2021年高考数学(理)金榜冲刺卷(七)(解析版)

1、2020 年高考金榜冲刺卷（七）数学（理）（考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的1下列格式的运算结果为实数的是（）A . i 1 iB. i 1 iC. 1 i 1iD.

2、1 i 1 i【答案】 D【解析】对 A,i 1 i1 i; 对B,i 1 i 1 i; 对 C, 1 i1 i 2i; 对 D, 1 i 1 i2. 故选D.2.设集合 Ay|yex 4 ，Bx|y lg x 2 3 x ，则下列关系正确的是（）A A B B A BD eRB AC.痧ArB20【答案】C【解析】由题意A y | y 4 , B xx| 2x 3 , B A，只有C正确.3.双曲线 mx2+ y2= 1的虚轴长是实轴长的2倍，贝U m的值为【答案】C【解析】依题意，双曲线的标准方程为所以b 2a，即b24a2，也即 -m4,m4.已知等比数列an的前n项和的乘积记为A. 1

3、024B. 2048【答案】C【解析】设等比数列an的公比为由t2又 a& ajq 512，所以 q95.已知函数f(X)lnx ln(2x)，则(A . f(x) 在( 0, 2)单调递增C . f (x) 在( 0, 2)单调递减【答案】B【解析】由题意知，f(2x)ln(2D错误；又 f(x)ln x(2x)(0x) ln1，即 a21故选4Tn，若 丁2C. 4096T9 得 a6C.,所以T81,b2512，-，由于虚轴长是实轴长的 2倍,m则T8(8192故 a61,T3a235即a1q6 3a_qy= f(x)的图像关于直线xy = f (x)的图像关于点(1,1.1224096

4、 故选 C.1对称0)对称f (x)，所以f(x)的图象关于直线 x 1对称，故B正确,x 2),由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以 A , C错误，故选B.6.设x为区间 2,2内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间 1,3内的概率2为（）1NPIT xIF =0 THENELSEy -2 * A； + 1END IFPRINT yEIWC.1【答案】C1 1【解析】根据题意知，当x - 2, 0时，y= 2x -, 1；当x (0,2时，y= 2x+1 (1, 5；所以当y -,423时，x - 1, 1，其区间长度为2

5、,所求的概率为P - C.427 设实数x ,y满足2xA . 142y1410，则xy的最大值为（1249C.2252【答案】D【解析】由约束条件x 2y 142x y 10作出可行域如下:x y 6由图像可得y 10 2x，则 xy x(10 2x)2x(5x 5 xx) 222252当且仅当xI, y 5时，取等号；经检验，在可行域内，所以xy的最大值为25D8 教育装备中心新到 7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每家至少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配方案的种数为A . 35【答案】AB. 30C. 25D. 2

6、0【解析】即剩下 3台分给5个学校，有三种分法，一是都给一个学校，有5种分法；二是分给两个学校,一个2台另一个1台，有C；C：20种，三是分给三个学校，每校一台，有C； 10 种，共 5 20 10 35种.故选A.9.已知函数f x 2sin x0满足f2 , f40，且f %在区间4,3上单调，则符合条件的的值的个数为（）D. 14C. 12【答案】B【解析】由题意知函数 f x的周期T，由f0，结合正弦函数图像的特征可知所以kT2,k N，故 T 3412 1 2k,k3N ；又因为f x在区间牯上单调，符合条件的10 .设数列T，故T ，所以2 6的值有9个故选B.an 满足：ai 6

7、, an 1Sn为an前n项和，则S2020的个位数字是A . 6B. 5【答案】B【解析】6,11,2 1 2k12,即31712 , k , k2 a22 ,n N*，其中x表示不超过实数x的最大整数,4 C. 2asa4a5112141anan21,41,81,4a24_an_an2an,即从第二项开始，每项的个位数均为1,故S2020的个数数字相加之和：6 (2020 1)2025，个位数字是5做选B.2 211.如图，p为椭圆1才1上一个动点，过点P作圆C：(x 1)2 y2 1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形 PACB面积最大时,ULVPAPB的值为（569b . 52c.

