数学思想方法专题

1、数学思想方法专题数学思想方法专题 专题特点 数学思想方法是数学的精髓，是知识转化为能 力的桥梁，活用各种数学思想将能提高我们的 解题能力，常见的数学思想方法有：数形结合 思想、转化思想、函数与方程思想、分类讨论 思想、整体思想等，具体如下： 一、数形结合的思想方法 数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题 目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析， 又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与 直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结直观的图形结合起来，使抽象思

2、维与形象思维相结 合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分 析，达到更加完整、严密和准确。析，达到更加完整、严密和准确。 在解决数学问题的过程时要善于在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数由形思数，由数 思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的 问题利用图形直观的表示出来问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。，力图找到解题思路。 数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平 面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。面直角坐标系，数轴及其他数学概念

3、同时使用。 例题： 1：如图，在所给数轴上表示出实数：如图，在所给数轴上表示出实数3，1， 的点，并把这组数从小到大用的点，并把这组数从小到大用“”连接。连接。 2：(2009湖北）已知湖北）已知a0，b0，且，且ab，则（，则（ ） A ba B b C a D 2 bab 3、（、（2010烟台）关于烟台）关于x的不等式组的不等式组 无解，则无解，则a的取值范围是的取值范围是 。 521 0 x xa 4、（、（2008监利）某水电站的蓄水池有监利）某水电站的蓄水池有2个进水口和个进水口和1个出水口，每个出水口，每 个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时个进水口进水量与时间

4、的关系如图甲所示，出水口出水量与时 间的关系如图乙所示。已知某天间的关系如图乙所示。已知某天0点到点到6点进行机组试运行，试点进行机组试运行，试 机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图 丙所示。给出三个判断：丙所示。给出三个判断： （1）0点到点到3点，只进水不出水；点，只进水不出水； （2）3点到点到4点，不进水只出水；点，不进水只出水； （3）4点到点到6点，不进水不出水。则以上判断正确的是（点，不进水不出水。则以上判断正确的是（ ） A （1） B （2） C （2）（）（3） D （1）（）（2）（）（3） 5、已知

5、二次函数、已知二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，则的图象如图所示，则 在（在（1）a0,（2）b0（3）c0（4）b -4ac0中，中， 正确的判断是（正确的判断是（ ） A （1）（）（2）（）（3）（）（4） B （4） C（1）（）（2）（）（3） D（1）（）（4） 2 2 6、（、（2011云南）近年来，丽江市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海云南）近年来，丽江市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海 内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市20082010年旅年旅 客总人数和旅游业总收入的情况。根据统计图回答下列问题：客总人数和旅游业总收入的情况。

6、根据统计图回答下列问题： （1）2010年游客总人数为年游客总人数为 万人次，旅游业总收入为万人次，旅游业总收入为 万万 元。元。 （2）在）在2008年、年、2009年、年、2010年这三年中，旅游业总收入增长最年这三年中，旅游业总收入增长最 大的是大的是 年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率是年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率是 （精确到（精确到0.1%）。）。 （3）2010年的游客中，国内的游客为年的游客中，国内的游客为1200万人次，其余为海外游万人次，其余为海外游 客，国内游客的人均消费约为客，国内游客的人均消费约为700元，问海外游客的人均消费为元，问海外游客的

7、人均消费为 多少元多少元？ 20082010年游客总人数统计图 2009年2010年旅游业总收入统计图 5 7 8 12 7、如图是小张用火柴搭的1条、2条、3 条“金鱼”。则搭n条“金鱼”需要火柴 根。 二二 分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法 分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常 用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的 数学思想。分类讨论就是依据一定的标准，对问题进数学思想。分类讨论就是依据一定的标准，对问题进 行分类，求解，然后综合出问题的答案。行分类，求解，然后综合出问题的答案。 当

8、被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而 论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论， 得出各种不同情况下的相应结论。得出各种不同情况下的相应结论。 分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的， 不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。 分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体， 然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论， 获取阶段性结

9、果；归纳总结，综合得出结论。获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。 【例1】（2010南京）若 ， ，且ab0， 则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m。 【例3】若实数x满足 ，求 的值。 【例4】（2011武汉模拟）分式 的值为0，则 x=（ ） A 3 B 3或-3 C -3 D 0 1a 4b 2 2 11 0 xx xx 1 x x 2 2 9 43 x xx 例例5、（、（2009海南）黄金周期间，海口某商场购物有如海南）黄金周期间，海口某商场购物有如 下优惠方案：下优惠方案： （1）一）一 次性购物在次性购物在100元内（不含元内（不含100元）时，不

