解对初值的连续性和可微性PPT优秀课件

1、2021-8-5-重庆科技学院-李可人 1 1 第三章第三章 一阶微分方程解的一阶微分方程解的 存在唯一性定理存在唯一性定理 Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE -重庆科技学院-李可人 3.3 解对初值的连续性和可解对初值的连续性和可 微性微性 /Continuous and differentiable dependence of the solutions/ 2021-8-5 3 3 -重庆科技学院-李可人 解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性 本节要求本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖

2、性定理；了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理。了解解对初值及参数的可微性定理。 内容提要内容提要 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人4 4 3.3.1 解对初值的对称性定理解对初值的对称性定理 设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件， ),(,),( 0000 yxxyGyx 是初值问题 00) ( ),( yxy yxf dx dy 的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调 换其相对位置，即在解的存

3、在范围内成立着关系式 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability ),( 00 yx),(yx ),( 00 yxxy 2021-8-5 5 5 -重庆科技学院-李可人 3.3.2解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理 假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希 茨条件，),(,),( 0000 yxxyGyx是初值问题 00 yxyyxf dx dy )(),( 的解，它于区间 有定义 ，那么， 对任意给定的 ，必存在正数， 使得当 bxa)(bxa 0 0),(ba 22

4、 00 2 00 )()(yyxx 时，方程满足条件 的解 00 yxy)(),( 00 yxxy在区间 bxa也有定义，并且 bxayxxyxx 0000 ,),(),( 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 6 6 引理引理 如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足 利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1) 任意两个解 在它们公共存在区间成立 不等式 )()(xx及 0 00 xxL exxxx )()()()( 其中 为所考虑

5、区间内的某一值。 0 x 证明证明设 在区间 均有定义，令)(),(xxbxa 2 )()()(xxxVbxa 不妨设因此，有( )( )xx 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 7 7 则 )()()()()(xxxxxV2 ),(),()()(xfxfxx 2 )()()()(xxxxL 2)(xLV2 02 22 LxLx exLVexV)()( 于是 0 2 )( Lx exV dx d 因此，在区间 a,b 上 为减函数，有 Lx exV 2 )(

6、0 2 () 00 ( )(), L x x V xV x exxb 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 8 8 对于区间，并记令 000 txtxxxa, 则则 ),(ytf dt dy 并且已知它有解)(),(tyty 类似以上推导过程，令 2 )()()(ttt )()(tt2 attett ttL 0 2 0 0 ,)()( )( 注意到)()()()( 00 xVtxVt xt 及 0 2 0 0 xxaexVxV xxL ,)()( )( 因此 0

7、 2 00 ( )(), L x x V xV x eaxb axb 两边取平方根，得 0 00 xxL exxxx )()()()( 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 9 9 解对初值的连续依赖性定理的证明解对初值的连续依赖性定理的证明 （一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域 因为，积分曲线段bxaxyxxyS : 00 ),(),( 是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y) 必存在一个以它为中心

8、的开圆 使在其内函 数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理， 可以找到有限个具有这种性质的圆 并且 它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半 径， 表示 f(x,y) 于 内的相应的利普希茨常数。 ,:GCC ),(NiCi21 i r i C i L i C 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 1010 令 , i N i CG 1 则有 , GGS 且 的边界与S的距离 。对预先给定的 G 00 若取 ),max(),m

9、in( N LLLL 21 2 及 则以S上每一点为中心，以 为半径的圆的全体，连同 它们的圆周一起构成S的有界闭域 ，且 f (x，y) GD 在D上关于 y 满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 1111 （二）解对初值的连续依赖性（二）解对初值的连续依赖性 断言，必存在这样的正数 ),(),( ba 使得只要 满足不等式 22 00 2 00 )()(yyxx 则解 必然在区间 00 yx , )(),(xyxxy 0

10、0 bxa 也有定义。 由于D是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普 希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓 到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为 ),( 00 yxxy 和)(,(cc ,),(,(dcdd这时必然有.,bdac 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 1212 因为否则设 则由引理,bdac dxcexxxx xxL ,)()()()( 0 00 由 的连续性，对)(x, )(abL e 2 1 1 必存在,0 2 使得当

11、 时有 20 xx 10 )()(xx 取),min( 21 则当 22 00 2 00 )()(yyxx 0 2 2 00 2 xxL exxxx )()()()( 0 2 2 0000 xxL exxxx )()()()( 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 1313 0 2 2 00 2 xxL exxxx )()()()( 0 2 2 0000 xxL exxxx )()()()( 0 2 2 00 2 00 2 xxL exxxx )()()()(

12、2 22 () 100 2 L b a yye 22 ()2 1 4 L b a e dxc, 于是)()(xx 对一切 成立，特别地有, dcx )()(cc)()(dd 即点和)(,(cc)(,(dd 均落在D的内部，而不可能 位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间 a,b上有定义。 )(x 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 1414 )()(xxdxc,在不等式中， 将区间c，d换为a，b ，可知 ，当 22 00 2 00 )()(yyxx时，