8、 4628D.9A .【答案】A【解析】连接PC ,设 APC，则 APB 2 ，由切线的性质知 PA PB，所以S四边形pacb 2 1|PA 1 PA，故四边形PACB面积最大时，即 PA最大，且|pa J PC 2 1 易知当点P为椭圆的左顶点时，PC最大，所以P 2,0，如图所示，此时 AC 1，PC 3， PA 22， 所以sin -3LUV UUV PA PBUUVPAUUVPB cos2uuvPAuuv PB 12si n21 2 222 2、2 1 2 - 8 1 -395656 .故选A.12已知正方体 ABCD AB1C1D1的体积为V，点M , N分别在棱BB1，CG上，

9、满足AM MN ND1最小，则四面体AMND1的体积为（B. lVc.1v6D. iV【答案】D点M , N分别在棱BBi,CCi上，要AMMNNDi最小，将MN,ND所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面， AM,MN, ND1三线共线时,AMMN ND1最小,BBi,GN CiC,设正方体ACi的棱长为3a，则27a33 3V取BG - BC，连接NG，则AGNDi共面，在 ANDi中，设N到ADi的距离为hi273AD1x (3a)2 (3a)2 3 忌 D“N. (3a)2AN(3.2a)2 (2a)2, 22a, cosD1NAa2,10a,10a2 22a2 18a2Di N

10、A驚 SD1NA 2d1NAN sin210a22a1D1 NAAD1272怎,u 3 19 2 h= a ,2sin到平面AGNDi的距离为h2 ,VmAGNVA MGN ,(a2a) 3a1a 2a 2a, h2一22、196aVamND11壘6?疔V故选32,199二、填空题:本题共 4小题，每小题5分，共20分.13.设向量a ( 3,4)，向量V与向量a方向相反，且10 ,则向量b的坐标为【答案】6, 8【解析】因为向量 b与向量a方向相反，所以可设 b,4b J9 2 16 2 血5 2 5为 6, 8 .14.函数f X为偶函数，当x 0时,【答案】ex510,2 ,426, 8

11、，故答案【解析】设x0,则0，因fxx e ,则曲线yx为偶函数，有f x1 e,切线为过点y e e x 1，即 ex y 0 故答案为 ex y 0.1处的切线方程为xe , x 0.1,e，斜率为e的直线，故方程为15已知(2 x )(1 ax)的展开式的所有项系数之和为27,则展开式中含x2的项的系数是 .【答案】2323【解析】已知 2 x 1 ax的展开式的所有项系数之和为27，将x=1代入表达式得到31231 a 27 a 2.展开式中含x2的项的系数是2 C3 2x 1 C323.故答案为23.16.设函数h x的定义域为D，若满足条件：存在 卜：一,：丨_：，使h x在严计上

12、的值域为,则称倍胀函数”若函数f x为倍胀函数”，则实数f xax a 1中a的取值范围是 .【答案】2(1,ee)【解析】因为x ax a 1，所以函数为单调递增的函数,又因为f x为倍胀函数”，所以由题可得:am 2m an 2n .即m,n是方程:2x的两个根，即函数g(x)ax 2x有两个零点XXg (x) a ln a 2，令 g (x) a ln a 20可得ax -ln alOg aIn a2易知当x lOg a,g(x)取最小值，所以g(x)minln a2 2 2g(lOga佔)恋2也応0,2令厶t(tIn a0)此时at2at ，又因为aet，2 2所以t e，即-e，解得

13、aee，所以12ee.三、解答题：本题共 6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (12 分)如图 ABC 中，D 为 BC 的中点，AB 2、-13，AC 4， AD 3.(1)求边BC的长;BCE的面积(2)点E在边AB上，若CE是 BCA的角平分线，求cos ADC，【解析】(1)因为D在边BC上，所以cos ADB在ADB和 ADC中由余弦定理，得AD2 DC2 AC22 AD DC2 2 2AD BD AB2AD BD因为 AB 2 .13，AC 4， AD 3，BD DC，所以 9 BD2 529 BD216 0，所以 BD225，BD 5.所以边BC的长为

14、10.(2)由(1)知 ADC为直角三角形，所以 Sadc12 4 3 6，Sabc2S ADC 12 .所以S aceS BCE因为CE是 BCA的角平分线,12 AC CE sin ACE 些 BC CE sin BCE BC 10 2所以S ABCS BCE S aceS BCE2Ss BCE57s5BCE12，所以 S bce607即 BCE的面积为60 .7AB的中点,18. (12分)三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图所示设M , N分别为线段AD ,P为线段BC上的点，且MN NP.A(1) 证明：P为线段BC的中点;(2)求二面角 A NP M的余弦值.以点P是BC的中点.