10、享受元）时，不享受 优惠；（优惠；（2）100元到元到300元（不含元（不含300元）时，一律享元）时，一律享 受受9折优惠；（折优惠；（3）300元以上时，享受元以上时，享受8折优惠。折优惠。 张伟在本商场分两次购物，分别付款张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和元和252元。如元。如 果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？ 例例6、 在直角梯形在直角梯形ABCD中，中，ADBC，C=90，BC=16， DC=12，AD=21，动点，动点P从从D出发，沿射线出发，沿射线DA的方向以每的方向以每 秒秒2个单位长度的速度运动，动点个单位长度的速度运

11、动，动点Q从点从点C出发，经线段出发，经线段CB 上以每秒上以每秒1个单位长度的速度向点个单位长度的速度向点B运动，点运动，点P、Q分别从分别从D、 C同时出发，当点同时出发，当点Q运动到点运动到点B时，点时，点P随之停止运动设运随之停止运动设运 动时间为动时间为 秒秒 （1）设）设BPQ的面积为的面积为S，求，求S与之间的函数关系式与之间的函数关系式 （2）当）当 为何值时，以为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等三点为项点的三角形是等 腰三角形？腰三角形？ t t 7、(2009模拟）如图，模拟）如图，RtPMN中，中，P=90， PM=PN，MN=8cm，矩形，矩形ABCD的长和宽

12、分的长和宽分 别为别为8cm和和2cm，点，点C和点和点M重合，重合，BC和和MN 在同一直线上，让在同一直线上，让RtPMN不动，矩形不动，矩形 ABCD沿沿MN所在的直线向右以每秒所在的直线向右以每秒1cm的速的速 度移动，直到点度移动，直到点C与点与点N重合为止。设移动重合为止。设移动x秒秒 后，矩形后，矩形ABCD与与RtPMN重叠部分的面积重叠部分的面积 为为y（cm ），求），求y与与x之间的函数关系。之间的函数关系。 2 三三 化归思想化归思想 “化归化归”就是转化和归结的简称。所谓化归就是就是转化和归结的简称。所谓化归就是 将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的将所要解

13、决的问题转化归结为另一个比较容易解决的 问题或已经解决的问题。具体说就是把问题或已经解决的问题。具体说就是把“新知识新知识”转转 化为化为“旧知识旧知识”，把，把“未知未知”转化为转化为“已知已知”，把，把 “复杂问题复杂问题”转化为转化为“简单问题简单问题”。如将分式方程转如将分式方程转 化为整式方程化为整式方程，将，将高次方程转化为低次方程，将二元高次方程转化为低次方程，将二元 转化为一元，将边形转化为三角形，将非对称图形转转化为一元，将边形转化为三角形，将非对称图形转 化为对称图形化为对称图形. 实现转化的方法通常有：实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方换元法，待定系数法，配方

14、 法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法等方法。 1、（、（2012一练）用配方法解方程：一练）用配方法解方程：x -4x-1=0 2、用换元法解方程：、用换元法解方程： 2 2 6 21 2 xx xx 2 3、已知：如图，直角梯形已知：如图，直角梯形ABCD中，中，AB是圆是圆O的直径，的直径， CD与圆相切与点与圆相切与点E，ADBC，BC=CD=4，BCD=60 求梯形的中位线长。求梯形的中位线长。 4、如图：公路、如图：公路MN和公路和公路PQ在点在点P处交汇，且处交汇，且 QPN=30，在点，在点A处有一所中学，处有一所中学，AP=1

15、60米，米， 假设拖拉机行驶时，周围假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的米以内会受到噪声的 影响，那么拖拉机在公路影响，那么拖拉机在公路NN上沿上沿PN方向行驶时，方向行驶时， 学校是否会受到影响学校是否会受到影响? 请说明理由；如果受影响，请说明理由；如果受影响， 已知拖拉机的速度为已知拖拉机的速度为18千米时，那么学校受影响千米时，那么学校受影响 的时间为多少秒的时间为多少秒? 5、（、（2009安顺）如图，安顺）如图，AB是半圆的直径，是半圆的直径，D是是 弧弧AB上的三等分点，若上的三等分点，若 O的半径为的半径为1，E为为 线段线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积上任意

