《中值定理》ppt课件

1、第三章第三章 中值定理与导数运用中值定理与导数运用 3.1、中值定理、中值定理 I、知识要点、知识要点 一、罗尔定理一、罗尔定理 二二 、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 四、四、 泰勒公式泰勒公式 1、带拉格朗日余项的泰勒公式、带拉格朗日余项的泰勒公式 )()( ! )( )( !2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 2、带皮亚诺余项的泰勒公式、带皮亚诺余项的泰勒公式 f(x)在在x0处处f n(x0)存在，那么有存在，那么有 )()()( 000 xxxfx

2、fxf )()( ! )( 00 0 )( nn n xxoxx n xf 即即 Rnx= oxx0n n阶泰勒公式的佩亚诺余项阶泰勒公式的佩亚诺余项 3、根本初等函数的麦克劳林公式、根本初等函数的麦克劳林公式 )( ! 2 1 2 n n x xo n xx xe ! 5! 3 sin 53 xx xx)( )!12( )1( 212 1 nn n xox n )( )!2( )1( ! 4! 2 1cos 12 242 n n n xo n xxx x )1(x 1 x 2 x n x)( n xo !2 )1( ! n )1()1( n )1ln(x x 2 2 x 3 3 x n x

3、n )( n xo 1 )1( n II、典型例题、典型例题 一、利用中值定理证明中值等式一、利用中值定理证明中值等式 1、利用罗尔定理证明中值等式、利用罗尔定理证明中值等式 例例1、 0)()( ff分分析析： ，利用罗尔定理即可。，利用罗尔定理即可。证明：令证明：令)()(xfex x 0)()( fefe 0 )( x x xfe 为为一一实实数数） 使使证证明明 上上可可导导，上上连连续续，在在在在设设 ( . 0)()(),(, 0)()( ),(,)()1( ffbabfaf babaxf 函函数数或或利利用用解解微微分分方方程程求求原原 即即换成换成中中把把,0)()(xff 0

4、)()( xfxf )( )( xf xf 两边积分两边积分 1 | )(|lnCxxf x Cexf )(Cexf x )( ，利利用用罗罗尔尔定定理理即即可可。令令)()(xfex x )( )()(: xg exfx 令令证证明明 0)()()( ),(, 0)()( ),(,)(),()2( fgf babfaf babaxgxf 使使得得证证明明 上上可可导导，上上连连续续，在在在在设设 常用辅助函数：常用辅助函数：xk f(x)，ex f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x) (xx0)k f(x)， 等。等。 )( )( , )( xg xf x xf 2 利用拉格朗日、柯

5、西中值定理利用拉格朗日、柯西中值定理 . )()( )(),( :),(,)()1( b aff fba babaxf 使使 上可导，证明上可导，证明上连续，在上连续，在在在设设例例2、 ).()()( )()( )( afbff b aff f 分析：要证分析：要证 拉格朗日值定理。拉格朗日值定理。 利用利用，在，在证明：令证明：令,)()()(baxfbxx 罗尔定理。罗尔定理。 利用利用，在，在也可令也可令,)()()()(baxafxfbxx (2) 设设 f (x) 在在a,b上延续，在上延续，在(a,b)内可导，内可导， 证明：存在一点证明：存在一点,(a,b)使使 2 )()(

6、)( fba f 证证 )(xf在在a ，b上由拉格朗日中值定理得上由拉格朗日中值定理得 )1( )()()(baabfafbf 2 )(),(xxgxf 在在a ，b上由柯西中值定理得上由柯西中值定理得 )2( 2 )()()( 22 ba f ab afbf 由由(1),(2)得得 2 )()( )( fba f 3 利用拉格朗日结合介值定理利用拉格朗日结合介值定理 1)(),1 , 0(, 1) 2 1 (, 0)1()0( )1 , 0( 1 , 0)(3 ffff xf 使使证明证明 上可导，上可导，上连续，在上连续，在在在设设例例 证明证明 上上连连续续，在在令令 1 , 2 1

7、)()(xxfxF 0 2 1 1 2 1 ) 2 1 () 2 1 ( fF 011)1()1( fF 0)(,1 , 2 1 11 f）（根据零点定理，知根据零点定理，知 ，上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件，在在又又0)( 1 xF 1)(, 0)(),1 , 0(), 0( 1 fF即即使使 二、函数恒等式的证明二、函数恒等式的证明 x exffxfxf xf )(, 1)0(),()( ),()( 则则且且 满满足足在在证证明明：若若函函数数 0)()()( xx exfexfx 所以所以 fx= C ex ，再由，再由 f0= 1 C = 1， 所以所以 fx= ex 。 x

8、 e xf x )( )( 令令证证明明 例例1、 的反函数。的反函数。是是证明：证明： 且且单调增加有连续导数，单调增加有连续导数，例例 )()(,)()( )(, 0)0()(2 00 xfxgabdxxgdxxf baffxf ba ),()()()( )( 00 ttfdxxgdxxftF tft 证证明明：令令 0)()()()()()( tftf ttftfgtftF CtF )(0)0( F 0)( tF 0)( aF特特别别 三、泰勒公式三、泰勒公式(带佩亚诺余项的麦克劳林公式带佩亚诺余项的麦克劳林公式) 用用 于极限运算于极限运算 )( 2 )( ( )() 2 ( ! 2

