圆周角与弦切角

1、圆周角与弦切角 教学目标 1理解圆周角定理与圆心角定理、圆周角定理 的两个推论，并能用其解决问题; 2. 理解切线的性质定理、判定定理及两个推论， 能应用定理及推论解决相关的几何问题 3.通过对弦切角定理的探究，体会分类思想、特 殊化思想和化归思想在数学思想中的作用 4.理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何 问题 教学重点 理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问 题 1圆周角定理 (1)圆心角及圆周角的概念：顶点在圆上， 并且两边和圆相交的角叫做圆周角；顶点 在圆心的角叫做圆心角 (2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角 等于它所对的 圆心角的一半 一、知识回顾 2圆心角定理 (1)定

2、理：圆心角的度数等于的度数 (2)圆心角的表示：圆心角AOB与其所对的AB 所对的度数是相等的，如图所示，可以记为： AOB的度数AB 的度数， 不能写成AOBAB. 它所对弧 3圆周角定理的推论 (1)推论1：同弧或等弧所对的；同圆 或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 ； 90的圆周角所对的弦是 (3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦三组量之间的相等关系，简单地说，就是圆 心角相等弧相等弦相等 圆周角相等 直角 直径 4圆的切线的性质定理及推论 (1)定理：圆的切线垂直于经过切点的 (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 (3

3、)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 半径 切点 圆心 【例例1】 如如图所示，在图所示，在ABC中，已知中，已知 ABAC，以，以AB为直径的为直径的 O交交BC于点于点D， DEAC于点于点E. 求证：求证：DE是是 O的切线的切线 证明证明连连接接OD和和AD，如图所示，如图所示 AB是是 O的直径，的直径，ADBC. ABAC，BDCD.AOOB， ODAC. DEAC，DEOD，DE是是 O的切线的切线 练习1 如图所示，在梯形ABCD中，ADBC， C90，且ADBCAB，AB 为O 的直径求证：O与CD 相切 反思感悟判断一条直线是圆的切线时，常用辅助 线的作法 如果已知这

4、条直线与圆有公共点，则连接圆心与 这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直 线垂直，简记为“连半径，证垂直”； 若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心 作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段 的长等于半径，简记“作垂直，证半径” 1弦切角的概念弦切角的概念 定义：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边定义：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边 和圆相切的角叫做弦切角和圆相切的角叫做弦切角 如图所示，如图所示，ACD和和BCD都是弦切角都是弦切角 二、知识探究 说明：弦切角也可以看做 圆周角的一边绕其顶点旋 转到与圆相切时所成的 角因此，弦切角与圆周 角存在密切关系 弦切角必须具备三个条件：

5、弦切角必须具备三个条件： 顶点在圆上顶点在圆上(顶点为圆切线的切点顶点为圆切线的切点)； 一边和圆相切一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线一边所在直线为圆的切线)； 一边和圆相交一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦一边为圆的过切点的弦) 例2 (1)判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由： (2)如图所示，AB、CB分别切O于D、E， 找出图中所有弦切角 解：ADE、BDE、CED、BED是弦 切角 CABCPA 例3（教材19页#1、2） O A B P C A B C M N O 0 37 0 53 0 60 例例4.（教材教材21页页#11）如图所示）如图所示，AB为为 O的直径，的

6、直径，C为为O上一点，上一点，AD和过和过C 点的切线互相垂直，垂足为点的切线互相垂直，垂足为D. 求证：求证：AC平分平分DAB. 证明：方法一：证明：方法一：如图所示，连接如图所示，连接OC. CD是是O的切线，的切线，OCCD. 又又ADCD，OCAD. 由此得由此得ACOCAD. OCOA，CAOACO， CADCAO. 故故AC平分平分DAB. 方法二：方法二：CD为为O的切线，连接的切线，连接CB，如，如 图所示，图所示， 由弦切角定理知由弦切角定理知ACDB. 又又AB为直径，为直径，C为为O上一点，上一点， ACB90， BCAB90. 又又ADCD， DACACD90. 由由知知DACCAB， AC平分平分DAB. O C A B D o 作业: 1、已知圆O内两条