第二章流体静力学 2

1、 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P1 第二章第二章 流体静力学流体静力学 第一节第一节 静止流体中应力的特性静止流体中应力的特性 第二节第二节 流体平衡微分方程流体平衡微分方程 第三节第三节 重力作用下流体静压强的分布重力作用下流体静压强的分布 第四节第四节 液体相对平衡液体相对平衡 第五节第五节 液体作用在平面上的总静压力液体作用在平面上的总静压力 第六节第六节 液体作用在曲面上的总静压力液体作用在曲面上的总静压力 第七节第七节 浮力及浮潜体稳定浮力及浮潜体稳定 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P2 本章学习要点：本章学习要点： 1.静止流体中静止流体中应力应力的的特性

2、特性。 2.流体流体平衡微分方程平衡微分方程。 3.静止液体和相对静止液体静止液体和相对静止液体压强压强的的分布分布。绝对压强、。绝对压强、 相对压强、真空度。测压管水头。相对压强、真空度。测压管水头。 4.液体作用在液体作用在平面平面上的总上的总压力压力。压力中心。压强分布。压力中心。压强分布 图法。图法。 5.液体作用在液体作用在曲面曲面上的总上的总压力压力。压力体。压力体。 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P3 流体质点之间不存在相对运动，内部无流体质点之间不存在相对运动，内部无 切应力，或对选定的坐标系无相对运动的流切应力，或对选定的坐标系无相对运动的流 体。体。 绝对绝对

3、静止静止 相对相对 静止静止 对静止坐标系无相对对静止坐标系无相对 运动，质量力为重力运动，质量力为重力 对动坐标系无相对运动，对动坐标系无相对运动， 质量力为重力质量力为重力+惯性力惯性力 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P4 静止流体中任一点应力的特性：静止流体中任一点应力的特性： 1、表面应力只可能是压应力，即压强，方向、表面应力只可能是压应力，即压强，方向 垂直作用面，与垂直作用面，与内法线方向重合。内法线方向重合。 2、大小各向相等，与作用面的方大小各向相等，与作用面的方 位无关。位无关。 即有：即有： pppp zyx 第一节第一节 静止流体中应力的特性静止流体中应力的特

4、性 A pn p N N B p 说明：说明： 静止流体中不同点的压强一般是不等的。静止流体中不同点的压强一般是不等的。 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P5 （1）运动状态下的实际流体产生切应力，即）运动状态下的实际流体产生切应力，即 )( 3 1 zyx pppp 运动流体与理想流体中的压强：运动流体与理想流体中的压强： （2）运动流体是理想流体时，不会产生切应力）运动流体是理想流体时，不会产生切应力 pppp zyx 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P6 第二节第二节 流体平衡微分方程流体平衡微分方程 x向受力：向受力： 表面力表面力 d ()d d 2 p x py

5、 z x d ()d d 2 p x py z x 质量力：质量力：d d d x fx y z泰勒级数展开泰勒级数展开 Fx=0，则：，则： dd ()d d()d dd d d0 22 x pp xx py zpy zfx y z xx 整理得：整理得： 1 0 x p f x dx y o A x B p(x,y,z) p - p x dx dz 2 M dy D A z D dxp C x p+ B 2 C 一、流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程欧拉平衡方程欧拉平衡方程 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P7 1 0 1 0 1 0 x y z p f x p f y p f

6、 z 流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）： 物理意义物理意义：处于：处于平衡状态平衡状态的流体，单位质量流体所的流体，单位质量流体所 受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变 化率（化率（ ）等于该轴向单位体积上的质量力的）等于该轴向单位体积上的质量力的 分量分量（ fx, fy, fz ）。）。 z p y p x p , （1） 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P8 二、流体平衡微分方程的综合式二、流体平衡微分方程的综合式 dddd ppp pxyz xyz d(ddd ) xyz p

7、fxfyfz p = p(x,y,z) （1）式各项依次乘以）式各项依次乘以dx,dy,dz后相加得后相加得： 1 ddd(ddd ) xyz ppp fxfyfzxyz xyz 压强全微分压强全微分 1 0 1 0 1 0 x y z p f x p f y p f z 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P9 d(ddd ) xyz pfxfyfz式式 的物理意义：的物理意义： 若若 为常数，令为常数，令 p / =w(x,y,z) ，则则 d()d( )dddddd xyz p fxfyfzxyz www w xyz 表明表明w为势函数，力为势函数，力 f 为有势力。为有势力。 结

8、论：结论： a. 常密度流体只有在有势质量力作用下，才能维持平衡。常密度流体只有在有势质量力作用下，才能维持平衡。 b. 重力、惯性力是有势力。重力、惯性力是有势力。 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P10 三、等压面三、等压面 0 ddd0 d d xyz p fxfyf pp z C ， 等压面（等压面（Equipressure Surface）：）：是指流体中压强相等是指流体中压强相等 （p=C）的各点所组成的面。）的各点所组成的面。 可见，等压面可见，等压面 就是等势面就是等势面 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P11 常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的

