第4章刚体力学正式

1、第第4章章 刚体力学刚体力学 一、一、理解描述刚体定轴转动的物理量，熟练掌握刚体绕定轴理解描述刚体定轴转动的物理量，熟练掌握刚体绕定轴 作匀加速转动的运动学特点。作匀加速转动的运动学特点。 二、理解力矩与转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动二、理解力矩与转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动 定律。定律。 三、熟练掌握刚体绕定轴转动情况下的角动量定理和角动量三、熟练掌握刚体绕定轴转动情况下的角动量定理和角动量 守恒定律的应用。守恒定律的应用。 四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，掌握功能原理在定四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，掌握功能原理在定 轴转动问题中的应用。轴转动问题中的应用。 五

2、、熟练掌握角动量守恒定律和机械能守恒定律的条件，提五、熟练掌握角动量守恒定律和机械能守恒定律的条件，提 高应用守恒定律解决具体问题的能力。高应用守恒定律解决具体问题的能力。 作业：作业： 10,12,14,16,20,21,26,35,44,48 4.0 概述概述 实际的物体是有大小的，并且有不同的形状。实际的物体是有大小的，并且有不同的形状。 当物体受力作用时，可能还有大小形状的变化，当物体受力作用时，可能还有大小形状的变化， 此时将物体当作质点就不合适了，而应该考虑物此时将物体当作质点就不合适了，而应该考虑物 体各动部分的运动情况及其大小形状的变化。显体各动部分的运动情况及其大小形状的变化

3、。显 然，这类问题是非常复杂的。如果物体受力作用然，这类问题是非常复杂的。如果物体受力作用 时形状的变化很小，可以忽略不计，则会使问起时形状的变化很小，可以忽略不计，则会使问起 题简化。于是提出题简化。于是提出“刚体刚体”模型。模型。 刚体刚体-在外力作用下，形状和大小都不发生变在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质（任意两质点间距离保持不变的特殊质 点组）点组） 研究刚体运动国防、工业、医学都有重要意义。研究刚体运动国防、工业、医学都有重要意义。 刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动

4、 平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全 相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于 它们的初始位置间的连线它们的初始位置间的连线 . 4.1 刚体的基本运动刚体的基本运动 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 刚体运动的分类 x 4.2 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 z 参考平面参考平面 )(t )()(ttt 角位移角位移 )(t 角坐标角坐标 约定

5、约定 r 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 tt t d d lim 0 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向 参考轴参考轴 4.2.1. 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度 角加速度角加速度 t d d 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同； 3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 . ,a , v 定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一 维转动）的转动方向可维转动）的转动

6、方向可 以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表 示示 . 00 zz 4.2.2 匀变速转动的公式匀变速转动的公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 at 0 vv 2 2 1 00 attxxv )(2 0 2 0 2 xxa vv t 0 )(2 0 2 0 2 2 2 1 00 tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 rad75 )

7、6(2 )5( 2 22 0 2 21 0 srad 6 srad 30 50 t 例例 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因 受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开）制动开 始后始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 . 解解 （1） ,srad5 1 0 . 0 t = 30

8、 s 时，时， 设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动0 0 时，时， t = 0 s （2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度 11 0 srad4srad)6 6 5( t （3）s6t 时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小 22 sm5 . 2sm42 . 0 rv 该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度 22 t sm105. 0sm) 6 (2 . 0 ra 转过的圈数转过的圈数r5 .37 2 75 2 N 2222 n sm6 .31sm)4(2 . 0 ra 例例 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一

9、圆柱形转子可 绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速 度度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转已知转 子的角加速度与时间成正比子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转 过多少转？过多少转？ 0 0 解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 ctct t d d t ttc 00 dd 得得 2 2 1 ct 当当t=300s 时时 11 srad600minr18000 所以所以 33 22 srad 75 srad 300 60022 t c

10、 转子的角速度转子的角速度 232 srad 150 2 1 tct 由角速度的定义由角速度的定义 23 srad 150 d d t t 得得tt t dsrad 150 d 0 23 0 有有 33 srad 450 t 在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数 43 103)300( 4502 2 N 32 srad)75(2 tc 角线量关系 P z * O FdFrMsin M 1 F r d : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用作用 在刚体上点在刚体上点 P , 且在转动平面内且在转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的

