二次函数图像与性质26913[教学校园]

1、第4课时 二次函数 1二次函数的解析式有三种常用表二次函数的解析式有三种常用表 达形式达形式 (1)一般式：一般式：f(x) ； (2)顶点式：顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)， (h，k)是顶点；是顶点； (3)标根式标根式(或因式分解式或因式分解式)：f(x)a(x x1)(xx2)(a0)；其中；其中x1，x2分别是分别是f(x) 0的两实根的两实根 基础知识梳理基础知识梳理 ax2bxc(a0) 2二次函数的图象及其性质二次函数的图象及其性质 基础知识梳理基础知识梳理 基础知识梳理基础知识梳理 基础知识梳理基础知识梳理 基础知识梳理基础知识梳理 二次函数可以为奇函数吗？二次函数可

2、以为奇函数吗？ 【思考思考提示提示】不会为奇不会为奇 函数函数 1已知函数已知函数f(x)4x2mx5在在 区间区间2，)上是增函数，则上是增函数，则f(1)的的 范围是范围是() Af(1)25Bf(1)25 Cf(1)25 Df(1)25 答案：答案：A 三基能力强化三基能力强化 2若函数若函数f(x)ax2bxc满足满足 f(4)f(1)，那么，那么() Af(2)f(3) Bf(3)f(2) Cf(3)f(2) Df(3)与与f(2)的大小关系不确定的大小关系不确定 答案：答案：C 三基能力强化三基能力强化 3已知函数已知函数yx22x3在闭区在闭区 间间0，m上有最大值上有最大值3，

3、最小值，最小值2，则，则 m的取值范围是的取值范围是() A1，) B0,2 C1,2 D(，2 答案：答案：C 三基能力强化三基能力强化 4抛物线抛物线y8x2(m1)xm7 的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则m_. 答案：答案：9或或25 三基能力强化三基能力强化 利用已知条件求二次函数解析利用已知条件求二次函数解析 式，常用的方法是待定系数法，但式，常用的方法是待定系数法，但 可根据不同的条件选用适当形式求可根据不同的条件选用适当形式求 f(x)解析式解析式 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点一考点一求二次函数的解析式求二次函数的解析式 1已知三个点坐标时，宜用一已知三个点坐标时，宜用一 般

4、式般式 2已知抛物线的顶点坐标与对已知抛物线的顶点坐标与对 称轴有关或与最大称轴有关或与最大(小小)值有关时，常值有关时，常 使用顶点式使用顶点式 3若已知抛物线与若已知抛物线与x轴有两个交轴有两个交 点，且横轴坐标已知时，选用两根式点，且横轴坐标已知时，选用两根式 求求f(x)更方便更方便 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 已知已知f(x)是二次函数，且是二次函数，且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求求f(x)的解析的解析 式式 求二次函数的最值必须认清定求二次函数的最值必须认清定 义域区间与对称轴的相对位置以及义域区间与对称轴的相对位置以及 抛物线的开口方

5、向抛物线的开口方向(即二次函数中即二次函数中 二次项系数的正负二次项系数的正负)，然后借助于，然后借助于 二次函数的图象或性质求解因二次函数的图象或性质求解因 此，定义域、对称轴及二次项系数此，定义域、对称轴及二次项系数 是求二次函数的最值的三要素是求二次函数的最值的三要素 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点二考点二 二次函数的最值二次函数的最值 课堂互动讲练课堂互动讲练 函数函数f(x)x24x4在闭区间在闭区间 t，t1(tR)上的最小值记为上的最小值记为g(t) (1)试写出试写出g(t)的函数表达式；的函数表达式； (2)作作g(t)的图象并写出的图象并写出g(t)的最的最 小值小值 【思

6、路点拨思路点拨】二次函数的对二次函数的对 称轴称轴x2，分情况讨论，分情况讨论x2是否在是否在 区间区间t，t1内内 课堂互动讲练课堂互动讲练 【解解】(1)f(x)x24x4 (x2)28. 当当t2时，时，f(x)在在t，t1上是增上是增 函数，函数， g(t)f(t)t24t4； 当当t2t1，即，即1t2时，时， g(t)f(2)8； 当当t12，即，即t1时，时，f(x)在在t，t 1上是减函数，上是减函数， g(t)f(t1)t22t7. (2)g(t)的图象如图所示的图象如图所示 g(t)的最小值为的最小值为8. 课堂互动讲练课堂互动讲练 【规律小结规律小结】二次函数区间最二次函

