数学与应用数学-贝叶斯公式及其应用论文

1、贝叶斯公式及其应用摘要 贝叶斯公式是概率论与数理统计中一个相当重要的公式，主要是利用先验概率研究后验概率的计算.本文将从实际生活出发，讨论贝叶斯公式的优点以及其在医疗检测、产品质量检测、公司决策、日常生活等多方面发挥的重要作用.本文首先介绍了贝叶斯公式的基本思想:根据已知结果来推导原因.其次介绍了贝叶斯公式的发展背景、定义以及相关概率.其中主要探讨了医学中MUGA试验对于化疗后病人出现心脏毒性损伤的确认的作用,解决了难以确认化疗后的病人是否出现心脏毒性损伤的问题，得到了MUGA试验可以将病人确认出现心脏毒性损伤的可能性提升一倍的结论，也从理论上说明了化疗后病人进行MUGA试验的必要性.本文提出

2、的案例贴近生活，具有可行性、多样性和实用性.关键词 贝叶斯公式 后验概率 应用Bayes Formula and Its ApplicationAbstract Bayes formula is very important in probability theory and mathematical statistics. It is mainly used in posterior probability calculation. This paper will discuss the advantages of Bayes formula and its important role i

3、n medical testing, product quality testing, company decision-making, daily life and so on. In this paper, the basic idea of Bayes formula is introduced firstly. Secondly, the development background, definition and correlation probability of Bayes formula are introduced. Among them, it mainly discuss

4、es the role of Muga Test in medicine in confirming the cardiac toxic injury of patients after chemotherapy, and solves the problem that it is difficult to confirm whether the patients after chemotherapy have cardiac toxic injury, it is concluded that the Muga Test can double the probability of the p

5、atient confirming the occurrence of cardiac toxic injury, and it also theoretically explains the necessity of Muga Test for the patient after chemotherapy. The cases presented in this paper are close to life, feasible, diverse and practical.Key words Bayes formula Posteriori probability Application目

6、 录摘 要IAbstractI引 言11贝叶斯公式的定义及推导31.1贝叶斯公式的定义31.2贝叶斯公式的推导31.2.1条件概率31.2.2全概率公式41.2.3贝叶斯公式的推导42贝叶斯公式的应用52.1贝叶斯公式在医疗检测中的应用52.2在产品质量检测中的应用72.3在决策方面的应用82.4在生活方面的应用10结 论11参考文献13致 谢14引 言贝叶斯公式是由英国数学家Thomas Bayes在1763年发表的论机会学说中一个问题的解发展而来.书中Thomas Bayes提出:“用客观的新信息更新我们最初关于某个事物的信念后，我们就会得到一个新的、改进了的信念.”这样的论调看似十分简单

7、，仿佛能够由任何一个民众得出，并没有立刻被当时的社会重视起来.直至1774年，法国数学家Pierre-Simon Laplace通过研究男孩和女孩的生育比例，独立的再次发现了贝叶斯公式1.当时经典统计学依旧处于十分显著的地位，贝叶斯公式被忽视的境地依旧没有改变.经典统计学依靠测量来积累一定量的的数据，从而推断出具有意义的规律.不同于经典统计学，贝叶斯公式的应用中，往往需要一定的默认条件，这些默认条件有些从依靠主观猜测得来，于是不被当时的科学界所接受.伴随着时代的发展和社会的进步，很多问题单单依靠经典统计学已经不能够解决，人们逐渐发现贝叶斯公式的适用性.近年来，计算机技术加速发展与应用，统计学家

8、们也发现贝叶斯统计理论可以解决许多之前不能解决的问题.在实际生活中，人们常常需要确定导致某一事件的发生原因.而在决策的过程中，如果仅仅凭借人们对该事件有关概率分布的主观判断则很容易出现差错.而贝叶斯公式能够通过对主观判断的修正，将先验概率过渡到后验概率，为人们提供了更有效、更快捷、更精准的决策信息，帮助人们将复杂问题转化为简单问题.因此，贝叶斯公式在决策理论和可靠性分析及其他统计学领域中的应用越来越广泛，也受到各行各业的重视.同时，由于贝叶斯公式在实践中应用广泛，几乎可以作为所有学科的研究工具，所以有关贝叶斯公式的成果也非常多.首先介绍一下贝叶斯公式在国外的发展状况.在1964年，两位统计学界

