2003-《微积分》(上)试卷解答.doc

1、杭州商学院2003 2004 学年微积分 （上）试卷解答一、填空题（每小题2 分，共 20 分）1、已知 f ( x) 的定义域为1,4 ，则 f (x1)f (3x) 的定义域为 1 , 4。332、设 f (x)2arcsinx ，则其反函数 f1 (x)3sin x , x,。323、若f (x)1x2 , x 1f ( f (0)0 。，则x1,x14、 lim( x2sin 1x21 sin x) 1。xx1xx5、要使函数 f (x)sin(sin x) 在 x0 处连续，须补充定义 f (0)1。x6、设 f (1x)f(1)3x 4(x)25(x)3 ，则 f (1)3 。7、

2、设 f ( 1)1x ，则 dy(112 dx 。xxx)8、f ( x)ln(12) 在0,1 上满足拉格朗日中值定理的点11ln 2 2 。xln 29、曲线 y1的垂直渐近线是 x0, x1 。xx210、 sin2xdxxsin 2xC 。24二、选择题（每小题2 分，共 10 分）1、若 lim f (x)， lim g( x)x x0x x0（A ） lim f ( x)g( x)xx0k ， k 为常数，则必有（）。（B） lim f ( x)g (x)xx0（C） limf (x)（D） lim g (x)xx0g( x)xx0f ( x)2、下列函数在1,1 内可微的有（）。

3、2（A ） yx 3sin x（B） yx2 sin 2 x（C） yx2 cot x（D） yxsin x3、若 y1 (x) 与 y2 ( x) 的弹性分别是 a,b ，则 yy1( x) y2 ( x) 弹性是（）。（A） a b（B） a b（C） ab（D） a (b 0)b14、曲线 y(2x)3在 2,内（）。（A）下降下凹 （B）上升上凹 （C）下降上凹 （D）上升下凹5、设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则下式中正确的是（）。（A ）f ( x) dx ln F ( x) C（ B）f ( x) dx ln F (x) Cf ( x)f (x)（C）f ( x)

4、dx ln F ( x) C（ D） F (x) dx ln F ( x) CF ( x)f ( x)三、计算题（每小题 6 分，共 48 分）1、 lim( n4n1n2 )(3n4) 。n(n1)(3n4)(11 )(34 )3nn解：原极限lim42lim2nnn1nn1111n3n412、 lim( x ex ) x 。x 01 ln( xex )lim ln( xex )lim 1 exe2解：原极限lim exex0xex 0 x e xx03、设 f (x)xarctan xln1x2，求 f(1) 。解： f ( x)arctan xx1xarctan x,f (1)1x21x

5、21x244、已知方程 exe yxy 确定了函数 yy( x) ，求 dy 。解：方程两边关于 x 求导，得 exy e yyxyyexydyexy dxe yxe yx5、设函数f 可微，且 yf (sin 2 x)f (cos2 x) ，求 y 。解： yf(sin 2 x) 2sin x cosxf (cos 2 x) 2cos x sin xsin 2x( f(sin 2x)f (cos2 x)6、 (tan2 x e x 32 x ) dx 。xe x 32x解： I29dxtan xxsec x 1eln 9C17、x9dx 。204x10x20解： I1d( x102)1arc

6、tan x102C10( x102) 2424048、x2 arcsinxdx 。解 I1arcsin xdx31 x3 arcsin x1x3dx1 x3 arcsinx1( x2 1)x x dx3331 x2331 x213arcsin x11 x2d (1x21d (1 x2 )3x6)1x261 x3131arcsin x(1 x2 ) 21x2C393四、应用题（每小题2 分，共 18 分）1、当某商品以每件500元价格出售 x 件时，所获利润为x2L ( x) 200x1000036（元），求平均成本最小时的产量及利润。解： C ( x)R( x)L( x)500x 200 xx

7、2x23610000 300x1000036C(x)300x 10000 ， C( x)11000036x36x2令 C ( x) 0x 600 ， L(600) 200 600600210000 100000362、已知曲线 yax2 与 yln x 相切，求：（ 1）常数 a ；（ 2）切点处的切线方程；（3）该切线与两坐标轴所围图形的面积。解：（ 1） (ax 2 ) 2ax ； (ln x)1 。xax2 与 ln x 相切，1，且 ax2x2 1 ， a112axln xln x x e2x2a2a121a1x21 ， e22a2a2e1111112)ln e22)e2（2） y(e2， y (e1e2111切点处切线方程：( xe2 )ye 221 ，令 y 01（3）在切线方程中令 x 0 yx1 e222该切线与两坐标轴所围图形的面积： S111 e211 e212228五、证明题（ 4 分）设函数 f ( x) 在 a,b 上连续，在a, b 内可导，试证：存在点a, b ，使得 f ( )f (ab) 。证明：设 F (x)f (x)f ( abx)F ( x) 在闭区间a,b 上连续，在a, b 内可导，且F (a)f (a)f (aba