7、数区间最 值主要有三种类型：轴定区间定，轴值主要有三种类型：轴定区间定，轴 定区间动和轴动区间定定区间动和轴动区间定 一般来说，讨论二次函数在闭区一般来说，讨论二次函数在闭区 间上的最值，主要是看区间是落在二间上的最值，主要是看区间是落在二 次函数的哪一个单调区间上，从而应次函数的哪一个单调区间上，从而应 用单调性求最值用单调性求最值 课堂互动讲练课堂互动讲练 若题目变为：已知函数若题目变为：已知函数f(x)x2 2ax1a在在x0,1时有最大值时有最大值2，求，求a 的值的值 解：解：函数函数f(x)x22ax1a (xa)2a2a1 对称轴方程为对称轴方程为xa. (1)当当a0时，时，f

8、(x)maxf(0)1a， 1a2，a1. 课堂互动讲练课堂互动讲练 (2)当当0a1时，时，f(x)maxa2a1， a2a12，a2a10， (3)当当a1时，时，f(x)maxf(1)a， a2. 综上可知综上可知a1或或a2. 课堂互动讲练课堂互动讲练 二次函数常和二次方程、二次二次函数常和二次方程、二次 不等式结合在一起不等式结合在一起 三个三个“二次二次”以二次函数为核以二次函数为核 心，通过二次函数的图象贯穿为一心，通过二次函数的图象贯穿为一 体，因此，解题时通过画二次函数体，因此，解题时通过画二次函数 的图象来探索解题思路是非常行之的图象来探索解题思路是非常行之 有效的方法有效

9、的方法 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点三考点三二次函数的综合问题二次函数的综合问题 对于通过换元可转化为二次函数对于通过换元可转化为二次函数 的问题，要注意中间变元的取值范的问题，要注意中间变元的取值范 围，它是转化后二次函数的定义域围，它是转化后二次函数的定义域 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 (解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分) 已知二次函数已知二次函数f(x)ax2bx(a，b 为常数，且为常数，且a0)满足条件：满足条件：f(x5) f(x3)，且方程，且方程f(x)x有等根有等根 (1)求求f(x)的解析式；的解析式； (2)是否存在实数是否存在实数m

10、，n(mn)， 使使f(x)的定义域和值域分别为的定义域和值域分别为m，n 和和3m,3n？如果存在，求出？如果存在，求出m，n的的 值；如果不存在，说明理由值；如果不存在，说明理由 课堂互动讲练课堂互动讲练 【思路点拨思路点拨】(1)待定系数法待定系数法(2) 二次函数的单调性二次函数的单调性 【解解】(1)依题意，方程依题意，方程f(x)ax2 bxx有等根，有等根， 则有则有(b1)20，b1. 2分分 又又f(x5)f(x3)， 故故f(x)的图象关于直线的图象关于直线x1对称，对称， 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 由由知知m0或或m4， 由由知知n0或或n4.

11、课堂互动讲练课堂互动讲练 取取m4，n0. 即存在实数即存在实数m4，n0使使f(x) 的定义域为的定义域为4,0，值域为，值域为12,0. 12分分 【名师点评名师点评】解决本题的关键解决本题的关键 是确定是确定n的范围，从而把定义域的范围，从而把定义域m， n“放放”在增区间内，问题便可解决在增区间内，问题便可解决 (本题满分本题满分10分分)已知函数已知函数f(x)x2 2ax2，x5,5 (1)当当a1时，求函数时，求函数f(x)的最的最 大值和最小值；大值和最小值； (2)求实数求实数a的取值范围，使的取值范围，使y f(x)在区间在区间5,5上是单调函数上是单调函数 课堂互动讲练课

12、堂互动讲练 解：解：(1)当当a1时，时， f(x)x22x2(x1)21， x5,5， f(x)的对称轴为的对称轴为x1， x1时，时，f(x)取最小值取最小值1； x5时，时，f(x)取最大值取最大值37. 4分分 课堂互动讲练课堂互动讲练 (2)f(x)x22ax2(xa)22 a2的对称轴为的对称轴为xa， f(x)在在5,5上是单调函数，上是单调函数， a5，或，或a5， 解得解得a5，或，或a5. 10分分 课堂互动讲练课堂互动讲练 1二次函数二次函数f(x)ax2bxc(a 0)在区间在区间m，n上的最值上的最值 规律方法总结规律方法总结 规律方法总结规律方法总结 2注重数形结合，密切联系图注重数形结合，密切联系图 象是研究和掌握二次函数性质的基本象是研究和掌握二次函数性质的基本 方法对于二次方程根的分布，需要方法对于二次方程根的分布，需要 结合图象，从三个