量子力学教程-第二章完整版

1、 量子力学2 No Image 第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 2.6 2.6 一维无限深方势阱一维无限深方势阱 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 2.9 2.9 例题例题 量子力学3 本章我们介绍由德布罗意+薛定谔开创的波动力 学。我们将首先介绍德布罗意提出的物质波假设 （实物粒子也具有波动性），

2、那么，用什么物理量 或函数描述物质波（波函数）？波函数满足什么样 的波动方程（薛定谔方程）？波函数的物理意义是 什么（玻恩的概率解释）？ 量子力学4 )(expEtrp i A 描写自由粒子的描写自由粒子的 平平 面面 波波 ),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他中运动，他 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的 状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写， 一般记为：一般记为： 描写粒子状态的波函数，描写粒子状态的波函数， 它通常是一个

3、它通常是一个复函数复函数。 （一）波函数（一）波函数 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 自由粒子的波函数自由粒子的波函数(de Broglie(de Broglie波波):): 量子力学5 1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时 间亦显示衍射图样间亦显示衍射图样; ; 电子的衍射实验电子的衍射实验 2.2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. . 电子源电子源 感感 光光 屏屏 O P P 问题：问题： 与粒子之间的关系？与粒子之间的关系？ 量子力学6 错误的看法之一：错误的看法之一：波

4、由粒子组成：波由粒子组成： 波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。了粒子的波动性的一面，具有片面性。 O 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加 呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空 间聚集在一起时才有的现象，间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子

5、 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样 一些量子现象。一些量子现象。 如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射不能解释长时间单个电子衍射 实验实验。 量子力学7 错误的看法之二：错误的看法之二：粒子由波组成粒子由波组成： o电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维 空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等空间中连续

6、分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等 波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子 的运动速度。的运动速度。 o什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因 为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒 子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 o实验上观测到的电

7、子，总是处于一个小区域内。例如在一个实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个 原子内，其广延不会超过原子大小原子内，其广延不会超过原子大小1 。 量子力学8 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ” ”，既不是经典的粒子也不，既不是经典的粒子也不 是经典的波，是经典的波， 但是我们也可以说，但是我们也可以说，“ “ 电子既是粒子也电子既是粒子也 是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” ” 这个波不这个波不 再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。

8、再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。 经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。 经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。 量子力学9 l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一

9、个电子在许多次许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次 相同实验中的统计结果。相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上， Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 衍射极大的地方，波的强度大，衍射极大的地方，波的强度大， 每个粒每个粒 子投到这里的几率也大，粒子数也越多。子投到这里的几率也大，粒子数也越多。 衍射极小的地方衍射极小的地方, ,波的强度很小或等于零，波的强度很小或等于零， 每个粒子投到这里的几率也很小或等于零，每个粒子投到这里的几率也很小

10、或等于零， 因而投射到这里因而投射到这里粒子数很少或者没有。粒子数很少或者没有。 如：在电子衍射实验中，如：在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 量子力学10 德布罗意波与经典波的不同德布罗意波与经典波的不同 o机械波机械波机械振动在空间的传播机械振动在空间的传播 o德布罗意波德布罗意波是对微观粒子运动的统计描是对微观粒子运动的统计描 述，它的振幅的平方表示粒子出现的概率，述，它的振幅的平方表示粒子出现的概率， 故是概率波。故是概率波。 量子力学11 假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) (r) 描述，与光学相似，描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 | (r)| (

11、r)|2 2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。 | (r)| (r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近找到点附近找到 粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的 平方）和在这点找到粒子的几率成比例。据此，平方）和在这点找到粒子的几率成比例。据此，描写粒描写粒 子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统 计规律性，波函数计规律性，波函数(r)(r)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。 这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的

