连续介质力学第三讲完整版

1、 本构理论的客观性原理 1. 等价运动 xx 和表示同一物体的两个不同的运动, 它们从时刻t0从同一 参考构形出发 ),(tx X x ),( tx X x ),()()()()( tttttXxxxQbQb xx 设与两个运动存在以下关系： )(tQ)(tb其中为任意正交张量，为任意矢量， )(tQ)(tb与只随时间t而变化 xx 我们称与为等价运动 2. 标量（场）的客观性 t),(tf X)( t),( tf X ),(),( tftfXX xx 设与 为任意两个等价的运动, 设有某物理量（例如温度） 中为，在构形中为 若对于任意X与t，有: 则称为f为客观标量。 为标量，它在构形 3.

2、矢量（场）的客观性 x x 设与为任意两个等价的运动, 设有某物理量（例如力） 为矢量，它在构形 )( t 中为 ，在构形中为),(tXu t ),( tXu 它们之间满足关系式 ),()(),( tXttuQXu, 则该矢量为客观矢量 4.张量（场）的客观性 xx 设与 为任意两个等价的运动, 设有某物理量（例如应力)为 二阶张量，它在构形 )( t 中为 ，在构形中为 ),(tXC t ),( tXC 它们之间满足关系式: 则该张量为客观张量. )(),()(),( tttt T QXCQXC n 是客观矢量; 两点矢径之差是客观的; 例: ),()(),()()( d d tttxtt

3、t x XvQXQb v不是客观的。 n n 均为客观矢量;Cauchy应力，Kirchhoff应力 是客观张量 。 5. 本构的客观性原理 (, )(, ),)ttt Xf F X 客观性原理又称标架无差异原理（frame indifference principle）， 它最简单的表述是：Cauchy应力 是客观张量 对运动 与运动，Cauchy应力分别为 x x (, )(, ),)tt Xf F X (, )(, ),)tt Xf F X T (, )( )(, )( )tttt XQXQ T (, ),)( )(, ),)( )tttt f F XQf F XQ 又: 所以: 根据客

4、观性原理 则有:(, )(, ),t F XU X (, )( )(, ),t F XQF X对于等价运动有: (, )(, )(, ),tF XR XU X利用极分解有: T ( )(, ),ttQRX选取 ttfttf T ,XRXFXRXU 这就是客观性原理所要求材料泛函(, ),) t f F X应满足的条件 ttftt T ,XRXUXRX相应地有: (, ) tX (, ),t U X(, ),) t f U X 处t时刻的Cauchy应力 变形过程 ，求出t时刻的应力 然后令这个应力从t时刻的Lagrange标架旋转到t时刻的Eule标架。 (, ),t F X欲求任何一个运动的变形梯度x , 所引起在X质点 ，可以先让X质点处只发生纯 物理意义: 四、各向同性弹性材料 Strain energy density 3D case- Work conjugate Balance of linear momentum With Lagrange description Principle of virtual displacement T is the first P-K stress tensor. so And we have： so Work conjugate! Here, T is the first P-K stress tensor. S is t