15、ir(2)易平面PMN的法向量为n1uui0,1,1 .BA-uuu1,0八 3 ,BC1. 3,0，设平面ABC的法向量为uun2x, y,z，则x 0、3z 0x . 3y 00uu -n2.3,1,1，所以 cos1 1 、102 、55D1,0,0 ,N 丄,0,4，2 2设(1 )证明：设uuuBPuuu-BC1,3,03 ,0,则uuu OPuuu BC 1,3 ,0 ,uuuNP1,3 ,3因为1MN PN,-10 00,所2222【解析】取BD 的中点 0 ,建坐标系如图所示，则 A 0,0, 3 ,B 1,0,0 ,C 0, ,3,019. (12分)近期，某公交公司分别推出

16、支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1 ）根据散点图判断，在推广期内，y a bx与y c dx（c,d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2） 根据（1）的判断结果及表I中的数据，求y关于x的回归方程

17、，并预测活动推出第8天使用扫码支付 的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表所示：支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%已知该线路公交车票价为 2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码1支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优611惠的概率为-，享受9折优惠的概率为 一根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估32计一名乘客一次乘车的平均费用.参考数据:yU7xyii 17XiUii 11066_1 I其中 UiIgyi, u - Ui.7 i i【解析】（1）根据散点图

18、判断,y c dx适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数 x的回归方程类型;（2 ）由（1）知回归方程为y c dx，两边同时取常用对数得：igy lg c dx igc igd x，设igy7u， u igc igd x，又Q x 4，x2 140，i 1ig d7_.“XM7苗50 12741 547T一50.12742，把样本中心点 4,1.54 代入 u lgc lgd x，.# 7x2140 7 428即 lgc 0.25 4，解得：， ，xy 关于 x 的回归方程式为：？ 100.54 0.25X 100.54忖 3.47 lOx，把x 8代入上式得，?3.47 102347，活

19、动推出第8天使用扫码支付的人次为347人次；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z,则Z的取值可能为：2，, ，1则 P Z 20.1 ； P Z 1.80.30.15 ；211P Z 1.60.6 0.3 0.7 ； P Z 1.40.3 .36分布列为:Z2P所以，一名乘客一次乘车的平均费用为:2 0.05 1.66 (元)2 220. (12分)已知抛物线 E : y 4x，圆C : (x 3)y2 1.（1）若过抛物线E的焦点F的直线I与圆C相切，求直线I方程;（2 ）在（1）的条件下，若直线|交抛物线E于A，B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使 AMO BMO请说明理由（O为坐标原点）

20、？若存在，求出点 M的坐标；若不存在,【解析】（1）由题知抛物线E的焦点为F 1,0，当直线的斜率不存在时,过点F1,0的直线不可能与圆C相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为k，则所求的直线方程为 y即 kx y k 0，所以圆心到直线I的距离为3k k|,k2 12k厂当直线I与圆相切时，有d2kk2 1J3，所以所求的切线方程为 y（2 ）由（1）知，不妨设直线1，交抛物线于A花，B X2,y2 两点,込1x2 14x 10 ,所以 x-i x2 14， x-iv x 1 联立方程组3y2 4x假设存在点t,0 使 AMOBMO，则 kAM0 .而 kAMyXtkB

21、M所以kAMX1y2X2 ty1 X2t y2 X1ttx1 t x2 t%X2y?Xiyiy2 t2X2X2XiXiX2即2 14141，故存在点M 1,0符合条件当直线l : yX31时,由对称性易知点1,0也符合条件综合可知在（1）的条件下，存在点 M1,0使AMOBMO.21. （12分）已知函数xxln x ax .（1）若 f x 在 1,e上存在极小值，求a的取值范围;(2)设 g X的导函数）x的最小值为且g X0求Xq的取值范围.【解析】（1）函数f x的定义域为0,x In x1令fx 0，解得x因为在0, e a 1上,x 0 ；在 e上，f0.所以a 1f x 在 0,

22、e上单调递减，在所以解得(2)上单调递增a 1f X的极小值为f e.依题意知1e，即 e0e，所以01.a1即卩a的取值范围为x x 1 l nx ax a 11 uln x a 1，则 h x X2, 1 .所以x ln x0,所以h x在0,上单调递增11 .22所以怡是gx0即h x0的唯一实根.令 h X。0 ,得 In x1aX0110，即 In x0a 1x所以g xox1 In x0ax a 1x 1丄a 1ax0a 1x0 1.xx01彳3”口11由题意得Xo1，解得x02 所以x。的取值范围为,2 .Xo222（二）、选考题：共1022、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4:坐标系与参数方程】（10分）曲线Ci的参数方程为Gx 2t 1y 2t 3（七为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长26度建立极坐标系，曲线 C2:2acos a 0关于G对称.（1 ）求G极坐标方程，C2直角坐标方程;（2）将C2向左平移4个单位长度，按照x x、3 变换得到C3； C3与两坐标轴交于 代B两