12、提出的波函数的几率解释波函数的几率解释， 它是它是量子力学的基本原理量子力学的基本原理。 量子力学12 波函数(也称概率幅)描写体系的量子状态(简称状 态或态) 量子力学与经典力学中描写状态的不同性: 在经典力学中，通常用质点的坐标和动量（或速度） 的值来描写质点的状态。质点的其他力学量，如能量 等，是坐标和动量的函数，当坐标和动量确定后，其 他力学量也就随之确定了。 在量子力学中，不可能同时用粒子的坐标和动量的确 定值来描写粒子的量子状态，因为粒子具有波粒二象 性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。当粒 子处于某一量子状态时，它的力学量（如坐标、动量 等）一般有许多可能值，这些可能值各自

13、以一定的概 率出现，这些概率都可以由波函数得出。 量子力学13 o在在t t时刻，时刻， r r点，点，d = dx dy dzd = dx dy dz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数 (r,t) (r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d，其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 单位体积内找到粒子的几率是：单位体积内找到粒子的几率是： ( r, t ) =dW(r, t )/ d

14、= C | (r,t)|( r, t ) =dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 2 称为称为几率几率 密度。密度。 在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = W(t) = V V dW = dW = V V( r, t ) d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d （二）概率密度（二）概率密度 量子力学14 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C

15、 是常是常 数。数。 因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和 和 r r2 2 处 处 找到粒子的相对几率之比是：找到粒子的相对几率之比是： 2 2 1 2 2 1 ),( ),( ),( ),( tr tr trC trC 可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是描述的是 同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。 （三）波函数（三）波函数 的归一化的归一化 量子力学15 o这与经典波不同。经典波波幅增大一倍，则相应的波动能量将为原这与经典波不同

16、。经典波波幅增大一倍，则相应的波动能量将为原 来的来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。 由于粒子在全空间出现的几率等于由于粒子在全空间出现的几率等于1 1，所以粒子在空间，所以粒子在空间 各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相 对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函 数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C

17、(r, t) 描述同一状态描述同一状态 波函数波函数 的归一化的归一化 归一化条件：归一化条件：CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d 归一化波函数归一化波函数： 为归一化因子其中 CtrCtr);,(),( 量子力学16 若若 | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d , , 则则 C C 0 0, , 这是没有意义的。这是没有意义的。 )(exp),(Etrp i Atr 注意：自由粒子波函数注意：自

18、由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。题，以后再予以讨论。 量子力学17 作作 业业 补补 充充 题题 波波函函数数是是否否等等价价？ 两两种种情情况况，得得到到的的两两个个取取、对对 是是否否等等价价？和和、波波函函数数请请问问： 已已知知下下列列两两个个波波函函数数： 2)( )()( , 3 ,2, 1 |0 |)( 2 sin )( , 3 ,2, 1 |0 |)( 2 sin )( )2( 1 21 2 1 nxII xxI n ax axax a n A x n ax axax a n A x

19、 .)24(,3, , )1 ( /2 6 / )2( 5 /2 4 /3 3 /2 2 /2 1 1 xixixi xixixi eiee eee 描写同一状态？些与请问下列波函数中，哪 量子力学18 l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于涉和衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，即可相加性， 两个波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学两个波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学 中波的叠加原理一样，中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠量子力学中也存在波叠 加原理加原理。 l因为量子力学中的波，即波函数决定体系的量因为量

20、子力学中的波，即波函数决定体系的量 子状态，所以量子力学的波叠加原理称为子状态，所以量子力学的波叠加原理称为态叠态叠 加原理加原理。 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 量子力学19 考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。 l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： |2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) = |C =

21、|C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P 1 1 2 2 S1 S2 电子源电子源 感感 光光 屏屏 电子穿过狭缝电子穿过狭缝 出现在点出现在点 的几率密度的几率密度 电子穿过狭缝电子穿过狭缝 出现在点出现在点 的几率密度的几率密度 相干项，产生了衍相干项，产生了衍 射花纹。射花纹。 一个电子有一个电子有 1 1 和 和 2 2 两种可能的状两种可能的状 态，态， 是这两种状是这两种状 态的叠加。态的叠加。 量子力学20 o其中其中C C1 1

