数学文化十一PPT学习教案

1、会计学1 数学文化十一数学文化十一 2 2 第1页/共93页 3 构成的是有理数系，有理数系需构成的是有理数系，有理数系需 要扩充，需要扩充，需 要添加无理数。要添加无理数。 2 2 第2页/共93页 4 2 当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危 机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比” 的新说法，回避了 是无理数的实质，而是用几 何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几 何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧 几里得的几何原本中也采用了这一说法，以致 在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密 数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数 理论的建立。 第3页

2、/共93页 5 第4页/共93页 6 第5页/共93页 7 t)(tS 2 2 1 )(gttSg 0 t t S 22 1010 222 000 11 ( )( ) 22 11 ()2() 22 SS tS tgtgt g tttgttt 0 1 () 2 S gtgt t 第6页/共93页 8 t )( 2 1 tg 0 gt 0 t 第7页/共93页 9 第8页/共93页 10 0 1 () 2 S gtgt t 如果是0，上式左端当 成无穷小后分母为0， 就没有意义了。如果不是0，上式右端的 就不 能任意去掉。 t 1 () 2 gt 在推出上式时，假定了 才能做除法，所以 上式的成立

3、是以 为前提的。那么，为什么又 可以让 而求得瞬时速度呢？ 因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以0，得出5=3一样 的荒谬。 0t 0t 0t 0305 （*） 第9页/共93页 11 St 第10页/共93页 12 第11页/共93页 13 第12页/共93页 14 2 第13页/共93页 15 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷 小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说 法本身就是不明确的，是含糊的。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最 终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比 例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比” ，而是“比所趋近的极限”

4、。 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但 并没有明确说清这个词的意思。 第14页/共93页 16 微积分学的基础。微积分学的基础。 第15页/共93页 17 牛顿 莱布尼茨 第16页/共93页 18 第17页/共93页 19 第18页/共93页 20 第19页/共93页 21 第20页/共93页 22 第21页/共93页 23 与我们现在教科书上的差不太多与我们现在教科书上的差不太多 了。了。 第22页/共93页 24 柯西 波尔查诺 第23页/共93页 25 想象的要深奥得多。想象的要深奥得多。 第24页/共93页 26 一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉斯 （K.T.W.Weir

5、strass，18151897）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数”。 “连续函数”在直观上是“函数曲线没有间断 ，连在一起”，而“函数在一点可导”直观上是“ 函数曲线在该点有切线”。所以，在直观上“连续 ”与“可导”有密切的联系。 这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都 可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会 有“点点连续而点点不可导的函数”。 第25页/共93页 27 第26页/共93页 28 0 ( )cos() nn n f xbax ) 1 , 0(b 2 3 1ab a 第27页/共93页 29 另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866）发现，柯

6、西把定积分限制于连续函数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。 黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。 第28页/共93页 30 第29页/共93页 31 第30页/共93页 32 第31页/共93页 33 柯西的贡献 第32页/共93页 34 魏尔斯特拉斯的规划 第33页/共93页 35 魏尔斯特拉斯的规划 第34页/共93页 36 魏尔斯特拉斯的规划 建立分析基础的逻辑顺序是建立分析基础的逻辑顺序是 实数系实数系极限论极限论微积分。微积分。 第35页/共93页 37 在极限运算下不封闭。在极限运算下不封闭。 第36页/共9

7、3页 38 从有理数谈起 1111 1 (1,2,) 1!2!3! . n n n S Sn n S 例例 有有理理数数序序列列 可可证证的的极极限限不不是是有有理理数数 第37页/共93页 39 戴德金分割 第38页/共93页 40 戴德金分割 3)3) 类中也没有最大数。类中也没有最大数。 第39页/共93页 41 戴德金分割 第40页/共93页 42 实数的性质 第41页/共93页 43 实数集合的有序化 间必有下列三种关系之一：间必有下列三种关系之一： 和 , , 其次,蕴含 第42页/共93页 44 实数集合的有序化 在两个同样的有理数中间：在两个同样的有理数中间： 和 和 , 与

8、, ,. sas ss sse 其中则数 与 一定相等 第43页/共93页 45 实数集合的连续性 定理。定理。 第44页/共93页 46 确界存在定理 我们就称我们就称E E为为无界集无界集 xE ,xMMxM或 0 xE 0 xM 第45页/共93页 47 确界存在定理 xE ()xKxk或 第46页/共93页 48 确界存在定理 0 00 ,(): 1),(); 2)0, (),() (). AMm xA xMxm xA MxxmMm A 考虑数集如果常数或具有下列性质 对于所有的或者 不管是多么小的数 总可以找到 使得或者那么就称数或 是数集 的上确界 或者下确界 第47页/共93页

