数学-中学不等式的解法及其应用

1、摘要随着知识经济时代的到来，教育迎来了新的挑战，教育要把传授基础知识和逐步培养学生的创新意识和创造性思维结合起来，创造良好的教学环境，有意识的培养学生的创新意识，激发学生的创造动机，发展学生的创新能力。不等式是数学基础理论的重要部分。不等式是刻画现实世界和日常生活、生产和科学研究中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量关系和进一步学习数学的必备知识。本文着重介绍中学数学中了常用不等式的应用，分别从柯西不得事、拉格朗日中值定理、均值不等式以及Grownwall不等式入手，而后举出不同的实例进行运用证明。不等式的证明不仅锻炼同学们的思维，加深对知识的记忆和的理解，对学习知识点的进

2、一步的掌握，并且为其后来灵活应用打下了良好的基础，并为现阶段建立与数学知识体系，通过各种渠道建立联系的思想埋下伏笔。关键词：不等关系，不等式证明，体系AbstractWith the advented era of knowledge economy , education and ushered in a new challenge , education should teach the basics and gradually develop students awareness of innovation and creative which combined to create a

3、good learning environment , students have a sense of awareness of innovation , stimulate students create motivation, develop students ability to innovate. Inequality is an important part of the mathematical foundations theory . Inequality is portrayed in the real world and everyday life , , reflecti

4、ng the difference in the amount of things , which is to study the relationship between the number and the necessary knowledge to the further learning mathematics . This article focuses on the application of commonly which used mathematical inequalities , respectively, from the Cauchy Inequality , La

5、grange theorem , Grownwall Inequality, then cited various examples using proven . Proof of inequality not only exercise the students thinking, deepen their knowledge and understanding of memory , its flexible application later laid a good foundation and establish systems for the stage with the mathe

6、matical knowledge , establish contact through various channels ideas foreshadowed.Keywords: unequal relationship. Inequality Proof, systems目录数学中常用不等式及其应用41.前言42.研究背景及研究意义42.1 不等式研究背景42.2 研究意义53.高等数学常用不等式举例介绍63.1柯西不等式63.2拉格朗日中值定理73.3均值不等式104.数学中不等式的中的应用114.1 构造条件不等式对命题进行证明114.2 利用微分中值定理进行不等式命题的证明135.

7、总结17参考文献19数学中常用不等式及其应用1.前言正所谓“问渠那得清如许。为有源头活水来”。 不等式是数学基础理论的重要部分。不等式是刻画现实世界和日常生活、生产和科学研究中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量关系和进一步学习数学的必备知识。此外，不等式在数学中占有举足轻重的地位，是学习数学及其他学科的基础知识。2.研究背景及研究意义2.1 不等式研究背景继义务教育阶段课程改革的全面推进，我国高中规定了高中数学教学的课程目标设置大纲。目前，高中数学课程改革己经得到了普遍实施和开展，我们知道，新课程改革的核心环节是课程实施，而课程实施的基本方式是教学，那么如何将新课程的理念

8、和构想落实到实处，这是需要通过实际的课堂教学来完成的。高中数学课程改革对教学提出了以下新的要求：数学教学要以学生为本，以学生的发展为本，应当指导学生根据自己的实际情况和兴趣爱好来合理地选择课程和制定学习计划；高中数学教学要打好学生的知识基础，注重发展能力；高中数学教学要注重联系，提高数学整体的认识；高中数学教学中要关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成；数学教学应改善教与学的方式，使高中学生主动地学习。不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系，体现出了“工具”的作用。如研究函数的定义域时常用到分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数的真数大于0等不等关系；求函数定义域、值域（

9、最值）、单调性；讨论方程根与系数的关系；数列的项的最值与前n项和的最值；讨论方程与方程组的解的情况，在一元二次求根公式的教学中，用判别式的符号判断方程的根的存在情况；求空间线线、线面、面面间的距离及夹角的范围；概率的范围等等。可以看出，不等式与集合、充要条件、函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何、实际问题都有知识交汇处，在相关的数学领域中有着广泛的应用。在不等式学习过程中，可以体现出数学思想及素养的培养。数学思想不仅在学生形成良好认知结构的过程中起着桥梁作用，在将基础知识转化为能力和技能的过程中也发挥着重要作用，它是培养学生的数学思维意识和形成好的数学思维素质的关键所在。不等式的相关