22、和和 C C2 2 是复常数，这就是量子力学的 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。态叠加原理。 态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,. ,.是体系的一系列可能的状是体系的一系列可能的状 态，则这些态的线性叠加态，则这些态的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n + + . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,. ,.为复常数为复常数) )。也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 另一种理解：另一种理解： 处于处于态的体系，

23、部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的态，部分的 处于处于2 2态态.，部分的处于，部分的处于n n，.；相应的概率分别为；相应的概率分别为 一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状态 也是该体系的一个可能状态. 22 2 2 1 ,., n CCC 量子力学21 例：例： )(expEtrp i A p 求和。所以后式应用积分代替 是连续变化的，由于其中 ， pdpdpdppd pdtrpctrtrpctr zyx pp p ),()(),(),()(),( 电子在晶体表面反射后，电

24、子可电子在晶体表面反射后，电子可 能以各种不同的动量能以各种不同的动量 p p 运动。具运动。具 有确定动量的运动状态用有确定动量的运动状态用dede Broglie Broglie 平面波表示平面波表示 根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示可表示 成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即 衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 d p p 量子力学22 附录：附录： 函数函数 定义：定义： 0 0 0 0 )( xx xx xx )0(1)()( 00 0 0

25、 dxxxdxxx x x )()()( 00 xfdxxxxf )( 0 0 2 1 )( xxik edkxx x xxp i dpexx x )( 0 0 2 1 )( 性质：性质： )()()()( 000 xxxfxxxf )( | 1 )(x a ax )()(xx 0 x0 x )( 0 xx dxepp xpxp xpp i xx xx xx )( 0 2 1 )( ，则则，作作代代换换： 量子力学23 动量空间（表象）的波函数 exp 2 1 )( 2/3 rp i r p ）（ 波函数波函数 (r,t) (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示，可用各种不同动量的平面波表示

26、， 下面我们给出简单证明。下面我们给出简单证明。 pdrtpctr p )(),(),( 令令 则则 可按可按p p 展开 展开 zyx dpdpdprp i tpcexp),( )2( 1 2/3 3 ( )( , )( , )( )( , ) 1 ( , )exp 2 ( , )(, ) pp rr t drc p trr t drdp i c p tpprdrdp c p tppdpc p t 量子力学24 ),(tpc dxdydzrp i trexp),( 2 1 2/3 ）（ ),(tr zyx dpdpdprp i tpcexp),( )2( 1 2/3 显然，二者互为显然，二者

27、互为FourierFourier变换式，因而在一般情况下总是成立。变换式，因而在一般情况下总是成立。 (r,t) (r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标坐标 表象表象波函数；波函数； C(p, t)C(p, t) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，动量空间波函数，为自变量的波函数，动量空间波函数，动量动量 表象表象波函数；波函数； 二者描写同一量子状态二者描写同一量子状态, ,是波函数的两种不同的描述方式。是波函数的两种不同的描述方式。 量子力学25 若若 (r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p, t)也是归一

28、化也是归一化 pdtpctpcpdtpc ),(),(| ),(| 2 证证明明： pdrdrtrrdrtrp p ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrp p ) ()(), (),( ) (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr 关系式其中使用了) () ()(rrpdrrp p rdtrrtpcp ),()(),( 量子力学26 体体积积元元内内的的几几率率； 点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在 rd rt rdtrtrdW 2 |),(|),( 具有类似的物理含义与),(),(trtpc 体积元内的几率。 点附近时刻粒子出现在动量 pd pt