9、1 2 1 )( ! 4! 2 1 lim 2 2 2 42 22 5 42 0 xo x xxx xo xx xo xx x )1ln( cos lim 2 2 0 2 xxx ex x x )( 2 1 )( 4! 2 1 ! 4 1 lim 44 44 0 xox xox x 6 1 例例1 .)2cos(cos 3 2 , 01阶阶无无穷穷小小的的是是设设例例xxxx 2、泰勒公式用于无穷小的阶的估计、泰勒公式用于无穷小的阶的估计 2 .,50 sin)cos()(2 baxx xxbaxxf 阶无穷小，求阶无穷小，求的的时为时为当当 ，若若例例 x b xaxxf2sin 2 sin

10、)( 解解 0 ! 32 1 bab ba . 3 1 , 3 4 ba )() ! 5! 4 ( ) ! 32 ()1( 55 3 xox bab x bab xba 3、泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数、泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数 例例1 fx在在x = 0的某邻域内二阶可导，且有的某邻域内二阶可导，且有 1 )(sin lim 3 0 x xxfx x 求求 )0( ),0( ),0(fff 解解 由题设可得由题设可得 3 0 )(sin lim x xxfx x 3 2243 0 )( ! 2 )0( )0()0()( ! 3 1 lim x xox f xffxxoxx x

11、 1 )( ! 3 1 ! 2 )0( )0()0(1 lim 3 332 0 x xox f xfxf x 1 ! 3 1 2 )0( , 0)0( , , 01)0( f ff 3 7 )0( , 0)0( , 1)0( fff 3.2、洛必达法那么、洛必达法那么 I、知识要点、知识要点 型极限型极限 0 0 一、一、 ;)()(,)1(都都趋趋于于零零及及函函数数时时当当设设xFxfax (洛必达洛必达LHospital法那么法那么) ; 0)( )()(,)2( xF xFxfa 都存且都存且 及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在 );( )( )( lim)3(或为无穷大或为无穷

12、大存在存在 xF xf ax . )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax 那那末末 二、二、 ;)()(,)1( 都趋于都趋于及及函数函数时时当当设设xFxfax 型极限型极限 ; 0)( )()(,)2( xF xFxfa 都存且都存且 及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在 . )( )( lim )( )( lim );( )( )( lim)3( xF xf xF xf xF xf axax ax 那末那末 或为无穷大或为无穷大存在存在 型型未未定定式式解解法法三三、 00 ,1 ,0 ,0 方法方法: :将其它类型未定式化为将其它类型未定式化为,

13、0 0 型型 0. 1 步骤步骤: )( 1 )( )()( xg xf xgxf 或或 )( 1 )( )()( xf xg xgxf 化为化为 ., 0 0 型型 . 2 步骤步骤:经过通分、变量代换化为经过通分、变量代换化为 , 0 0 步骤步骤: 型型 00 ,1 ,0. 3 )(ln)()( )( xfxgxg exfy II、典型例题、典型例题 方法：先化简初等变换、等价无穷小交换、非零方法：先化简初等变换、等价无穷小交换、非零 因子极限先求出、变量交换，再用洛必达法那么因子极限先求出、变量交换，再用洛必达法那么 一、一、 利用洛必达法那么求极利用洛必达法那么求极 限限 xx ex

14、 x x 2sin 1 lim1 3 2 0 2 例例 4 2 0 8 1 lim 2 x ex x x 2 0 2 8 1 lim t et tx t x 16 1 16 1 lim 0 t e t x ) 1 1ln(lim 2 x xx x ) 1 ()1ln( 11 lim 2 0 t xt tt t 令令原式原式 解：解： 2 0 )1ln( lim t tt t t t t 2 1 1 1 lim 0 2 1 )1(2 lim 0 tt t t 例例2 ) 1 sin 1 (lim 22 0 xx x xx xx x 22 22 0 sin sin lim 原式原式 4 0 )si

15、n)(sin( lim x xxxx x 3 0 sinsin lim x xx x xx x 2 0 3 cos1 lim2 x x x 3 1 3 2 1 lim2 2 2 0 x x x 例例3 解解 n n n)arctan 2 (lim4 例例 解法一：解法一： 原极限原极限 1arctan 2 lim xx x e 1 arctan2 lim x x x e 解法二：先求解法二：先求: xx x arctan 2 lnlim 1 arctanln 2 ln lim x x x 原极限原极限 . 2 e . 2 1 1 1 arctan 1 lim 2 2 x xx x ) 1 (

16、1 2 lim 2 2 x x x e . 2 e 注：数列极限利用函数极限来求注：数列极限利用函数极限来求 2 1 0 )1ln( 1 )1(lim x x x x x x x )1( )1ln()1( lim 0 xx xxx e x 2)1(2 )1ln( lim 0 e x x e x x ex x x 1 0 )1( lim 例例5、 ) 0 0 ( 例例6 设设f(x)在在x0二阶可导，求二阶可导，求 2 000 0 )(2)()( lim h xfhxfhxf h 解解 ： 0 0 但不可再用洛必达法那么，但不可再用洛必达法那么， h hxfhxf h 2 )()( lim 00

17、 0 原式原式 下一步应利用二阶导数定义下一步应利用二阶导数定义 ： 0 0 h xfhxfxfhxf h 2 )()()()( lim 0000 0 )()( 2 1 00 xfxf )( 0 x f ., ) 2 1 (arccos3 2 1 7 ba xaxx b 无无穷穷小小，求求 为为等等价价与与时时，当当例例 1 2 2 1 2 1 ) 2 1 ( 1 1 3 lim ) 2 1 ( arccos3 lim b x b x xab x xa x 解解 1 ) 2 1 (3 6 lim 1 2 1 b x xab 132, 01 bab 有一阶连续导数有一阶连续导数在在证明证明 有二阶连续导数，且有二阶连续导数，且在在设设例例 0)( , 0)0( 0 )( )( , 0)0(),()(8 xxF xf x x xf