子空间的直和[特制材料]

1、1课程知识 2课程知识 引入引入 有有两种情形：两种情形： 由维数公式由维数公式设设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，的两个子空间， 12 ,V V 121212 dimdimdim()dim()VVVVVV 1212 1) dim()dimdimVVVV 此时此时 12 dim()0,VV 即，必含非零向量即，必含非零向量. 12 VV 3课程知识 情形情形2）是子空间的和的一种特殊情况）是子空间的和的一种特殊情况 直和直和 1212 2) dim()dimdimVVVV 此时此时 12 dim()0,VV 不含非零向量，即不含非零向量，即 12 VV 12 0VV 4课程知识 设设 为

2、线性空间为线性空间V的两个子空间，若和的两个子空间，若和 12 ,V V 12 VV 12112 ,VV 是唯一的，和就称为是唯一的，和就称为直和（直和（direct sum）， 12 VV 若有若有 , 1212111222 ,VV 则则 1122 ,. 1.分解式分解式 唯一的，意即唯一的，意即 12 中每个向量的分解式中每个向量的分解式 12 .VV 记作记作 5课程知识 2.2.分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，例如，R3的子空间的子空间 11222333 (,),(,),()VLVLVL 123 (1,0,0),(0,1

3、,0),(0,0,1)这里，这里， 在和中，向量的分解式不唯一在和中，向量的分解式不唯一. 12 VV 所以和所以和 不是直和，不是直和， 12 VV 而在和中，向量而在和中，向量 的分解式是唯一的，的分解式是唯一的， 13 VV 是直和是直和. 13 VV 6课程知识 分解式唯一，分解式唯一， 121122 0,VV 1、和是直和的充要条件是零向量和是直和的充要条件是零向量 12 VV ，则必有，则必有 12 0. 121122 0,VV若若 证：证：. 12 VV 是直和是直和, 12 0,0. 而而0有分解式有分解式 0=00,0=00, 即若即若 7课程知识 . 故故 是直和是直和.

4、12 VV , 1212111222 ,VV 有有 1122 0,0. 其中其中 111222 ,VV 于是于是 1122 ()()0 由零向量分解成唯一，由零向量分解成唯一， 即即 1122 , 的分解式唯一的分解式唯一. 8课程知识 2、和是直和和是直和 12 VV 12 0VV . . 则有则有 1212 0VV 12 0, 即即 12 VV 是直和是直和. 证：证：“” 若若 121122 0,.VV 9课程知识 “” 由于是直和，零向量分解式唯一，由于是直和，零向量分解式唯一， 12 VV 0. 故故 12 0 .VV 任取任取 12, VV .,),(0 21 VV 10课程知识

5、证：证：由维数公式由维数公式 3、和是直和和是直和 12 VV 1212 dim()dimdimVVVV 121212 dimdimdim()dim()VVVVVV 有，有， 1212 dim()dimdimVVVV 12 dim()0VV 12 0VV 12 VV是直和是直和. （由（由2、得之）得之） 11课程知识 ，设为线性空间，设为线性空间V V的子空间，的子空间， 12 ,V V 则下面则下面四个条件等价四个条件等价: （2）零向量分解式唯一零向量分解式唯一 （1）是直和）是直和 12 VV （3） 12 0VV （4） 1212 dim()dimdimVVVV 12课程知识 4、设

6、设U是线性空间是线性空间V的一个子空间，的一个子空间， 为为U的一个的一个. 则必存在一个子空间则必存在一个子空间W，使，使 称这样的称这样的W .VUW 证：证：取取U的一组基的一组基 , 12m 把它扩充为把它扩充为V的一组基的一组基, 121mmn , 12 (), mmn WL 令令 则则 .VUW 13课程知识 余子空间余子空间 一般不是唯一的一般不是唯一的( (除非除非U是平凡子空间是平凡子空间) ). 如，在如，在R3中，设中，设 121122 (,),(),(),ULWLWL 令令 1212 (1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1) 3 1212 ,RUW

7、UWWW 则则 但但 14课程知识 5、设设 分别是分别是线性子空间线性子空间; 1212 , rs 12 ,V V的一组基，则的一组基，则 是直和是直和 12 VV 1212 , rs 线性无关线性无关. 证：证： 由题设，由题设， , 1121 (,), dim r VLVr 2122 (,), dim s VLVs , 121212 (,). rs VVL 15课程知识 若线性无关，若线性无关， 1212 , rs 则它是则它是 的一组基的一组基. 12 VV 从而有从而有 “” 1212 dim()dimdimVVrsVV 是直和是直和. . 12 VV 16课程知识 若若 直和，则直

8、和，则 12 VV 1212 dim()dimdimVVVVrs 从而的秩为从而的秩为rs . . 1212 , rs 所以线性无关所以线性无关. 1212 , rs “” 17课程知识 中每个向量的分解式中每个向量的分解式 12 1 s is i VVVV 都是线性空间都是线性空间V的子空间，若和的子空间，若和 12 , s V VV 是唯一的，则和就称为直和，记作是唯一的，则和就称为直和，记作 1 s i i V 12s VVV , 12 1,2, sii V is 18课程知识 四个条件等价四个条件等价: （2）零向量分解式唯一，即零向量分解式唯一，即 （3） 0 ,1,2, ij j

9、i VVis （4） 1 dimdim s i i WV 设都是线性空间设都是线性空间V V的子空间，则下面的子空间，则下面 12 , s V VV （1）是直和）是直和 1 s i i WV 0,1,2, i is 必必有有, 12 0, sii V 19课程知识 例例1 1 每一个每一个n维线性空间都可以表示成维线性空间都可以表示成n个一维个一维 子空间的直和子空间的直和. 证：证：设是设是n维线性空间维线性空间V的一组基的一组基, , 12 , n 则则 , 12 (,) n VL 12 ()()() n LLL 而而 dim ( )1,1,2, i Lin 1 dim ()dim s

10、i i LnV 故故 12 ()()(). n VLLL 得证得证. . 20课程知识 例例2 2 已知，设已知，设 n n AP , 12 ,0 nn VAX XPVX XPAX （2）当）当 时，时， 12 . n PVV 2 AA 证明：证明： （1） 12 VV、 n P 的子空间的子空间.是是 21课程知识 证：证：（1） 1 00,0AV 任取任取有有 1 ,AAVkP 11 (),()().AAAVk AA kV 是是 的子空间的子空间. n P 1 V 22课程知识 2 00,0AV 0,0,AA又对又对 2 ,VkP 有有 从而有从而有 ()000AAA ()00A kkAk 22 ,VkV 故故 是是 的子空间的子空间. n P 2 V 23课程知识 又又 12 . n PVV （2）先证）先证 任取任取,(), n PAA有有 2 ()0AAAAAA 2. AV 12. n PVV 12. VV 于于是是有有 其中其中 1, AV