29、pdtpctpdW 2 |),(|),( 量子力学27 在一维情况下： 1/2 1 ( , )( , )exp (2) i x tc p tpx dp 1/2 1 ( , )( , )exp 2 i c p tx tpx dx （） 坐标表象与动量表象坐标表象与动量表象波函数波函数： 在三维情况下： ),(tr zyx dpdpdprp i tpcexp),( )2( 1 2/3 ),(tpc dxdydzrp i trexp),( 2 1 2/3 ）（ 量子力学28 （一）引入（一）引入薛定谔方程薛定谔方程 （二）引进方程的基本考虑（二）引进方程的基本考虑 （三）自由粒子满足的方程（三）自由

30、粒子满足的方程 （四）势场（四）势场 V (r) 中运动的粒子中运动的粒子 （五）多粒子体系的（五）多粒子体系的Schrodinger方程方程 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 量子力学29 一、薛定谔方程薛定谔方程的引入 这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程提出了波动方程 之后得到了圆满解决。之后得到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数描述微观粒子量子状态用波函数描述，波函数确定之后，波函数确定之后， 粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应 的几率分布也都被完

31、全确定的几率分布也都被完全确定-波函数完全描写微观粒子波函数完全描写微观粒子 的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个 问题：问题： (1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。 量子力学30 二、引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态粒子的状态 r 和和 p 。因为初始条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，。因为初始条件知道的是坐标及其对时间的一阶

32、导数， 所以方程是时间的二阶常微分方程。所以方程是时间的二阶常微分方程。 让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。 经典情况经典情况 0 000 , tt dt rd mprtt 时刻，已知初态是： 2 2 dt rd mF 方程：粒子满足的方程是牛顿 量子力学31 量子情况 1因为，因为，t = t0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是( r, t0) 且只知道这样一个且只知道这样一个 初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含只能含对对 时间时间 的一阶导数的一

33、阶导数。 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1( r, t ) 和和2( r, t ) 是方程的解，那是方程的解，那( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程 中只能包含中只能包含, 不能含它们的平方或开方项。不能含它们的平方或开方项。 （对时间的一阶对时间的一阶 导数导数和和对坐标各阶导数的一次项）。对坐标各阶导数的一次项）。 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p, E等，否则方程等，

34、否则方程 只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。 量子力学32 三、自由粒子满足的方程 ）（1 E t iE i t )(expEtrp i A 描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数: : 是所要建立的方程的解。将上式对是所要建立的方程的解。将上式对 t 偏微商，得：偏微商，得： ， p x ,p i Ae xx 2 2 x 2 2 x Et)zpypx(p i zyx 1 222 22 2 2 2 2 2 zyx ppp zyx p z , p y 2 2 z 2 2 2 2 y 2 2 :同理有 )2( 22 1

35、 2 2 2 2 2 2 p p 或或 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将。将对坐标二次对坐标二次 偏微商，得偏微商，得 量子力学33 ) 2 () 2 ( 2 2 2 p E t i 满足上述构造方程满足上述构造方程 的三个条件的三个条件）（所所以以3 2 2 2 t i 2 2 p E 对对自自由由粒粒子子， (1)(2)(1)(2)式式 (1)和(2) 量子力学34 讨论：讨论： 通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能 量关系式量关系式 E = pE = p2 2/2/2 写成如

36、下方程形式：写成如下方程形式： 2222 4 pp ipp t iE ）（ 做做算符替换（算符替换（4 4）即得自由即得自由 粒子满足的方程（粒子满足的方程（3 3）。）。 2 2 p E 两边右乘 量子力学35 四、势场 V(r) 中运动的粒子 该方程称为该方程称为 Schrodinger 方程方程，也常称为，也常称为波动方程波动方程。它描。它描 写在势场写在势场U(r)中粒子状态随时间的变化中粒子状态随时间的变化 2 2 ( , )( )( , ) 2 ir tV rr t t 若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为： 2 ( )