11、径矢的径矢 . F r 2 FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 0,0 ii MF 0,0 ii MF F F F F 4.3.1 力矩力矩 M 4.3 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 F 2 F 力矩 合力矩 转动定律 fiFi Fi + f = a ii n t t i j jFisin+ i f sin i t t=ai=ri ri =+rii f sin i i Fi j j sin riri ri t t n Fi O ri fi i j j I 续 t t n Fi O ri fi i j j 转动惯量的计算 分立质点的算例 0.75 直棒算例 平行移轴定理平

12、行移轴定理 对对新轴新轴的转动惯量的转动惯量 对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量 新轴新轴对心轴的平移量对心轴的平移量 例如：例如： 时时 代入可得代入可得 端 圆盘算例 球体算例 匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为 的薄圆盘的转动惯量为 其中 球体算例 此外，还可以用填充法加平行轴定理求解转动惯量此外，还可以用填充法加平行轴定理求解转动惯量 半径半径R，质量，质量M的均匀圆盘，的均匀圆盘， 被挖去一个小圆洞，求绕圆被挖去一个小圆洞，求绕圆 心轴的转动惯量心轴的转动惯量. R r d 2 R M 2 2 1 MRI 小洞 III

13、 22 小洞 2 1 mdmrI 未挖时密度未挖时密度 未挖时未挖时 挖后挖后 2 rm 其它典型 匀质矩形薄板匀质矩形薄板 转轴通过中 心垂直板面 I = (a + b ) 2 2 m 12 匀质细圆环匀质细圆环 转轴通过中 心垂直环面 I = m R 2 匀质细圆环匀质细圆环 转轴沿着 环的直径 2 I = 2 m R 匀质厚圆筒匀质厚圆筒 转轴沿几何轴 I = (R1 + R2 ) 22m 2 匀质圆柱体匀质圆柱体 转轴通过中心 垂直于几何轴 m I = R + 2 2m 124 L 匀质薄球壳匀质薄球壳 转轴通过球心 2 I = 2 m R 3 转动定律例题一 转动定律例题二 T1 T

14、2 a （以后各例同）（以后各例同） R m1 m2 m 轮轴无摩擦轮轴无摩擦 轻绳不伸长轻绳不伸长 轮绳不打滑轮绳不打滑 T2T1 G1 G2 T2T1 a a b b T1 m1 g = m1a m2 g T2 = m2a ( T2 T1 ) R = I a = R I = m R 22 转动转动 平动平动 线线- -角角 联立解得联立解得 a= m1 m1+ m2+ g m2 m 2 1 g T1 = m1 ( g + a ) T2 = m2 ( g a ) m1 g m2 g 如果考虑有转动摩擦力矩如果考虑有转动摩擦力矩 Mr , ,则则 转动式为转动式为 ( T2 T1 ) R Mr

15、= I 再联立求解。再联立求解。 转动定律例题三 R m1 m 细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘 R m （A）（B） 恒力恒力 F 滑轮角加速度滑轮角加速度 细绳线加速度细绳线加速度 a （A） （B） O R O R r d r 例例 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，平放在的均匀圆盘，平放在 粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦因数为粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦因数为 ， 令圆盘最初以角速度令圆盘最初以角速度 绕通过盘中心绕通过盘中心 O 并与盘面垂并与盘面垂 直的轴旋转，问它将经过多少时间才停止转动？直的轴旋转，问它将经过多少时间才停止转动？ mR 解解 设圆盘面密度为设

16、圆盘面密度为 ，在，在 盘上取半径为盘上取半径为 ，宽为，宽为 的的 圆环，质量为圆环，质量为 rrd 2 Rm rrmd2d 圆环所受的阻力矩为圆环所受的阻力矩为 3 3 2 Rg 由于由于 整个圆盘所受的阻力矩为整个圆盘所受的阻力矩为 0 rgmMdd R rrgrmgrM 0 d2d 所以所以mgRM 3 2 根据转动定律，有根据转动定律，有 设圆盘经过时间设圆盘经过时间 停止转动，对上式运算即可停止转动，对上式运算即可 最后得最后得 0 4 3 g R t t mRImgR d d 2 1 3 2 2 0t 0 0d2 1 d 3 2 Rtg v 4.4.1 质点的角动量质点的角动量