10、教学内容涉及到数形结合、分类转化、函数与方程、转化等数学思想。例如：通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，能够培养学生的动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养简约直观的思维方法和良好的思维品质，进而渗透抽象与具体、联系与转化等辩证唯物主义的观点和方法；二元一次不等式（组）与平面区域，揭示出了不等式的几何意义，使学生对不等式的认识有了质的飞跃，同时，极有利于发展学生对集合思想，数形结合思想在思维层面上的提升，进一步促使学习者在思维的深层面上主动完成对函数、方程、不等式形成有机的数学知识网络的构建；线性规划问题开拓了不等式的实际运用的领域。本文希望通过对高

11、中数学不等式的教学进行研究，结合相关数学教育理论，针对不等式各部分教学内容和知识点提出有效的教学策略，改进不等式课堂教学，提高学生的学习效率和教师的教学效果，对进行高中不等式教学的教师提供一定的参考作用。使得通过不等式基础知识的学习和基本技能的训练，学生的逻辑推理等思维能力以及分析解决问题的综合能力能够得以培养和提升。2.2 研究意义教学策略是当前教学研究的一个重要问题，它无论是对教学理论研究的深化，还是对教学实践的变革都有重要价值。教学策略可以帮助我们从整体上综合地认识和探讨教学过程中各种因素间的相互作用，有利于从动态上把握教学过程的本质和规律。不等式教学策略的研究，有助于促进不等式教学法的

12、丰富与发展，有助于教师理论与实践相结合，使教师形成自己的教学风格。教学策略既是教学过程理论体系的具体化，又是建立在教学经验的基础上的，既具体、明了、可操作性强，又具有概括、完整和系统性，便于理解和掌握，有利于提高教学质量。以期改进不等式课堂教学，提高学生的学习效率和教师的教学效果，对进行高中不等式教学的教师提供一定的参考作用，减少不等式教学中的困惑。使得通过不等式基础知识的学习和基本技能的训练，学生的逻辑推理等思维能力能力以及分析解决问题的综合能力能够得以培养和提升。3.高中数学常用不等式举例介绍3.1考查不等式的性质（1）以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有

13、关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题。例 1 不等式的解集是（ ）6 解 不等式。画数轴易得原不等式的解集为 选 C。点评 本题主要考查分式不等式和高次不等式的解法， 考查数形结合思想。此类题型考查难度都不大，属于中低档题，学生在解题时要注意分母不能为零，这时分式不等式成立的必要条件。不等式的解法在每年的高考中几乎都会涉及，在选择题中将集合运算与解不等式结合考查是高考常见题型，一般是以分式不等式、 指数不等式、 对数不等式和绝对值不等式为主。（2）以简易逻辑为背景的不等式以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知

14、识来解决问题。例2 （2008年浙江卷）知是实数,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解答：若,则根据实数运算的法则, ; ,由,则同号,若均为负,则,与矛盾,故均为正,故选C。点评 本题主要考查充要条件的问题,同时还考查了逻辑联结词“且”的意义。此类题型考查难度不大，但要求学生有较好逻辑思维分析能力，要求学生能够全面深刻的理解“或”、“且”的意义，并能够区分哪个是条件，哪个是问题。（3）以比较大小为背景的不等式涉及大小比较的试题常常与函数的性质相结合,与数形结合、分类讨论等数学思想方法有机渗透,重点考查学生基础知识掌握的牢固程

15、度。例3(2012年高考全国卷)已知,则()。(A) (B) (C) (D) 解析本题的实质就是要比较与0,1以及2的大小关系。,由对数函数的图像和单调性知:,故应选D。点评这是一道以对数函数为背景的比较大小问题,在考查不等式的基本性质的同时,考查了对数函数单调性的应用.画出对数函数的图像,使问题的求解更加容易，本体主要考查了学生对函数单调性的理解，和考查了数形结合的思想。（4）以恒等为背景的不等式 以恒等为背景的不等式，主要运用均值不等式来解题，关键是注意取等号的条件。例4 （2014年江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）（A）（B）（C）（D）解 运用排除法