37、 2 p EV r )( 2 2 rV p E 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得： 做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换得： 量子力学36 五、多粒子体系的 Schrodinger 方程 设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成， l质量分别为质量分别为 i i (i = 1, 2,., N) (i = 1, 2,., N) l体系波函数记为体系波函数记为 ( r( r1 1, r, r2 2, ., , ., r rN N ; t) ; t) l第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i) ) l粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(r

38、V(r1 1, r, r2 2, ., , ., r rN N) ) l则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为： );,(),()( 2 );,( 21 1 21 2 2 21 trrrrrrVrU trrr t i N N i Niii i N 2 2 12 1 ( )( ,) 2 N iiiN i i EU rV r rr 量子力学37 （一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质 2.4 2.4 粒子数密度和粒子数守粒子数密度和粒子数守 恒定律恒定律 量子力学38 一、一、定域几率守恒

39、定域几率守恒 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步 讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。 粒子在粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几点周围单位体积内粒子出现的几率即几 率密度是：率密度是： 量子力学39 fff 2 量子力学40 在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有： 几率（粒子数）守恒的积分表示式！几率（粒子数）守恒的积分表示式！ 令令 趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，考虑到，即让积分对全空间进行，考虑

40、到 任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在 无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 得：得： * (, ) 0 dd rt dd d td t ( , ) ( , ) r td dr t dJd tdt 单位时间内通过单位时间内通过 的封闭表面的封闭表面 S S 流流 入（面积分前面的入（面积分前面的 负号）负号）内的几率内的几率 闭区域闭区域上找上找 到粒子的总几到粒子的总几 率在单位时间率在单位时间 内的增量内的增量 Sd S ( , ) n SS r t dJdSJ dS t 表明，（表明，（1 1）在整

41、个空间内找到粒）在整个空间内找到粒 子的概率与时间无关子的概率与时间无关 ;(2);(2)波函数波函数 归一化不随时间改变，其物理意义归一化不随时间改变，其物理意义 是粒子既未产生也未消灭。是粒子既未产生也未消灭。 使用使用 Gauss Gauss 定理定理 VS dAds A 2 i J S表示体积的边界面 量子力学41 讨论：讨论： （1 1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然 另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这 种变化。种变化。 （

42、2 2） 以以乘连续性方乘连续性方 程等号两边，得到：程等号两边，得到： 0 J t 量子力学的质量量子力学的质量 守恒定律守恒定律 同理可得量子力学同理可得量子力学 的电荷守恒定律：的电荷守恒定律： 0 ee J t )( 2 | ),(| 2 i JJ tr 质量密度质量密度 和和 质量流密质量流密 度矢量度矢量 )( 2 | ),(| 2 i eJeJ tree e e 电荷密度和电流密度矢量电荷密度和电流密度矢量 表明电荷总量表明电荷总量 不随时间改变不随时间改变 量子力学42 二、再论波函数的性质 （1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态 由由 Born Born

43、 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了 粒子在空间的几率分布，即粒子在空间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|d (r, t) = |(r, t)|2 2 d d 2. 2. 已知已知 (r,t)(r,t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就 都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。 所以波函数又称为所以波函数又称为状态波函数或态函数。状态波函数或态函数。 3. 3. 知道体系所受力场和相互作用

44、及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由 SchrodingerSchrodinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。 （2）波函数标准条件）波函数标准条件 1. 根据根据Born统计解释统计解释 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在是粒子在t 时刻出现在时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求点的几率，这是一个确定的数，所以要求 (r, t)应是应是 r, t的单值函数且有限。的单值函数且有限。 量子力学43 l右式含有右式含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域

45、 是任意选取的，所以是任意选取的，所以S是任意闭合面。要使积分有意义，是任意闭合面。要使积分有意义， 必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、 连续且其一阶导数亦连续。连续且其一阶导数亦连续。 概括之，波函数在全空间每一点通常应满足概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连单值、有限、连 续续三个条件，该条件称为三个条件，该条件称为波函数的标准条件波函数的标准条件。 Sd i SdJdtr dt d S S 2 ),( 2.2.根据粒子数守恒定律根据粒子数守恒定律 : : 量子力学44 量子力学基本假定 I、 II 量子力学基本