16、一点，则图中阴影部分的面积 为为 。 四四 方程思想方程思想 所谓方程思想就是先分析问题中的未知元素（未所谓方程思想就是先分析问题中的未知元素（未 知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应个知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应个 数的方程，从而用解方程（组）的方法探求解题数的方程，从而用解方程（组）的方法探求解题 途径的思想。途径的思想。 解题过程通常是：解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确首先，从整体上分析题意，确 定未知量的个数；其次，适当选择一个或几个未定未知量的个数；其次，适当选择一个或几个未 知量用知量用x（或（或y, z）表示，并弄清它（它们）表示，并弄清它（它们） 与其

17、他未知量的关系；再根据题设中的条件，列与其他未知量的关系；再根据题设中的条件，列 出方程（组），并求解。出方程（组），并求解。 1、如图，一次函数、如图，一次函数y=kx+n的图象与的图象与x轴和轴和y轴轴 分别相交于点分别相交于点A(6，0)，B（0， ）线段）线段AB的的 垂直平分线交垂直平分线交x轴于点轴于点C，交，交AB于点于点D。 （1）试确定这个一次函数的解析式；）试确定这个一次函数的解析式； （2）求过）求过A，B，C三点的抛物线的函数关系式三点的抛物线的函数关系式。 2 3 2、已知某项工程由甲，乙两队共同完成需要、已知某项工程由甲，乙两队共同完成需要12 天，共需工程费用天，

18、共需工程费用13800元，乙队单独完成这元，乙队单独完成这 项工程所需的时间是甲队单独完成这项工程所项工程所需的时间是甲队单独完成这项工程所 需时间的需时间的2倍少倍少10天，且甲队每天的工程费用天，且甲队每天的工程费用 比乙队多比乙队多150元。元。 （1）求甲，乙两队单独完成这项工程分别需要）求甲，乙两队单独完成这项工程分别需要 多少天？多少天？ （2）若工程主管部门决定由这两个工程队之一）若工程主管部门决定由这两个工程队之一 单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑， 应选择哪家工程队？请说明理由。应选择哪家工程队？请说明理由。 3、如图，在河边有一

19、座小山，从山顶、如图，在河边有一座小山，从山顶A处测得处测得 河对岸观测点河对岸观测点C的俯角为的俯角为30，河岸观测点，河岸观测点D 的俯角为的俯角为45，河宽，河宽CD为为50米，现需从山顶米，现需从山顶 到河对岸到河对岸C点拉一条笔直的缆绳点拉一条笔直的缆绳AC，求所需，求所需 要的缆绳的长。要的缆绳的长。 4、（、（2011云南）如图，在四边形云南）如图，在四边形ABCD中，中，E 是是AB上一点，上一点，ECAD，DEBC，若，若 SBEC=1，SADE=3,则则SCDE=( ) A B C D 223 3 2 5、为了美化市区环境，打造美丽城市，某市决定对一湖泊为了美化市区环境，打

20、造美丽城市，某市决定对一湖泊 进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两 家公司提供信息如下：家公司提供信息如下： （1）若该湖泊首批需要清除的淤泥面积大约）若该湖泊首批需要清除的淤泥面积大约1.2万，平万，平 均厚度约均厚度约0.4m，那么请哪家公司费用比较节省？请说明，那么请哪家公司费用比较节省？请说明 理由。理由。 （2）若甲公司单独做了）若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了天，乙公司单独做了3天，恰好完天，恰好完 成清淤工作的一半；若甲公司先做成清淤工作的一半；若甲公司先做2天，剩下的由乙公司天，剩下的由乙公司 单独完成，则乙公司所

21、用的时间恰好比甲公司单独完成单独完成，则乙公司所用的时间恰好比甲公司单独完成 任务的时间多任务的时间多1天，则甲，乙两公司单独完成任务各需要天，则甲，乙两公司单独完成任务各需要 多少天？多少天？ 五五 函数思想函数思想 函数是初中以及今后学习的重要内容，利用函函数是初中以及今后学习的重要内容，利用函 数可以将两个或两个以上的量联系起来进行分析，数可以将两个或两个以上的量联系起来进行分析， 得到量与量之间的变化关系。得到量与量之间的变化关系。 函数思想是一种重要的数学思想方法，指用函函数思想是一种重要的数学思想方法，指用函 数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。数的概念和性质去分析问题，