16、，C选项，当a-b0时不成立。点评本题主要考查不等式恒成立的条件，和均值不等式成立的条件。由于给出的是不完全条件，必须结合选项，才能得出正确的结论。运用公式时一定要注意公式成立的条件,如果。如果a,b是正数，那么。（3）以线性规划形式出现的不等式以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力。这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解。例 5 (2009年山东卷)设x,y满足约束条件若目标函数满足 的最大值是12，则的最小值为（ ） 解点(x,y)所满足的可行域如上图中阴影部分所示,根据目标函数所表示直线的斜率为负值,可知目标函数只有在点A处取得最大值,故实数a,b满足故。

17、当且仅当a =b时取等。故选A。点评 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题。要求能准确地画出不等式组表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值。对于形如已知。求的最小值问题,常常是先用乘积化简，进而用基本不等式解答。此类题主要考查了考生分析问题、解决问题的能力。3.2考查不等式的证明不等式证明是数学学习中一个非常重要的内容，它渗透到数学的各个分支， 以函数为载体，综合不等式构筑成知识网络型不等式证明问题，这类型试题在高考试题中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位，同时证明难度历来比较大,也是高考的难点之一。近年来单独考查不等式证明的题型正逐渐被淡化，取而代之的是考查它与

18、函数、数列、导数、三角、解析几何等知识交汇的题型。由于此类问题的求解目标与已知条件之间的跨度大，且题型新颖、综合性强、解法灵活、思维抽象，而学生平时练习题与试题差距较大,学生要有较强的逻辑思维能力及较高的数学素质才能取得较高的分数。 (1) 与函数知识结合的不等式与函数知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题。例 6 设二次函数方程的两根（1）当（2）设函数的图象关于直线对称，证明：证明：（1）令 由当，又又由。综上所述，当（2）显然的对称轴为，由题意可知，即方程的根，由韦达定理得：。因故有。点评 本题是一典型的有关二次函数、二次方程、二次不等式的综合证明

19、题。(1)中解题的总体思路是比较法；借助二次方程的根，表达出二次函数解析式，判断符号，得出证明。(2)中也是根据二次函数性质与韦达定理，巧妙地表示出相关的量，并证明。解题过程体现了等价转换、函数与方程等重要的数学思想。例 7（2004吉林卷）已知函数（1）求函数的最大值（2）设，证明：解 （1）函数的定义域为，令，解得，当时，；当时，；又，故当且仅当时，取得最大值为0。（2）设，由，得，则。当时，故在上面是减函数；当时，故在上面是增函数；综上，当，有极小值，因为，所以，即。设，则，当时，故在上面是减函数；因为，所以，即。故原不等式得证。点评(1)中可应用导数取出最大值。(2)中用常规的综合法、

20、分析法很难凑效；这种复杂形式的证明，可以考虑用导数法。用导数法证明的思路就是构造函数，求出导数，判断导数值的符号，然后利用函数的单调性证明。（2）与数列知识结合的不等式与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题。例 8（2009全国卷一）设等比数列（1）求的取值范围（2）设，记的前，试比较 解 （1）因为是等比数列，所以 当当上式等价于不等式组或解不等式组得，解不等式组，由于n可为奇数活偶数，得。综上所述，的取值范围为。（2）由于是又，故当当当点评 本题是数列、不等式混合型考题，也是多年来在高考试卷中出现频率较高的题型。 此题使用了

21、证明不等式的常用方法比较法，又侧重考查了分类讨论思想以及等比数列求和、解不等式等基本问题。4.数学中不等式的中的应用不等式的证明一直是数学里面的一个难点，但是如果利用高等数学中的导数知识来处理，问题就要显得简单的多，不过要利用导数知识来证明不等式，关键的是如何构造条件不等式，下面举例说明不等式证明中条件不等式的构造。所谓的条件不等式是指具有某些条件的辅助不等式（或者是辅助等式），这些条件必须要符合题意，不能随意的制造。均值不等式当且仅当ab时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是