9、的学者Fredrick Mosteller和David Wallance利用以贝叶斯公式为核心的包含两个类别的分类算法鉴定出联邦党人文集的作者身份，此举引起统计学界的许多的关注.不就之后，数学家John Wallance也利用贝叶斯公式寻找到在大西洋亚速海海域失踪的美国海军天蝎号核潜艇.近年来，随着信息技术的发展，贝叶斯公式在互联网中的应用也越来越广泛.文献Keith W Estinating Probability of Failure When Testing Reveal No Failures中就提出以输入域的软件可靠性评估为基础的贝叶斯方法.不仅如此，贝叶斯公式的应用也可见于医疗、疾

10、病控制等邻域.二十世纪九十年代，英国召开皇家统计学会，贝叶斯公式被应用于免疫学实验、癌症筛查、遗传流行病等邻域.到了二十一世纪，美国食品与药品监督管理局发布医疗器械临床疗效的贝叶斯统计学评价指导原则（草案），贝叶斯理论在医疗方面的应用进一步扩大. 一篇在科学上发表的论文2中也提出用贝叶斯程序学习的方法开发了一个“只看一眼就学会写字”的系统，该系统还通过了图灵测试. 贝叶斯公式在国外的发展逐渐扩大，而在中国，贝叶斯公式的地位也逐渐提升，贝叶斯公式的应用更是涉及各个方面.不少中国学者，利用贝叶斯公式与相关知识相结合，探讨了不少解决问题的新途径，得到了许多研究成果.二十世纪初，刘强等用贝叶斯公式分析

11、了普通检验法对北京非典肺炎的检验的有效性3，他们提出在短时间内无法找出或研制出能够治疗传染性疾病的药物的的情况下，通过采取有效且及时的防御防治措施，其实在很程度上可以控制住疾病的蔓延.同时，他们针对政府、社区、普通公民、病患者、疑似病人提出了一系列的防治和遏制措施.这是贝叶斯公式较早在中国应用于大型传染病的防治和控制.不仅仅在医疗方面，贝叶斯公式在其他诸多方面也是成果斐然.学者茆诗松将贝叶斯公式编入概率论与数理统计教程，使得人们可以更加全面的理解并应用贝叶斯公式解决问题.几年后，赵贻竹等提出了一种基于贝叶斯公式的信息反馈系统模型BIF，并发表了研究论文4，该研究表明，这种基于贝叶斯公式的信息反

12、馈系统模型BIF，不仅仅能够保护系统的敏感信息，还能够提升系统的可用性，同时大大增加了系统访问成功的几率.三年后，柴哲丽等人研究了如何解决软件测试可靠性评估过程复杂且计算量大的问题5，他们采用将贝叶斯公式作为基础，然后利用软件正确性的先验概率密度函数和正确通过软件测试案例的数量分布服从二项分布的数字特征，得出软件正确性概率的后验分布，从而提出一种经过改进的用于软件可行性评估的方法.2012年，郭锦全等人用贝叶斯公式讨论TEC方案化疗后乳腺癌患者的早期心脏毒性的可靠性评估方法6. 信号传输方面，王雪明等7讨论了如何将全概率公式与贝叶斯公式应用于信号传输，并详细地阐述了应用发报机的发报的准确性.同

13、年，高健研究了贝叶斯公式是如何作用于在情报分析的，他认为在公安系统中进行情报分析，不应该单纯的使用经验分析的思维方式8，而应该通过将信息收集与后期计算相融合的手段来展开工作，以此取得确切可靠的情报结论.同时高健还在文章中指出了贝叶斯公式在情报分析应用中存在的问题与局限性.贝叶斯公式还被用于新药的研发，周双酉等人研究了贝叶斯方法对新药评估的效果，并发表了论文.他们根据贝叶斯公式，在总体信息和和先验概率的统计推断下，求得后验概率，使药品的有效置信度上升9，充分肯定了贝叶斯公式对新药的评估效果.随着贝叶斯公式的地位的提升，人们也开始关注贝叶斯公式的产生的知识背景.2015年，富丹就讨论了贝叶斯定理产