22、转化问题和解决问题。 因此，函数思想的实质是用联系和变化的观点提出因此，函数思想的实质是用联系和变化的观点提出 研究对象，抽象其数量特征，建立函数关系。研究对象，抽象其数量特征，建立函数关系。 1、某学校有一段、某学校有一段25米长的旧围栏，（如图用米长的旧围栏，（如图用AB表示），现打算利表示），现打算利 用该围栏（或它的一部分）为一边，围成一块面积为用该围栏（或它的一部分）为一边，围成一块面积为100的长的长 方形草坪，如图，其中方形草坪，如图，其中CDCF。已知整修旧围栏的费用为每米。已知整修旧围栏的费用为每米 1.75元，建造新围栏的价格为每米元，建造新围栏的价格为每米4.5元，设利用

23、旧围栏元，设利用旧围栏CF的长的长 度为度为x米，修建草坪围栏的总费用为米，修建草坪围栏的总费用为y元。元。 （1）求出）求出y与与x之间的函数关系式。之间的函数关系式。 （2）若计划修建费用只有）若计划修建费用只有150元，则应利用旧围栏多少米？元，则应利用旧围栏多少米？ （3）若计划修建费用只有）若计划修建费用只有120元，能否完成该草坪的围栏修建任务？元，能否完成该草坪的围栏修建任务？ 请说明理由请说明理由 2、长春市华夏汽车租赁公司有长春市华夏汽车租赁公司有30辆出租车，其中甲型辆出租车，其中甲型20 辆，乙型辆，乙型10辆。现将这辆。现将这30辆汽车租赁给辆汽车租赁给A、B两地旅游两

24、地旅游 公司，其中公司，其中20辆派往辆派往A地，地，10辆派往辆派往B地，两地旅游公地，两地旅游公 司与汽车租赁公司商定每天的价格如下：司与汽车租赁公司商定每天的价格如下： （1）设派往）设派往A地的乙型汽车地的乙型汽车x辆，租赁公司这辆，租赁公司这30辆车一天辆车一天 工获得租金工获得租金y元，求元，求y与与x之间的函数关系式，并写出自之间的函数关系式，并写出自 变量变量x的取值范围。的取值范围。 （2）若要使租赁公司的这）若要使租赁公司的这30辆汽车一天获得的总租金不辆汽车一天获得的总租金不 少于少于2680元，请你说明有多少种分派方案？并将各种元，请你说明有多少种分派方案？并将各种 分

25、派方案设计出来。分派方案设计出来。 （3）如果要使这）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为辆汽车每天获得的租金最多，请你为 租赁公司提供合理的分派方案。租赁公司提供合理的分派方案。 3、（2009青海）如图，ABC中，AB=AC=5， BC=6，矩形DEFG的顶点D在AB上，E，F在BC上， G在AC上。 （1）设BE=x， ，求y与x的函数关系式和 自变量x的取值范围。 （2）连接EG，当x取何值时，EGAB？并求出此时 四边形DEFG的面积。 DEFG Sy 四边形 4、在十一黄金周期间，小明和他的父母坐游船从甲地到在十一黄金周期间，小明和他的父母坐游船从甲地到 乙地观光，在售票

26、大厅看到表（一），爸爸对小明说：乙地观光，在售票大厅看到表（一），爸爸对小明说： “我来考考你，你知道里程与票价之间的关系吗？我来考考你，你知道里程与票价之间的关系吗？” 小明说：小明说：“知道，里程与票价是一次函数关系，具体知道，里程与票价是一次函数关系，具体 是是” 在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说： “若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的 速度和水流速度。速度和水流速度。”爸爸说：爸爸说：“真聪明。真聪明。”你知道小你知道小 明是怎么求出来的吗？你也来试试。明是怎么求出来的吗

27、？你也来试试。 （1）票价）票价y(元元)与里程与里程x（千米）之间的函数关系式；（千米）之间的函数关系式； （2）游船在静水中的速度和水流速度。）游船在静水中的速度和水流速度。 5、一天上午、一天上午6点钟，王老师从学校出发去市里开会，点钟，王老师从学校出发去市里开会，8点准点准 时到达会场，中午时到达会场，中午12点回到学校，他这一段时间内的行程点回到学校，他这一段时间内的行程 s(km)(即离开学校的距离即离开学校的距离)与时间与时间t（h）之间的关系如图，）之间的关系如图， 根据图表提供的相关信息解答下列问题。根据图表提供的相关信息解答下列问题。 （1）开会的地点离学校多远？）开会的地点离学校多远？ （2）求出王老师在返校途中路程）求出王老师在返校途中路程s（k