线性代数总结汇编

1、 由此得向量组由此得向量组 的秩为的秩为2 2，且，且 是一个是一个 极大无关组。于是，生成子空间极大无关组。于是，生成子空间 的维的维 数是数是2 2，且，且 是它的一个基。是它的一个基。 321 , 21, ),( 321 L 21, 构造向量构造向量 ，由于，由于 )1 , 0 , 0 , 0( ),0 , 1 , 0 , 0( 54 , 1 011 0 010 0 112 0 011 1 000 0 100 0 010 0 011 5421 逆逆向向行行 线性无关，即可作为线性无关，即可作为 R R4 4 的一个基。的一个基。 5421 , )1 , 0 , 0 , 0(),0 , 0

2、 , 1 , 0( 54 因此，只需取因此，只需取 ，则，则 例例3.2.73.2.7 已知已知 R R3 3 中的三个向量中的三个向量 )0 , 0 , 1(),0 , 1 , 1(),1 , 1 , 1( 321 （1）证明：）证明： 是是 R R3 3 的一个基；的一个基； 321 , （2）求向量）求向量 关于基关于基 的坐标的坐标 )3 , 2 , 1( 321 , 解解 （1） 只须证只须证 线性无关；线性无关； 321 , （2） 设设 332211 xxx 把把 均表示为列向量，则有均表示为列向量，则有 321 , , , 3 2 1 321 x x x 3 2 1 001 0

3、11 111 3 2 1 x x x 1 1 3 3 2 1 001 011 111 1 3 2 1 x x x 故故 关于基关于基 的坐标为的坐标为 （3, 3, - -1, 1, - -1 1）。）。 321 , 称上面两式为称上面两式为基基 到基到基 的的基基 变换公式变换公式。 n , 21 n , 21 称称 A A 为为由基由基 到基到基 的的过渡过渡 矩阵矩阵。 n , 21 n , 21 可记为可记为 A nn , 2121 nnnnnn nn nn aaa aaa aaa 2211 22221122 12211111 定理定理3.4.23.4.2( (3.2.33.2.3)

4、) 设设 V V 是是 n n 维线性空间，维线性空间， 与与 是是 V V 的两个基，的两个基，A A 是是 到到 的过渡矩阵。任取的过渡矩阵。任取 V V, , 设设 关于基关于基 和基和基 的坐标分的坐标分 别为别为 和和 则则 n , 21 n , 21 n , 21 n , 21 n , 21 n , 21 ),( 21n xxx ),( 21n yyy nn x x x A y y y 2 1 12 1 上式称为上式称为由由 到到 的的坐标变换坐标变换 公式公式。 n , 21 n , 21 定义定义3.6.43.6.4 设设 是数域是数域F F上的线性空间上的线性空间V V的的

5、一个变换。如果对任意的一个变换。如果对任意的 均有均有 (3.6.1)(3.6.1) 那么就称那么就称 是是V V的一个的一个线性变换线性变换。 ,FkV )()( , kk (3.6.2)()( )( )klkl 是线性变换的充要条件为是线性变换的充要条件为 例例3.6.53.6.5 变换变换 是是 的一个线性变换。的一个线性变换。 x a baCxfdttfxf,)(,)()( ,baC 例例3.6.43.6.4 求导变换求导变换D D: : )(),()(xFxfxfxfD 是是 的一个线性变换。的一个线性变换。 F x 证明证明 设设 ，则，则 , , ,f xg xC a bkR 4

6、 43 3 行列式的性质行列式的性质 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. . T DD nn a a a 22 11 n n a aa 2 112 21 21 nn aa a D 2 121 n n a aa nn a a a 22 11 T D nn aa a 21 12 性质性质1 1 将行列式的各行变成相应的各列，行列将行列式的各行变成相应的各列，行列 式的值不变，即式的值不变，即 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,因此行因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. . = = 性

7、质性质2 2 对调行列式的任意两行（列），其值反对调行列式的任意两行（列），其值反 号号, , 即即 11121 12 n nnnn aaa aaa 11121 12 n nnnn aaa aaa 12 iiin aaa 12 kkkn aaa 12 kkkn aaa 12 iiin aaa 例如例如 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零此行列式为零. . , 571571 266 853 . 8 2 5 8 2 5 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 266 853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所

8、有的元素都 乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. . kk nnnn inii n aaa kakaka aaa 21 21 11211 nnnn inii n aaa aaa aaa k 21 21 11211 推论推论1 1 行列式中某一行（列）的公因子可以提行列式中某一行（列）的公因子可以提 出来。出来。 推论推论2 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，若行列式中某一行（列）的元素全为零， 则该行列式等于零。则该行列式等于零。 推论推论3 3 若行列式中某两行（列）成比例，则该若行列式中某两行（列）成比例，则该 行列式等于零。行列式等于零。 问题问题 对

9、方阵对方阵A A， | |kAkA| | 与与 | |A A| | 有什么关系？有什么关系？ 性质性质4 4 若行列式中某行（列）的所有元素都可若行列式中某行（列）的所有元素都可 以表示为两项之和，则该行列式可表示为两个行以表示为两项之和，则该行列式可表示为两个行 列式之和，即列式之和，即 12sssn ccc 11112 12 n nnnn aaa aaa 12sssn bbb 性质性质5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数同一数k k然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，对应的元素上去， 行列式不变行列式不变 njnjnin

10、 jji nji aaaa aaaa aaaa 1 22221 11111 111111 212222 1 () () () ijjn ijjj ij nninjnjnj aakaaa aakaaa RkR aakaaa k 其中其中 为方阵。为方阵。), 2 , 1(siA i s s AAA A A A 21 2 1 由数学归纳法可以证明，由数学归纳法可以证明，上述上述结论可推广到结论可推广到 一般的准上（下）三角阵的情形。特别地，有一般的准上（下）三角阵的情形。特别地，有 定理定理 设设A A、B B是是n n阶方阵，则阶方阵，则 |BAAB 推论推论1 1 设设A A是是n n 阶可逆

11、方阵，则阶可逆方阵，则 | 1 | 11 A AA 推论推论2 2 设设A A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 1| A *1 1 A A A 其中其中 A A* * 为为 A A 的伴随矩阵的伴随矩阵。 定理定理4 45 55 5 方阵方阵 A A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 | | A A | | 0 0， 且当且当 A A 可逆时，可逆时， 线性变换在不同基下的矩阵 ,;, 2121nn 定理定理3.6.53.6.5 在线性空间在线性空间 中取定两组基中取定两组基 n V 由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为P P。 设设 中的线性变换中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为A A 和和 B B，那末，那末 n , 21 n , 21 n V 1 BPAP 定理定理 设设 是是n阶方阵，阶方阵， 是是 A的的n个特征值，则个特征值，则 nnij aA n , 21 （1 1） )( 221121 Atraaa nnn （2 2） | 21 A n 推论推论（1 1） )()(BtrAtrBA （2 2）可逆矩阵没有零特征值。）可逆矩阵没有零特征值。 n i ii a 1 注注 矩阵矩阵 A 的主对角线上的所有元素之和的主对角线上的所有元素之和 称为称为矩阵矩阵A的迹的迹，记作记作 t r (A)。 TTT