14、生的知识背景.信息化时代的快速发展也推动贝叶斯公式的开始应用于网络招聘、智能矿床、物流企业、人工智能等方面.2016年，徐锦阳等人针对网络招聘模式的相关缺点，利用贝叶斯公式将简历中的专业信息按照行业来进行分类，并提出改进的相似度算法10，然后使用相似度算法计算得出职位和简历的属性，从而得到了简历与职位的匹配度信息，最后优化并完善了招聘信息网站的职位推荐功能.周永章等人则在2017年研究了基于贝叶斯网络的智能矿床成因建模.他们提出将贝叶斯公式和理论用于解决实际生活中的地质与科学问题，并且讨论了在大数据时代下，如何将构建贝叶斯网络并利用贝叶斯网络来完善矿床模型，从而建立起智能地质-矿床模型11，得

15、到矿床成因的机制以及其中蕴含的规律.同年，贝叶斯公式在物流方面的作用也显现出来，张春燕等使用列联表与贝叶斯分析相结合的方法研究了苏州1300多家物流企业的经营业绩12，他们从发展对策与路径的角度切入，针对物流公司出现的类似问题和发展阻碍提出建议.在人工智能领域，贝叶斯公式的作用也是非凡.孟红岩在一篇文章中讨论了贝叶斯公式在人工智能领域的功能，并指出贝叶斯方法可以通过少量的信息进行模糊推断13，然后用得到的推断结论来逐步修正开始时的推断，算出这个问题的最优解即可停止.由于贝叶斯方法在每次计算中，都可以记忆上次的计算经验，这样就实现了人工智能自学习的功能.校园中，教师还可以利用贝叶斯公式来预测学生

16、的成绩.韩丽娜在2018年就尝试运用贝叶斯分类模型14来预测学生的成绩.在水污染检测等问题上贝叶斯公式和理论也发挥了不小的作用，张双圣等人就利用贝叶斯公式来检测地下水的水质和地下水的污染状况.他们将贝叶斯公式与地下水二维水质对流-扩散方程相耦合15，建立依靠检测井监测值的地下水污染参数的反演模型.同时由于监测井监测值的信息量并不够充分，以及监测值与模型参数之间的关联性比较弱，张双圣等人利用贝叶斯公式提出一种新型监测方法并且完善了设计方案.1贝叶斯公式的定义及推导1.1贝叶斯公式的定义定义116设试验的样本空间为.为的事件， 为的一个划分，且0，0 ，则， （1） （1） 式称为贝叶斯（Baye

17、s）公式.1.2贝叶斯公式的推导1.2.1条件概率设与是样本空间中的两个事件，且0,在事件已发生的条件下，事件的条件概率1即为表示在事件发生的情况下，发生的概率.其中表示，两个事件同时发生的概率，表示事件发生的概率.上述条件概率公式还可转化为：，其中表示在事件发生的情况下，发生的条件概率.1.2.2全概率公式若事件，是互不相容的个事件且这个事件的并构成的样本空间，且0 则对任意一个事件，有如下关系：此公式即为全概率公式.在实际应用中，要计算由多种原因造成的某一复杂事件发生的概率，如果不能直接获得，那么可以将其划分为若干个两两互不相容的若干个简单事件的并，再根据概率的有限可加性，把复杂事件的概率

18、转化为这些简单事件的概率和. 特别地，时，若记，则有其中和是对立事件.1.2.3贝叶斯公式的推导根据条件概率公式以及全概率公式可知：若事件，是互不相同的个事件且这个事件并构成的样本空间，为样本空间中的任意一个事件，且0, 0,则由条件概率公式可知：从而又由全概率公式可知：化简即可得到贝叶斯公式：2贝叶斯公式的应用贝叶斯公式在医学检测、产品质量检测、金融决策及生活应用方面都有广泛的应用.2.1贝叶斯公式在医疗检测中的应用贝叶斯公式和理论在医学中的应用是非常广泛的，难以确诊的病症、症状相似的病人的区分、新药的研发、医疗器械的试验等都会用到贝叶斯公式和理论.案例1 甲地出现化疗诱发心脏毒性损伤的人数

19、占总化疗人数的0.113，出现心脏毒性损伤的患者通过MUGA有0.9的概率7对试验呈现阳性反应，没有出现心脏毒性损伤的患者有0.28的概率对这种试验呈阳性反应，现在随机地从这个地区的化疗病人中抽取一个，经过试验，结果呈阳性，问该病人有多大的概率出现心脏毒性损伤？用贝叶斯公式即可解决上述问题.解 设 =“试验呈阳性”，= “化疗后出现心脏毒性损伤” 则，即求由贝叶斯公式，将以上数据带入公式即得由上述结果可知，经过试验并结果呈阳性反应，其被抽查者出现化疗后心脏毒性损伤的概率是0.2905,，概率从原来的0.113上升至0.2905，将确认的可能性提高超过一倍.案例2 某医疗器械物资严重缺乏地区的医

