第四讲函数的图象

1、第四讲 函数的图象 主要内容：函数概念、图形与图像、一次函数、函数求解【学习内容】1、 进一步了解函数概念，熟悉函数表示方法；2、 利用函数图像解决实际问题，依据函数图像及图形研究数量关系；3、 正比例函数与一次函数图像的性质。第一部分【知识导读】1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一

2、般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象7、描点法画函数图形的一般步骤

3、第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。【典型例题】例1如图，表示y是x的函数图象是（）例2如图，某游客为爬上3千米的

4、山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）例3、如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ） hthO(A)thO(B)hOt(C)thO(D)例4、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示.下面的论断中：0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；1点到3点，同时关闭两个进水口和一个出

5、水口；3点到4点，关闭两个进水口，打开出水口； 5点到6点，同时打开两个进水口和一个出水口可能正确的是 （ ）丙甲时间O11进水量乙时间2O1出水量时间3O5613456蓄水量(A) (B) (C) (D)例5星期日晚饭后，小红从家里出去散步，图25所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了依据图象回答下列问题图25（1）公共阅报栏离小红家有_米，小红从家走到公共阅报栏用了_分；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了_分；（3）邮亭离公共

6、阅报栏有_米，小红从公共阅报栏到邮亭用了_分；（4）小红从邮亭走回家用了_分，平均速度是_米秒【强化练习】1一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 坐标，那么平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象2当函数图象从左向右上升时，函数值随自变量的增大而 ；当图象从左向右下降，函数值随自变量的增大而 3描点法画函数图象的一般步骤： ， ， 4表示函数有三种方法： 法、 法、 法训练题1写出下列各函数中自变量的取值范围： ； ； 2、点(a，6)，在函数y= 的图象上，则a= 3、函数y=kx+5的图象经过（1，2），则k= 4下列各点中在函数y=3x-1的图象上的是

7、（ ）A（1，-2） B（-1，-4） C（2，0） D（0，1）5已知点A（2，3）在函数y=ax2-x+1的图象上，则a等于 6已知函数y=ax2+bx的图象经过M（2，0）和N（1，-6）两点，则a_，b=_7若点A（m-1，2）在函数y=2x6的图象上，则m的值为 9为了加强公民的节水意识，我市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费现有某户居民5月份用水x吨（x10），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是_ 10一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车

8、后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）11某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量为y，生产时间为t，那么y与t的大致图象只能是图中的（ ）12如图，向高为H的圆柱形空水杯里注水，表示注水量y与水深x的关系的图象是（ ）13如图：向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系大致是下列图象中的（ ）14、丹丹家距学校m千米，一天她从家上学先以a千米时的速度跑步锻炼前进，后以匀

9、速b千米时步行到达学校，共用n小时图17-2-12份中能够反映李丹同学距学校的距离s（千米）与上学的时间t(小时)之间的大致图象是 （ ）15早晨，小强从家出发，以v1的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点，之后以v2的速度向学校行进，已知v1v2，下面的图象中表示小强从家到学校的时间t（分）与路程s（千米）之间的关系是图中的（）A、 B、 C、 D、16一慢车和一快车沿相同路线从A地到相距120千米的B地，所行路程与时间的函数图像如图所示.试根据图像，回答下列问题: 慢车比快车早出发 小时，快车比慢车少用 小时到达B地；快车用 小时追上慢车；此时相距A地 千米.17如图是某出租车单程收费y(元

10、)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题(1)当行驶8千米时,收费应为 元(2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条) (3)求出收费y(元)与行使x(千米)(x3)之间的函数关系式18已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）确定自变量的取值范围 ；（2）当x=-4时，y= ，x=-2时，y= ，x=4时y= （3）当y=0时，x= ；当y=4时x= （4）当x= 时,y的值最大,当x= 时，y的值最小。（5）当x的值在什么范围内时y随x的增大而增大？ 当x的值在什么范围内时y随x的增大而减小？ 19右图表示某学校秋游活动时，学生乘坐旅游车离开学校的距离

11、与时间的关系，请根据示意图回答下列问题： 1学生何时下车参观第一风景区?参观时间有多长? 211:00时该车离开学校有多远? 3学生何时返回学校，返回学校时车的平均速度是多少?20甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从A城出发到B城旅行，如右图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象。根据图象，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息？说明：请至少提供4条信息，比如，由图可知：甲比乙早出发4小时；甲离开A城的路程与时间之间的函数图象是一条折线，说明甲作变速运动；等等 请不要再提供如的一些信息。21小宇某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示：

12、10时和13时，他分别离家有多远？他可能在什么时间内休息，并吃午餐？小宇哪个时间段骑车的速度最快？是多少？22某气象中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程开始时风速平均每小时增加2km，4h后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4km，一段时间内风速保持不变当沙尘暴遇到绿色植被林时，其风速平均每小时减小1km，最终停止结合风速与时间的图象，回答下列问题：（1）在y轴（ ）内填入相应的数值； （2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？23、如图，正方形ABCD的边长为4，P为DC上的点.，设DPx，（1）APD的面积y关于x的函数关系式为 （2）自变量x的取值范围为 （3）画出这个函数

13、的图象.（4）观察你所画的图象，回答下列问题（a）当x= 时，APD的面积y= 4（b）当x增大时，y的值如何变化？ （c）当x= 时，APD的面积最大。第二部分【知识导读】1、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当，时，仍是一次函数当，时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx

14、(k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0b0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k0时，向上平移；当b0时，直线经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；b0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.

15、6、直线（）与（）的位置关系（1）两直线平行且 （2）两直线相交（3）两直线重合且 （4）两直线垂直7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.【典型例题】基本概念题例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.例2 当m为何值时，

16、函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？基础知识应用题例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体

17、的温度为 例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 .例6 求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线函数y=-x+1的图象不经过（ ）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限例7若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1x2时，y1y2，则m的取值范围是（ ）AmOBm0 CmDmM例8 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元（1）写出年产值y（万

18、元）与年数x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值例9 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式例10 已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是72cm，求这个一次函数的表达式已知直线y=2x+1（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值综合应用题例11 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？例

19、12 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费04元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费06元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元（1）写出y1，y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例13 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半

20、轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且SABP=4，求P点的坐标例14 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？（4）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（5）k为何值时，y随x的增大而减小？例15 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上【强化练习】1、在函数 y=2x y=3x+1 y= x2中， x是自变量， y是x的函数， 一次函数有_ 正比例函数有_,2.某函数具有下列两条性质（1）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线；（2）y的值随x值的增大而增大。请你举出一个满足上述条件