9、49 确界存在定理 第48页/共93页 50 根的存在性 00, n nm aNm nN aa 收敛的使当时 有 123 :, , , , . n a b a b 有限覆盖定理 或有闭区间由开区间的 无限集合覆盖 则从中可以取出有限 子集也覆盖 第49页/共93页 51 第50页/共93页 52 第51页/共93页 53 （这些这些对应的函数对应的函数 值值 与与的差小于预先给定的任意小的差小于预先给定的任意小 的的 ）我们就）我们就 说说“函数函数在在趋近于趋近于时，有时，有 极限极限” 。 记为记为。 1 x )(xf 1 x ,0a 0 |0 1 xx | 1 xx 1 x x x a

10、|)(|axf)(xf )(xfxa axf xx )(lim 1 第52页/共93页 54 等等。等等。 由此再建立严格的微积分理论。由此再建立严格的微积分理论。 第53页/共93页 55 )0)( 2 1 0 ttggt t S 0t 01 tt t)( 2 1 0 tggt 0 tt 0 t t S t 0 lim 第54页/共93页 56 0t )( 2 1 (lim 0 0 tggt t )( 2 1 limlim)( 2 1 (lim 0 0 0 0 0 tggttggt ttt 00 0gtgt 第55页/共93页 57 0t t 第56页/共93页 58 总之，第二次数学危机的

11、核心是微积分的基础不稳 固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基 础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数 系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的 基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础 的“逻辑顺序”是： 实数理论极限理论微积分。 而“历史顺序”则正好相反。 第57页/共93页 59 第58页/共93页 60 第59页/共93页 61 第60页/共93页 62 达到了！达到了！” 第61页/共93页 63 图形图形 () n m 取极限 1 1 ba 解析几何 第62页/共93页 64 第63页/共93页 65 弗雷格算术基础 第64页/共93页 66 第65页/共93页

12、 67 也是一个也是一个 空集。空集。 2 10 x 第66页/共93页 68 即，即，0是一个元素了。由它再作是一个元素了。由它再作 成一个集合成一个集合0，则不是空集了。，则不是空集了。 第67页/共93页 69 AB 可逆映射 第68页/共93页 70 ， ， 集合作成的类，叫：集合作成的类，叫：3。 第69页/共93页 71 这种定义概念的方法，叫作这种定义概念的方法，叫作 “归纳定归纳定 义义”的方法。的方法。 第70页/共93页 72 说，说，全部数学可以建立在集合论全部数学可以建立在集合论 的基础上的基础上 了。了。 第71页/共93页 73 的数学的数学 已经建立起来！已经建立

13、起来！”之后刚刚两年，之后刚刚两年， 即即1902 年。年。 第72页/共93页 74 罗素 第73页/共93页 75 第74页/共93页 76 时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，基础崩塌了。当本书即将印刷 时，罗时，罗 素先生的一封信就使我陷入这样的素先生的一封信就使我陷入这样的 尴尬境尴尬境 地。地。” 第75页/共93页 77 两者必居其一。罗素把前者称为两者必居其一。罗素把前者称为 “异常集异常集 合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。 第76页/共93页 78 例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。 即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合” 。但是，所有人的

14、集合，不是人，即，它不是这一集 合本身的元素，所以是“正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即， 它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但 是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合 本身的元素，所以是“正常集合”。 第77页/共93页 79 第78页/共93页 80 居其一，且居其一，且 只居其一。然后问：集合只居其一。然后问：集合是否是否 是它本身的是它本身的 成员？（集合成员？（集合是否是异常集是否是异常集 合？）合？） M M N N N N 第79页/共93页 81 是它本身的成员，这又与假设矛是它本身的成员，这又与假设矛 盾。即盾。即 悖论在于：悖论在于：无

15、论哪一种情况，无论哪一种情况， 都得出矛盾。都得出矛盾。 NMN NMNN NNNMNN NM N N N M N ()NNNNNM 第80页/共93页 82 罗素悖论的通俗化“理发师悖论”：某村的 一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸 的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？ 如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的 人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这 与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不 给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己 刮脸，这又与假设矛盾。 第81页/共93页 83 4 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学 家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选 择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基 础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论， 探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同 时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。 第82页/共93页 84 第83页/共93页 85 、 的集合的集合”这这 样的集合。样的集合。 第