20、院来了一位病人，病人出现四种临床表现：S1=“干咳”，S2=“发热”，S3=“呼吸困难”，S4=“胸痛”，现有三种疾病会出现这四种表现，三种疾病能出现的以上症状的并集为.三种疾病的患病人数以及患各疾病同时出现相对临床表现的人数.数据如表1所示疾病患人数患同时出现Si表现人数365530451995146243503600表 1数据资料表请根据以上数据判断，当人同时出现这四种症状时，他最后可能患的是哪种疾病？解 由表中数据计算可得，因为最大，所以在缺乏相关检测的医疗仪器的时，医生可以初步判定患者所患疾病是.由此可见，贝叶斯公式在医学上进行临床诊断，可以作为一种非常有效且有很大价值的辅助手段.2.

21、2在产品质量检测中的应用在检测产品质量的问题中，贝叶斯公式和理论具有极其重要的作用.案例3 某品牌坚果公司的坚果是从四家不同的供应商处收购的，根据以往的数据分析得出以下数据坚果供应商次品率提供坚果的份额一号0.030.2二号0.040.1三号0.030.3四号0.020.4表 2次品率与份额已知坚果公司的坚果储藏室没有进行区域分类管理，而是将四家供应商的坚果集中放置，且没有标签，坚果的外观也没有明显的区别.1）随机在储藏室取一袋坚果，求发现是次品的概率；2）随机在储藏室取一袋坚果，若取到的坚果是次品，请问坚果出自哪个供应商的可能性最大？解 设“坚果是次品”，“坚果出自一号供应商”，“坚果出自二

22、号供应商”，“坚果出自三号供应商”，“坚果出自四号供应商”1） 由全概率公式+2）根据题意可知因为最大，故次品出自第三家供货商的可能性最大.由上述叙述可知，贝叶斯公式在生产生活中，拥有帮助厂家进行产品质量检测的功能，在一定程度上缓解了难以发现次品出处的问题.2.3在决策方面的应用有时，一个决定中也蕴含着贝叶斯公式和理论.案例4 张星是某投资公司的长期客户，公司承诺给予张星相应投资红利，但是近期该公司多次亏欠张星的分红，却发信息提示分红已到账，最终导致张星与该投资公司解约.下面用概率的观点来解释可信度和客户决策的变化.解 设表示“公司误发信息” 表示“分红确实到账”根据以往经验，假定， ，此时客

23、户对于该公司的信任度很高，选择继续与该公司的合约.第一次发现分红未按信息到账时，发信息表示分红到账的可信度表示为：在第一次发现分红未按信息到账的前提下，发信息表示分红已到账的可信度由以前的下降为.客户第一次发现分红情况与信息提示不符后修正了发信息表示分红到账的可信度，即认为.同时，假设客户提升，.客户虽然产生质疑，但基于之前的良好合作，客户选择继续合约.第二次发现分红未按信息到账时，发信息表示分红到账的可信度表示为：此时，发信息表示分红已到账的可信度由以前的下降为.客户第二次发现分红情况与信息提示不符后修正了发信息表示分红到账的可信度，即认为.此时客户对公司产生怀疑，决策为：鉴于合同未到期，没

24、有解约.在第二次发现分红未按信息到账的前提下，发信息表示分红已到账的可信度由以前的下降为.客户第二次发现分红情况与信息提示不符后修正了发信息表示分红到账的可信度，即认为.同时，假设客户提升，.客户虽然产生严重质疑，但基于合约未到期，客户选择继续合作.第三次发现分红未按信息到账时，发信息表示分红到账的可信度表示为：由以上分析可知，客户在多次收到不实信息后，已经不再信任该投资公司，导致双方解约.案例5 在中国某偏僻沙漠区域，某炮兵团正在进行练习发射炮弹.由于炮弹与子弹不同，其飞行轨迹呈抛物线，瞄准难度较大，所以士兵们常常在发射炮弹时利用贝叶斯方法来进行调整.运用理论与实践经验，炮兵会得到一个可能可

