算数平均数和几何平均数.doc

1、算数平均数和几何平均数各位评委：大家好！我今天说课的题目是算术平均数与几何 平均数，下面我就本堂课的教学内容、教学目标及教学设计等方 面分别展开作一下介绍。一、教学内容引入：1、不等式这一章主要研究数的不等关系，是高屮数学 学习过程中的一个重要组成部分，也是高考重点考查的内 容，同时也是将来进一步学习数学所需要的基础知识。2、本节教学内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数 的定理及其证明，以及该定理在解决数学问题和实际问题 屮的应用。重点是对定理证明、理解及应用；难点是定理 的应用。3、问题情景：用篱笆围一-块面积为50圧的一边靠墙的矩 形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？ 此

2、时，篱笆墙长为多少米？问题解析：这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？学生回答：设篱笆墙长为y,则尹=2“辺（八），问题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的x的值。求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理来求此函数的最小值？学生回答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理.设计目的：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学 知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均 值定理解决有关实际问题，引入课题。二、教学内容展开：1、定理的引入：由上面的问题解析，我们现引入不等式： a2+b22ab2、定理的证明：先让学生回答证明过程。证明(1): V ( 2ya

3、b即_ Jab2显然，当且仅当a = b. = b2说明：1、我们称出为恥的算术平均数，称而刼b的几何平均2数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数。2、宀宀和号坊成立的条件是不同的：前者只要求可b都是实数，而后者要求a,b都是正数。证明(2)：均值定理的几何意义是“半径不 小于半弦以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C,使 AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD，那么CD2=CA CB9 即C7)=亦这个圆的半径为出，显然，它不小于CD,即出n皿，2 2其中当且仅当点C与圆心重合；即圧b时，等号成立.3、定理的应用例1已知x,y都是正数，

4、求证：(1)如果积xy是定值P,那么 当x=y时，和x+y有最小值2、8； (2)如果和x+y是定值S,那么当 x二y时，积xy有最大值丄si4说明：1正数积定和最小，和定积最大。2、利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件:(1) 函数式中各项必须都是正数；(2) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；(3) 等号成立条件必须存在例2、讲解本章引言提出的问题：某工厂要建造一个长方体 无盖蓄水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每lm2的造价 为150元池壁每lm2的造价为720元，问怎样设计水池能使总 造价最低，最低造价是多少元？三、课堂练习：1、已知x、y都是正数，求证：(1) - + - 2；(2) (x+y) (x2+y2) (x3+y3)8 x3v3丄（3）求函数 x+l （兀20）的最小值，并求相应的x的值。四、课堂内容小结：在本节课中，我们学习了两正数a、b的算术平均数凹，几2何平均数皿 及它们的关系 凹三両,该关系式又称均