17、v mrprL v r L L r p m o 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径 为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的 角动量角动量 r ImrL 2 L r x y z o m 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原 点的角动量点的角动量 m r v sinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.L 刚体的角动量 角动量定理 例 刚体系统的角动量定理 若一个系统包含多个若一个系统包含多个共轴共轴刚体或平动物体刚体或平动物体 系统的总合外力矩系统的总合外力

18、矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率 系统的总冲量矩系统的总冲量矩系统的总角动量增量系统的总角动量增量 系统：系统： 轻绳轻绳（忽略质量）（忽略质量） 总合外力矩总合外力矩 对对O的角动量的角动量 对对O的角动量的角动量 由由 得得 同向同向 而 解得解得 例如例如 静静 止止 释释 放放 求角加速度求角加速度 刚体的角动量守恒定律 角动量守恒的另一类现象 收臂 大 小 用外力矩用外力矩 启动转盘后启动转盘后 撤除外力矩撤除外力矩 张臂 大 小 花样滑冰中常见的例子 角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象 变小则变小则变大，变大，乘积乘积保持不变保持不变变大则变大则变小变小

19、收臂 大 小 用外力矩用外力矩 启动转盘后启动转盘后 撤除外力矩撤除外力矩 张臂 大 小 花花 样样 滑滑 冰冰 收臂 大 小 张臂张臂 大大 小小 先使自己先使自己 转动起来转动起来 收臂收臂 大 小 高台跳水 共轴系统的角动量守恒 共轴系统共轴系统若若外外则则恒矢量恒矢量 轮、转台与人系统轮、转台与人系统 轮轮 人台人台 初态初态全静全静 初初 人沿某一转人沿某一转 向拨动轮子向拨动轮子 轮轮 末态末态 人台人台 轮轮轮轮 末末 人台人台人台人台 初初 得得 人台人台人台人台 轮轮轮轮 导致人台导致人台 反向转动反向转动 直升飞机 守恒例题一 A A、B B两轮共轴两轮共轴 A A以以 A

20、 A作惯性转动作惯性转动 以以A A、B B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。统受合外力矩为零，角动量守恒。 初态角动量初态角动量 末态角动量态角动量 得得 两轮啮合后两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度一起作惯性转动的角速度 ABAB 转动与碰撞 续上 守恒例题三 满足什么条件时，小球（视满足什么条件时，小球（视 为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而 小球恰好静止。直棒起摆角速度小球恰好静止。直棒起摆角速度 匀质直棒与单摆匀质直棒与单摆 小球的质量相等小球的质量相等 两者共面共转轴两者共面共转轴

21、水水 平平 静静 止止 释释 放放 静静 悬悬 弹碰弹碰 忽略摩擦忽略摩擦 联立解得联立解得0.5771.861 对摆球、直棒系统对摆球、直棒系统 小球下摆阶段小球下摆阶段 从水平摆到弹碰即将开始从水平摆到弹碰即将开始 由动能定理得由动能定理得 其中其中 球、棒相碰球、棒相碰瞬间瞬间在铅垂位置，在铅垂位置， 系统受合外系统受合外力矩为零力矩为零，角动量守恒。，角动量守恒。 刚要碰时系统角动量刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量刚碰过后系统角动量 球球棒棒球球棒棒 弹碰阶段弹碰阶段 弹碰过程能量守恒弹碰过程能量守恒 转动动能 力矩的功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小拨动圆盘转一周，摩擦

22、阻力矩的功的大小 总摩擦力矩总摩擦力矩 是是 各微环带摩擦元力矩各微环带摩擦元力矩 的积分的积分 环带面积环带面积 环带质量环带质量 环带受摩擦力环带受摩擦力 环带受摩擦力矩环带受摩擦力矩 圆盘受总摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功转一周摩擦力矩的总功 得得 粗粗 糙糙 水水 平平 面面 转轴转轴 平放一圆盘平放一圆盘 刚体的动能定理 回忆质点的动能定理回忆质点的动能定理 刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理 由由转动定律转动定律 则则 合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量 称为称为 t I d d d d d ddI t IM 动能定理例题三 段，外力矩作正功段，外力矩作正功 段，外力矩作负功段，外力矩作负功 合外力矩的功合外力矩的功 从水平摆至垂直从水平摆至垂直 由由 得得 转轴对质心轴的位移转轴对质心轴的位移 代入得代入得 摆至垂