46、假定量子力学基本假定 I I 波函数完全描述粒子的状态波函数完全描述粒子的状态 量子力学基本假定 II 波函数随时间的演化遵从波函数随时间的演化遵从 Schrodinger 方程方程 量子力学45 （一）定态（一）定态Schrodinger方程方程 （二）（二）Hamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 （三）定态的性质（三）定态的性质 （四）求解定态问题的步骤（四）求解定态问题的步骤 2.5 2.5 定态定态 SchrodingerSchrodinger方程方程 量子力学46 一、定态Schrodinger方程 现在让我们讨论现在让我们讨论 有外场情况下的定态有外场情况下的定态

47、 Schrodinger 方程：方程： ),()( 2 ),( 2 2 trrVtr t i )()(),(tfrtr )( 2 )()()( 2 2 rVtftf dt d ri E )()( 2 )()( 2 2 rErV tEftf dt d i 令：令： / )( iEt etf Et i ertr )(),( 于是：于是： )( 2 )( 1 )( )( 1 2 2 rV r tf dt d tf i )()(tfr 两两边边同同除除 等式两边是相互等式两边是相互 无关的物理量，无关的物理量， 故故应等于与应等于与 t, t, r r 无关的常数无关的常数 V(r)V(r)与与t t

48、无关时，可以无关时，可以 分离变量分离变量 量子力学47 该方程称为该方程称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程， (r)也可称为定态波也可称为定态波 函数，或可看作是函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的定态波函数。的定态波函数。 此波函数的角频率此波函数的角频率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态时的能量。所描写的状态时的能量。 也就是说，此时也就是说，此时体系能量有确定的值体系能量有确定的值，所以这种状态称为

49、所以这种状态称为 定态，波函数定态，波函数(r,t)(r,t)称为定态波函数。称为定态波函数。 Et i ertr )(),( )()( 2 2 2 rErV 空间波函数空间波函数(r)(r)可由可由 方程方程 具体问题具体问题(r)应由满足的边界条件得出。应由满足的边界条件得出。 量子力学48 二、Hamilton算符和能量本征值方程 1.Hamilton 1.Hamilton 算符算符 ),()( 2 ),( 2 2 trrVtr t i 算算符符。亦亦称称 量量，称称为为 与与经经典典力力学学相相同同， Hamilton HamiltonH )()( 2 )()( 2 2 rErV tE

50、ftf dt d i EV E t i 2 2 二方程的特点：二方程的特点：都是以一个算符作用于都是以一个算符作用于(r, t)(r, t)等于等于 E(r, t)E(r, t)。 所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 HV t i 2 2 2 是相当的。这是相当的。这 两个算符都称两个算符都称 为能量算符。为能量算符。 也可看出，作用于任一波函数也可看出，作用于任一波函数上的二算符上的二算符 )(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方

51、程： 量子力学49 2.能量本征值方程 EH EV 2 2 将将改写成改写成 一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数 学物理方法中的本征值方程相似。学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； 量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方 法中的边界条件，称为法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件波函数的自然边界条件。 因此在量因此在量 子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。

52、常量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为称为算符算符 的的本征值本征值；称为称为算符算符 属于本征值属于本征值E的的本征函本征函 数数。 由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状 态（简称态（简称能量本征态能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。 量子力学50 三、定态的性质 （1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关 nnn tr ),( 2 ),( nnnn

