1022角平分线的性质课件(华师版七下)

1、教师：王建军 细心观察细心观察 积极探索积极探索 在观察中发现特点在观察中发现特点 在探索中提高能力在探索中提高能力 让我们一起走进让我们一起走进有趣有用有趣有用的数学世界的数学世界 如图，为了促进射洪旅游发展，要在三条公路围如图，为了促进射洪旅游发展，要在三条公路围 成的一块平地上修建一个度假村成的一块平地上修建一个度假村. .要使这个度假村要使这个度假村 到三条公路的距离相等到三条公路的距离相等, ,应在何处修建？应在何处修建？ 情景创设 复习提问复习提问 1 1、角平分线的概念、角平分线的概念 o B M A 1 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段叫做从直

2、线外一点到这条直线的垂线段叫做点到点到 直线的距离。直线的距离。 P A BO 线段的线段的长度长度 3.互逆命题互逆命题：两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结 论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件。那么这两个命题叫 做互逆命题。 动动手动动手 将你手中的将你手中的AOB对折，使角的两条边对折，使角的两条边OA 与与OB重合重合. 请问折痕请问折痕射线射线OM有何特点？有何特点？AOB 是轴对称图形吗？是轴对称图形吗？ A B O M 结论：角是轴对称图形结论：角是轴对称图形.对称对称 轴是轴是角平分线所在的直线角平分线所在的直线 在角平分线在角平分线OM上任取一点上任取一点P，

3、过，过P点分别作点分别作 OA和和OB的垂线段的垂线段PC和和PD，画一画，量一量，画一画，量一量， 折一折折一折,观察观察PC和和 PD有什么数量关系有什么数量关系?再取一再取一 点，按上述同样的方法试验又如何？请你大胆点，按上述同样的方法试验又如何？请你大胆 猜想你能得出什么结论？猜想你能得出什么结论？ 角的平分线有什么性质？角的平分线有什么性质？ 角平分线上的角平分线上的点点到这个到这个角角 的两边的两边的的距离相等距离相等 观察后大胆猜想 已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA， PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。 求证：求证：P

4、D=PE 证明：证明： PDOA，PEOB（已知）（已知） PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS） 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 D P P E A O B C 验证 结论 又 OC是是AOB的平分线的平分线 AOC= BOC 角平分线的性质角平分线的性质 定理：定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等角的平分线上的点到角两边的距离相等 用符号语言表示为：用符号语言表

5、示为： A O B P E D 1 2 1= 21= 2 PD OA PD OA ，PE OBPE OB PD=PEPD=PE ( (角角的的平分线上的点到角的两边平分线上的点到角的两边 的距离相等的距离相等) ) 推理的理由有推理的理由有三个三个，必须，必须 写完全，不能少了任何一写完全，不能少了任何一 个。它是个。它是证明证明两条线段相两条线段相 等等的又一方法的又一方法 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 角的平分线上的点到这个角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。 AD C B BD CD （） 学以致用 (抢答:看谁反应最快) 如图

6、，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 角的平分线上的点到这个角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。 A D C B BD CD （） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC 角的平分线上的点到这个角角的平分线上的点到这个角 的两边的距离相等。的两边的距离相等。 A D C B 不必再证全等不必再证全等 已知已知ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距离是多少？ A B C D E 你会吗？你会吗？ 加深印象（看谁学得最好） 角平分线

7、性质定理: 角的平分线上的点到角的平分线上的点到 这个角的两边的距离相等。这个角的两边的距离相等。 条件 结论 性质定理 逆命题 如果一个点在角的平 分线上 那么这个点到角两边的距离 相等 如果角内部的一个点 到角两边的距离相等 那么这个点在角平分线上 角平分线性质定理的逆命题及论证： 角的内部到角两边的角的内部到角两边的距离距离相等的点，在这个角的平相等的点，在这个角的平 分线上。分线上。 已知：如图，已知：如图，QDOA，QEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E，QD=QE. 求证：点求证：点Q在在AOB的平分线上的平分线上 O D A B E Q 分析：为了证明点分析：为了证明点Q在在AO

8、B 的平分线上的平分线上,可以作射线可以作射线OQ,然然 后转化证明后转化证明EOQ= DOQ,则只需证明则只需证明RtQDO RtQEO, 就行了就行了. 老师期望:请认真学习P97规范的证明过程. 几何语言几何语言: Q是是AOB 内的一点内的一点,QDOA于于D,QEOB于于E且且QD=QE OQ是是AOB的平分线的平分线 (到角两边距离相等的点在这个角的平分到角两边距离相等的点在这个角的平分 线上线上) 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边角的内部到角两边 的的距离距离相等的点，在这个角的平分线上。相等的点，在这个角的平分线上。 l A B C 1、如图，在直线、如图，在直线 上

9、找一点上找一点P，使，使P 到射线到射线AB和和AC的距离相等的距离相等 P 作法：作作法：作BAC的的 平分线，交直线平分线，交直线l l 于点于点P。 则点则点P为所求作的点。为所求作的点。 应用与提高（应用与提高（P98练习题）练习题） (看谁学得最好看谁学得最好) l 例例 已知：如下图，已知：如下图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P. 求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等 证明：证明：过点过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC. CA， 垂足为垂足为D、E、F BM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P在

10、在BM上上 PD=PE（角平分线的性质定理）角平分线的性质定理） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等 D E F A BC P M N 总结总结: 三角形的三条角平分线交于一点三角形的三条角平分线交于一点(内内 心心),它到三角形的三条边的它到三角形的三条边的距离相等距离相等.所以所以 我们我们只需作出两条只需作出两条就可就可. 如图，为了促进射洪旅游发展，要在三条公路围如图，为了促进射洪旅游发展，要在三条公路围 成的一块平地上修建一个度假村成的一块平地上修建一个度假村. .要使这个度假村要使这个度假村 到三条公路的距离相等到三条

11、公路的距离相等, ,应在何处修建？应在何处修建？ 回归实际 2、角平分线、角平分线上的上的点点到角两边的到角两边的距离距离相等相等 几何语言几何语言: : OC是是AOB的平分线的平分线, 又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边距离相等到角的两边距离相等). 3、 运用角平分线性质可以说明运用角平分线性质可以说明两条线段相等两条线段相等 1、角是轴对称图形角是轴对称图形，对称轴是，对称轴是角平分线所角平分线所 在的直线在的直线； 4.角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作业布置作业布置: P98 习题13.5第4、5题 已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的 角平分线，DEAB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。 D F E CB A 提高与拓展提高与拓展 （看谁最聪明看谁最聪明） 证明： AD平分CAB DEAB，C90（已知） CDDE (角平分线的性