zyx yx u y u 222 2 zyx ey yxyx eyyxy 2422 sin4 )cossin(2 x f x z z f 222 2 zyx ez y f y z z f 222 2 zyx ez yxsin2 yx cos 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 20

7、21/6/169 例例3. 设 ,sintvuz. d d t z z tvu tt t z d d t ev ttte t cos)sin(cos t u u z d d t v v z d d t z 求全导数, t eu ,costv 解解: tusintcos 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 2021/6/1610 为简便起见 , 引入记号, 2 121 vu f f u f f ),( 1 zyxzyxf 例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, )

8、,(zyxzyxfw 求., 2 zx w x w 解解: 令,zyxvzyxu x w w vu zyxzyx ),(vufw 1 1 fzy f 2 ),( 2 zyxzyxfzy 则 zx w 2 1 11 f 222 2 1211 )(fyfzyxfzxyf yxf 122 fy zy1 21 f yxf 22 21 ,ff 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1611 (当 在二、三象限时, ) x y arctan 例例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 2 2 2 2 22 )2(,)()() 1 ( y u x u y u x u 解解: 已知s

9、in,cosryrx u r yxyx 极坐标系下的形式 x r r u x u (1) , 则 x y yxrarctan, 22 r x r u , r x x r x 2 x y 2 )(1 x y 22 yx y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x u 2 r yu r u r u sin cos 2021/6/1612 y u y r r u 222 1 )(1 , yx x yr y y r x y x r u r u cos sin y u 2 2 222 )( 1 )()()( u r r u y u x u 题目 目录 上页 下页 返回 结束 r y r u 2 r xu

10、 u r yxyx 2021/6/1613 已知 r sin ) ( r u r u sin cos )( x u x 2 2 )2( x u r u r u x u sin cos u r yxyx ) ( rx u ) ( x u r u r u sin cos 2 2 2 cos r u 2 cossin r u cos r sin x u rr u cossin 2 2 2 2 2 sin r u 2 rr u 2 sin 2 cos) ( r 注意利用注意利用 已有公式已有公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1614 2 2 y u 2 2 2 2 y u x u

11、 2 1 r 2 2 x u 2 2 2 22 2 2 2 sincossin 2cos r u rr u r u rr u r u 2 2 sincossin2 rr u r u 2 2 coscossin2 同理可得 2 2 r u 2 2 2 1 u r r u r 1 2 2 )( u r u r r r 2 2 2 22 2 2 2 coscossin 2sin r u rr u r u 题目 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1615 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分 设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz 的全微分为 y y z x x z

12、 zddd x x v v z x u u z d)( y y v v z y u u z d)( u z v z u z 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(y y u x x u )dd(y y v x x v 则复合函数 ) (fz ),(, ),(yxyx ud v z vd 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1616 )cos( )sin(yxyxe yx 例例1 . ,sinyxvyxuvez u ., y z x z 求 例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.

13、 解解: ) (dd z uveudsin )cos()sin(yxyxye yx )cos()sin(yxyxye x z yx )cos()sin(yxyxxe y z yx 所以 veusin vveudcos )cos( )sin(yxyxe yx )(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxe yx )d(dyx xd yd )dd(yxxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1617 内容小结内容小结 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如例如, ),(, ),(yxvvyxfu u vyx yx x u 1 f

14、 3 f ; 1 y u 2 f 3 f 2 2. 全微分形式不变性 , ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量, vvufuvufz vu d),(d),(d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1618 思考与练习思考与练习 解答提示解答提示: P31 题7 v z 2 )(1 1 y x 1 v x x z y z v y )( 2 y x ) 1( y 1 2 )(1 1 y x 22 yx xy 22 vu u P31 题7; 8(2); P73 题11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 vuyvux y x z,arctan 2021/6/1619

15、P31 题8(2) x u y 1 1 f 1 1 f y y u 1 f )( 2 y x 2 f z 1 z u 2 f )( 2 z y 21 2 1 f z f y x 2 2 f z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 z y y x fu, 2021/6/1620 1 f x z y e 1 f 2 f yx z 2 y e 11 f y ex 2 y e 13 f y ex 21 f 23 f 作业作业 P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 P73题 11 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 y exuyxufz, ),( 2021/6/1621 备用题备用题 ,1),( 2 xy yxf,2),( 2 1 xyxf xy 1. 已知 求 .),( 2 2 xy yxf 解解: 由1),( 2 xxf两边对 x 求导, 得 02),(),( 2 2 2 1 xxxfxxf xxxf2),( 2 1 1),( 2 2 xxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1622 2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff 1 )( d d 3 x x x 1)1 , 1 ( f 1 d d )(3 2