排列组合特殊元素和特殊位置讲解

1、2021/6/161 2021/6/162 例例:七个同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的七个同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的 排法共有多少种？排法共有多少种？ 解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2 位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 从余下的5位 同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法 ，所以一共 有A52 A55 2400种排列方法 解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法所 以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 2 A66 A55=2400种 小小 结一：结一：对于“

2、在在”与“不在不在”等有特殊元素特殊元素 或特殊位置或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊先排特殊元素或特殊 位置位置，称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法） 2021/6/163 例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_ 最后排其它位置共有最后排其它位置共有_ 1 3 C 1 3

3、 C 1 4 C 1 4 C 3 4 A3 4 A 由分步计数原理得由分步计数原理得=288 1 3 C 1 4 C 3 4 A 回目录回目录 2021/6/164 “特殊元素、特殊位置优先安排法特殊元素、特殊位置优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。素，再考虑其它元素。 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没这五个数，组成没 有重复数字的三位数，其中偶数共有（有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由

4、于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优元素，应优 先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类； 0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个； 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排 十位有十位有 个；个； 由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个. 2 A4 111 233A A A B 解题技巧解题技巧 回目录回目录 2021/6/165 学生要从六门课中选学两门：学生要从六门课中选学两门：

5、（1）有两门课时间冲突，不能）有两门课时间冲突，不能 同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选）有两门特别的课，至少选 学其中的一门，有几种选法？学其中的一门，有几种选法？ 回目录回目录 2021/6/166 14 1 4 1 2 2 4 CCC 解法一： 141 2 6 C 解法二： （1）有两门课时间冲突）有两门课时间冲突,不能不能 同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？ 回目录回目录 2021/6/167 9 2 2 1 4 1 2 C CC 解法一：解法一： 9 2 4 2 6 C C 解法二：解法二： （2）有两门特别的课，至少）有两门特别的课，至少

6、选学其中的一门，有几种选法？选学其中的一门，有几种选法？ 2021/6/168 特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排 例例 将将5 5列车停在列车停在5 5条不同的轨道上，其中条不同的轨道上，其中a a列车列车 不停在第一轨道上，不停在第一轨道上，b b列车不停在第二轨道上，列车不停在第二轨道上， 那么不同的停放方法有（那么不同的停放方法有（ ） （A A）120120种种 （B B）9696种种 （C C）7878种种 （D D）7272种种 解：解： 4113 4333 78AAAA 782 3 3 4 4 5 5 AAA 2021/6/169 7 7种不同的花种在排成一列

7、的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种若两种 葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？ 25 45 1440 A A 练习题 2021/6/1610 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个这六个数字可组成多少个 无重复数字的五位数？无重复数字的五位数？ 14 55 600AA （2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重可组成多少个无重 复数字的五位奇数？复数字的五位奇数？ 113 344 288AAA 练练 习习 2021/6/1611 （3）(2005 北京北京文文)五个工程队承建某项工程

8、五个工程队承建某项工程 的的5个不同的子项目，每个工程队承建个不同的子项目，每个工程队承建1项，其项，其 中甲工程队不能承建中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建号子项目，则不同的承建 方案共有（方案共有（ ）种。）种。 （4）(2005 全国全国II 理理)在由数字在由数字0，1，2，3， 4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能所组成的没有重复数字的四位数中，不能 被整除的数共有被整除的数共有_个个 14 44 A A 12 44 PP 112 434 PPP 12 44 PP 112 434 PPP 解：不能被解：不能被5整除的有两种情况：情况整除的有两种情况：情况1、首位为、首位

9、为5有有 种，情况种，情况2、首位不是、首位不是5的有的有 种，故在由数字种，故在由数字 0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，所组成的没有重复数字的四位数中， 不能被整除的数共有不能被整除的数共有 + =192(个个) 192 2021/6/1612 小结：小结：1 1、“在在”与与“不在不在”可以相互转化。可以相互转化。 解决某些元素在某些位置上用解决某些元素在某些位置上用“定位法定位法”，解，解 决某些元素不在某些位置上一般用决某些元素不在某些位置上一般用“间接法间接法” 或转化为或转化为“在在”的问题求解。的问题求解。 2 2、排列组合应用题极易出现、排列组合应用题极易出现“重重”、“漏漏” 现象，而重现象，而重”、“漏漏”错误常发生在该不该错误常发生在该不该 分类、有无次序的问题上。为