53、n i trJ )/exp()/exp(tiEtiE nnnn )/exp()/exp(tiEtiE nnnn )()(rr nn )/exp()/exp( )/exp()/exp( 2 tiEtiE tiEtiE i nnnn nnnn )()()()( 2 rrrr i nnnn )( rJ n （2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关 （习题习题2.1） 量子力学51 综上所述，当综上所述，当满足下列三个等价条件中的任何满足下列三个等价条件中的任何 一个时，一个时，就是定态波函数：就是定态波函数： l1. 描述的状态其能量有确定的值；描述的状态其能量有确定的值； l2. 满足定态

54、满足定态Schrodinger方程；方程； l3. |2 与与 t无关。无关。 dtrFtrF nn ),( ),( （3 3）任何不显含）任何不显含t t得力学量平均值与得力学量平均值与t t无关无关 dtiErFtiEr nnnn )/exp()( )/exp()( drFr nn )( )( 量子力学52 量子力学53 四、求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数( r, t) 和在这些态中和在这些态中 的能量的能量 E。其具体步骤如下：。其具体步骤如下： )()( 2 2 2 rErV , , 21 21 n n EE

55、E ， 本本征征函函数数 本本征征值值： /exp)(),( tiErtr nnn （1 1）列出定态）列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程 （2 2）根据波函数三个标准）根据波函数三个标准 条件求解能量条件求解能量 E E 的的 本征值问题，得：本征值问题，得： （3 3）写出定态波函数即得）写出定态波函数即得 到对应第到对应第 n n 个本征值个本征值 E En n 的定态波函数 的定态波函数 （4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数 C Cn n 1| )(| 2 drC nn 量子力学54 1. 一维无限深势阱一维无限深势阱 2. 一维势散

56、射问题一维势散射问题 3.一维一维势垒散射势垒散射 4. 线性谐振子线性谐振子 一维定态问题一维定态问题 量子力学55 （一）一维运动（一）一维运动 （二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱 （三）宇称（三）宇称 （四）讨论（四）讨论 （五）一维有限深势阱（五）一维有限深势阱 2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱 量子力学56 一一. . 一维运动一维运动 所谓一维运动就是指所谓一维运动就是指 在某一方向上的运动。在某一方向上的运动。 此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = VV(x,y,z) = V1 1(x) + V(

57、x) + V2 2(y) + V(y) + V3 3(z) (z) 形式，则形式，则 S-S-方程可在直角坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。 令令(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = E E = Ex x + E + Ey y + E + Ez z 于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程： 当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其中运动时，其 Schrodinger 方程为：方程为： ),(),(),( 2 2 2 zyxEzyxzyxVH )()()( 2 )()()(

58、 2 )()()( 2 3 2 22 2 2 22 1 2 22 zZEzZzV dz d yYEyYyV dy d xXExXxV dx d z y x 量子力学57 二二.一维无限深势阱一维无限深势阱 l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维SS方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 l（4 4）定归一化系数）定归一化系数 ax ax xV | |, 0 )( -a 0 a V(x) I II III 量子力学58 （1）列出各势域的）列出各势域的 S 方程方程 0 0 0 2

59、2 2 2 2 2 2 2 2 IIIIII IIII II dx d dx d dx d 0)()( 2 )( )()()()( 2 22 2 2 22 xExVx dx d xExxVx dx d -a 0 a V(x) I II III 势势V(x)分为三个区域，用分为三个区域，用 I 、II 和和 III 表示，其上的波函数分别为表示，其上的波函数分别为 I(x), II(x) 和和 III (x)。则方程为：则方程为： 0)( )( 2 )( 0)( 2 )( 0)( )( 2 )( 22 2 22 2 22 2 xEVx dx d xEx dx d xEVx dx d IIIIII

60、 IIII II ; )(2 ;) 2 ( 1/2 2 1/2 2 EVE 量子力学59 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IIIIII IIII II dx d dx d dx d .0 ,cossin ,0 III II I xBxA 则解为： 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在 阱壁上和阱壁阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a) = (a) =0。 （3 3）由波函数的标准条件定未知数和能量本征值。）由波函数的标准条件定未知数和能量本征值。 波函数连续