25、以命中目标的瞄准角度，然后按照瞄准标度射击。但由于炮兵的个体差异性，部分炮兵没有按照瞄准角度发射.已知在射击后，已命中目标的炮弹中按照瞄准角度射击的占77 %，未命中目标的也有15 %的炮弹是根据瞄准角度射击的，同时从以往训练记录来看，该炮兵团总体发射命中目标的概率是0.86.现在随机地从已经发射的炮弹中抽取中一个，得知该炮弹是按照瞄准角度射击的，问此炮弹有多大的概率可以命中目标？解 设“按照瞄准角度射击”，“命中目标”则根据题意可知 ，此题即求利用贝叶斯公式，将以上数据带入式子得到由此可知，炮兵在发射炮弹时，调整炮弹瞄准角度可以大大提高炮兵发射的命中率.2.4在生活方面的应用贝叶斯公式和理论

26、在实际生活中也无处不在.案例6 太平要出差几天，家中有一只蓝猫需要照看，于是在出差前拜托闺蜜婉儿照看，如果几天内婉儿记得喂食，蓝猫的存活率为0.77，如果几天内婉儿忘记喂食，蓝猫的存活率是0.19，由于太平对闺蜜的了解，认为闺蜜记得喂食的概率是0.8，忘记喂食的概率是0.2.问：（1）太平出差后蓝猫存活的概率是多大？（2）若太平出差回家，发现猫还活着，那么婉儿“记得喂食”的概率为多大？解 设“记得喂食” ， “忘记喂食” “蓝猫存活”由题意可知，（1）因此，蓝猫存活的概率即为 + + （2）第二问即求所以太平出差回家，发现猫还活着，婉儿记得喂食的概率是0.942结 论目前，贝叶斯公式以及由贝叶

27、斯公式引申出来的统计手段有着极其方便、广泛、实用和准确的应用价值，成为计算机科学、经济、医疗、教育等学科的研究热点.贝叶斯公式如何适应实际应用中千变万化的环境、适应各个不同的研究邻域已越来越引起人们的关注和重视.贝叶斯公式的优点是非常显著的， 它可以对已有信息的价值进行判断，从而分析是否需要采集新的信息作出更加科学的判断.在应用过程中，贝叶斯公式也能够依据具体情况不断地使用，使得判断逐步完善并且更加科学.同时，贝叶斯公式具有适用性强、应用范围广泛、节约成本等优点，可以在很大程度上弥补了经典统计学的不足.近二三十年来，贝叶斯公式在统计学中的地位逐渐增加，在生活中的应用也非常广泛，并在现实社会发挥

28、着重要作用.本文对贝叶斯公式进行了一些研究，归纳和总结了贝叶斯公式的发展历程和推导， 并且举例分析并探索了贝叶斯公式在医疗、决策、生活等方面的应用，通过贝叶斯公式计算出MUGA试验对提高确认病人出现心脏毒性损伤的可能性的作用，这种将调查结果的可能性通过数量化的方式来进行评价的方式，并不全盘肯定，也不全盘否定，将主观判断或先验知识与调查结果巧妙地结合起来，更加符合实际情况，肯定了MUGA试验的功能.同时，应用贝叶斯公式来检测产品的质量问题，充分说明了贝叶斯公式在生产生活中的作用.在决策方面，探讨了可信度与客户决策的变化的关系以及炮兵命中率与调整瞄准角度的关系，从理论的角度说明了人们作出某一决策的

29、原因.而可信度问题，是单次使用贝叶斯公式并不能够解决的复杂问题，从而本文多次使用贝叶斯公式的方法，将贝叶斯公式与实际问题中的相关知识进行耦合，解决了这一问题.对于实际生活中的贝叶斯公式和理论，本文以蓝猫的饲养问题为例，简要的介绍了贝叶斯公式在生活中的应用.但是贝叶斯公式在解决复杂问题时，所需要的数据比较多，采集数据困难的矛盾凸显，所需耗费的人力物力也随之增长.而且，在使用贝叶斯公式时，有些数据必须要采用主观概率，这样的主观概率难以其他类似的问题中进行引用.贝叶斯公式的研究时间并不像经典统计学那么长久，但它却是一个具有挑战性以及实际应用价值的课题，相信随着现阶段大数据时代的来临，贝叶斯公式和理论将会迎来新的发展.参考文献1富丹.贝叶斯定理产生的知识背景探析J.现代交际,2015(01):15-16.2 Brenden M. Lake,RuslanSalakhu