13、有 bxayxxyxx 0000 ,),(),( 定理得证。 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5 1515 -重庆科技学院-李可人 的解 作为 的函数在 它的存在范围内是连续的。 解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理 假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希 茨条件，则方程 ),( 00 yxxy ),(yxf dx dy 00 yxx, 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differenti

14、ability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人1616 1.1. 含参数的一阶方程表示含参数的一阶方程表示 )(),( Eyxf dx dy ,),(:GyxG 2. 2. 一致利普希兹条件一致利普希兹条件 设函数),(yxf 一致地一致地关于 y 满足局部利普希兹局部利普希兹 (Lipschitz)(Lipschitz)条件条件， 为中心的球 ，使得对任何 2121 yyLyxfyxf),(),( 其中L 是与 无关的正数。 在 内连续，且在 内 G G 即对 内的每一点 都存在以 成立不等式 G ),(yx ),(yx GC ),( 1 yx),( 2 yx 3.3 Continu

15、ity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5 1717 -重庆科技学院-李可人 由解的存在唯一性定理，对每一 方程 的解唯一确定。记为 E),( 000 yxxy ),( 0 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5 1818 -重庆科技学院-李可人 解对初值和参数的连续依赖性定理解对初值和参数的连续依赖性定理 假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一 致地满足局部利普希茨条件，),(,),( 000000

16、 yxxyGyx 是方程 通过点 的解，在区间 那么，对任意给定的 ，必存在正数 bxa ,bxa 0 0 ),(ba 22 0 2 00 2 00 )()()(yyxx 时，方程满足条件 的解 00 yxy)(),( 00 yxxy 在区间 bxa也有定义，并且 bxayxxyxx 00000 ,),(),( ),(yxf G G E),( 00 yx 有定义 其中 使得当 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5 1919 -重庆科技学院-李可人 的解 作为 的函数在 它的存在范围内

17、是连续的。 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理 ),( 00 yxxy ),(yxf dx dy , 00 yxx 假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一 致地满足局部利普希茨条件，则方程 ),(yxf G G 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5 2020 -重庆科技学院-李可人 3.3.3解对初值的可微性定理解对初值的可微性定理 的解 作为 的函数在 它的存在范围内是连续可微的。 若函数 f (x,y) 以及 都在区域 G 内连续，则方程 ),( 00 yxx

18、y ),(yxf dx dy 00 yxx, y f 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 2121 解分别是下列初值问题的 00 yx , 000 ( , ) ()(,) dzf x z dxy z xf xy 0 ( , ) ()1 dzf x z dxy z x x x dx y xf yxf x 0 00 0 ),( exp),( x x dx y xf y 0 0 ),( exp ),(,( 00 yxxxf x 3.3 Continuity & di

19、fferentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 2222 证明证明 y f 由在区域 G 内连续，推知 f (x,y)在 G 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此，解对 初值的连续性定理成立，即 ),( 00 yxxy 下面进一步证明对于函数 的存在范 围内任一点的偏导数 ),( 00 yxxy 00 yxx,在它的存在范围内关于 是连续的。 存在且连续。 00 yxx , 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2

20、021-8-5-重庆科技学院-李可人 2323 设由初值 ),(),( 00000 yxxxyyxxy 和 为足够小的正数）所确定的方程的解分别为 ,)(,(),( 000000 xyxxyx 和 即 )( 0 0 dxx,fy x x )( 00 0 dxx,fy x xx 于是 )()( 000 dxx,fdxx,f x x x xx )( )( 0 00 0 dx y x,f dxx,f x x xx x )( )( 其中 .10 先证 0 x 存在且连续。 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability

21、 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 2424 注意到 及的连续性，有 y f , 1 )()( r y x,f y x,f )( 其中 具有性质 1 r 。时，且当时当0 00 0 1010 rxrx 类似地 200 0 )( )( 100 0 r,yxfdxx,f x xx x 其中 与 具有相同的性质，因此对 2 r 1 r 0 0 时，有x 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 2525 )( )( 0 1200 0 0 dx x r y x,f r

22、,yxf x x x 0 x 即 是初值问题 0000 1 )( zryxfxz zr y x,f dx dz ),()( 的解，在这里 被视为参数。 0 0 x 显然，当 时上述初值问题仍然有解。0 0 x 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 2626 0 x 根据解对初值和参数的连续性定理，知 是 000 xzxx ,的连续函数。从而存在 00 0 0 xx x lim 而是初值问题 ),()( 000 )( yxfxz z y x,f dx dz 的解。

23、 0 x 0 00 0 ( , ) (,)exp x x f x f x ydx xy 且 ，显然 00 yxx,的连续函数。它是 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 2727 再证存在且连续。 0 y 为初值 ),( 000 yyxxy ),( 000 yyx 设 )( 0 y 所确定的方程的解。 类似地可推证 0 y 是初值问题 1 )( 0 3 )(xz zr y x,f dx dz 的解。因而 x x dxr y xf x 0 3 0 ),( exp 3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability 2021-8-5-重庆科技学院-李可人 2828 其中 具有性质 3 r 。时，且当时当0 00 0 3030 ryry x xy dx y xf yy 00 0 0 0 ),( exp lim 故有 至于 的存在及连续性，只需注意到 显然它是 00 yxx,的连续函数