22、一些常用的变形方法。4.1 凑配发1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即x2时取等号。所以当x2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例3. 求的值域。解析：本题看似无法

23、运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当x1时取“”号）。当，即时（当且仅当x3时取“”号）。的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。4.2 整体带换例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨将乘以1，而1用a2b代换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。4.3 换元例5. 求函数的最大值。解析：变量代换，令，则当t0时，y0当时，当且仅当，即时取等号。故。评注：本题通过换元法使问题得到了

24、简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。4.4 取平方例6. 求函数的最大值。解析：注意到的和为定值。又，所以当且仅当，即时取等号。故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。5.总结通过本次论文的书写以及在论文书写研究过程中的一些经验，以及笔者通过对一手资料的参考，基于笔者调查显示的丰富教学实践，笔者主要对数学中常用的不等式有了一下几种新的认识： （1）若要熟练掌握不等式的形式，记忆的成分是必不可少

25、的，但不要死记硬背。 认知心理学强调学习是大脑理解的运动过程，行为教学并不能单纯的归为一个简单的操作，还要关注学生的情感发展。教师面对任何新出现的知识，都应该尝试找到相关的背景知识对于一些学生已经掌握的知识，教学可以通过大脑皮层的深度加工来加强学生的认知，理解和认识，从而使的学生产生新的知识，在在学生的头脑运动的过程中新的知识形成就可以变的水到渠成。基于学生的智力发展理论观点，所谓元认知就是认知意识。近年来，元认知心理学教给学生如何学习并取得了一些成果。教学也应该是认知心理学和元认知理论主张适当补充内存，使学生掌握学生理解不等式的指导下，所以在学生心目中的不平等不只会在形式上，它会和学生原有的

26、知识形成一个新的反应，使得学生更加容易的接受新知识。 （2）为了更好地理解不等式，证明应注意的细节。正如前面提到的，教师在知识的教学过程不应该让学生死记硬背，则一个新的不等式的证明提出了将能更好地帮助学生理解和记忆的不平等和内容。证明一个命题，在本质上，其心理过程是找到的条件和结论，包括这种心理过程知识之间的逻辑蕴涵关系，当这种内在的逻辑性被激活时，这些条件和结论之间的关系的概念就会被证明。在证明的一个或几个命题之间的知识认知结构间的联系首先被激活，这些被激活每一个知识点，互相联络，向外扩展，以获得一个完整并附有逻辑的证明。这种证明不仅锻炼他们的思维，加深对知识的记忆和的理解，学生学习的知识点

27、，并且为其后来灵活应用打下了良好的基础。实质性的知识和理解的数学教学，建立与现有的数学知识，数学知识体系，通过各种渠道建立联系，在证明命题的过程中是非常重要的。(3)不等式的应用要符合一定的条件，当老师传授的知识，必须找到一种方法，让学生明确这些条件，以便使学生了解实际不平等。利用“不等式”求最值要符合“正、定、等”三个条件，如果不符合这三个条件的任何一个，而盲目的从表面形式上应用该不等式解题，并结果无疑是错误的。如果老师不这样做的新知识的透彻分析在上述三个条件的教学，使学生不具备上述三个条件有一个全面的了解学生的将是知识形成的头脑思维障碍。事实上，数学思维障碍，有的来自学生本身，毫无疑问，也是教学目标的一部分也是我们往往容易疏忽的一部分。对于教师教学来讲，如果这三个条件有遗漏或强调不够，使学生形成的知识体系结构不完善或者是数学的逻辑思维能力的欠佳多会对学生今后的生活起到不可低估负面作用。 （4）不等式的各种推广形式不容忽视。我们怎样才能更好地发展，培养学生的数学技能，这是心理学和数学教育工作者共同关注的问题。高中数学教学是实现高等教育高素质人才培养课程目标的主要渠道，对于高中学生更加不能学好数学等