9、常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的 两种流体的交界面。两种流体的交界面。 A B 1 2 2 dpdW 1 dpdW 油油 水水 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P12 证明：证明： 等压面重要性质等压面重要性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交 于等压面。于等压面。 dddd xyz ff if jf k sxiyjzk dddd0 xyz fsfxfyfz d0fs x y z f s 得证。得证。 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P13 第三节第三节 重力作用下流体静压强的分布重力作用下流体静压强的分布 一、一、流

10、体静力学基本方程流体静力学基本方程 代入流体平衡微分方程的综合式：代入流体平衡微分方程的综合式： d(ddd ) xyz pfxfyfz 重力作用下静止流体重力作用下静止流体质量力质量力： 0 xyz fffg ， ddpg z pgzC p zC g （1） G 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P14 2 2 p z g = 对静止流体中任意两点有对静止流体中任意两点有: 2 2 1 1 P z P z 或或 P m smmkgm N 232 / 1 （量纲分析的单位 （2） 1 1 p z g 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P15 p2 / g 0 0 z1 z2 p

11、1 / g (1) (2) hPzzgPP 12112 )( h ghPP 0 对静止液体中的对静止液体中的1 1、2 2点列基本方程可得：点列基本方程可得： 为两点位差，若为两点位差，若1 1点取于液面上点取于液面上 （3） 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P16 P P z 几何意义几何意义物理意义物理意义 Z位置水头位置水头比位能比位能 压力水头压力水头比压能比压能 测压管水头测压管水头比势能比势能 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P17 （1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）为流体静力学基本方程的三种表达式）为流体静力学基本方程的三种表达式 讨论：讨论： 1

12、 1、使用范围：、使用范围： 均质、连续、不可压、静止、质量力只受重力均质、连续、不可压、静止、质量力只受重力 2 2、静止液体中，压力随深度按、静止液体中，压力随深度按线性线性规律变化规律变化 3 3、静止液体压强、静止液体压强=液面压强液面压强+ +液柱压强液柱压强 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P18 constP 空 很小，高度很小，高度z z有限，近似认为有限，近似认为 4 4、等压面为水平面等压面为水平面 均质、连续、不可压、静止、质量力只受重力均质、连续、不可压、静止、质量力只受重力 5 5、有限空间内气体压强：、有限空间内气体压强： 教师：朱红钧 主目录主目录 章目

13、录章目录 P19 二、压强的度量二、压强的度量 1 1、表示方法、表示方法 绝对压强绝对压强Pabs （以完全真空状态下的压强为基准进行计量）（以完全真空状态下的压强为基准进行计量） 相对压强相对压强P （以当地大气压为基准进行计量）（以当地大气压为基准进行计量）P=Pabs-Pa，又称表压强，又称表压强 真空度真空度Pv （负的相对压强为真空，绝对压强小于大气压而形成真空（负的相对压强为真空，绝对压强小于大气压而形成真空 的程度）的程度） P0即即Pabs Pa，Pv= -P= Pa - Pabs 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P20 绝对真空绝对真空 00 大气压Pa P A

14、B PabsA PA PabsB PBPvB 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P21 2 2、计量单位、计量单位 以应力单位表示：以应力单位表示：Pa(N/m2) 以大气压表示：以大气压表示：atm 1个标准大气压个标准大气压atm(101.325kPa)，工程上记，工程上记at(98 kPa) 以液柱高度表示：以液柱高度表示： P h (mH2O，mmHg) 1at为为10 mH2O=735 mmHg 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P22 三、液式测压仪表三、液式测压仪表 1 1、帕斯卡原理：、帕斯卡原理： 平衡液体可将边界上外力产生的压强等值地传递给平衡液体可将边界上

15、外力产生的压强等值地传递给 液体中每一处。液体中每一处。 2 2、单管测压计、单管测压计 （采用内径（采用内径10mm 直玻璃管测量容器液体较小压强）直玻璃管测量容器液体较小压强） ghPghPP aabs , 缺点：测压液体只能是被流体本身，缺点：测压液体只能是被流体本身， 测量范围小。测量范围小。 A h 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P23 mmA haP ahP mmA mmA hP 3 3、U U型测压计型测压计 （用于测量容器中气体或液体的（用于测量容器中气体或液体的 较大压强）较大压强） 列等压面方程：列等压面方程： 当容器内为空气时，当容器内为空气时， 教师：朱红钧

16、 主目录主目录 章目录章目录 P24 11 3322 A B Pgh Pghgh 4 4、压差计、压差计 （用以量测不同点间的压强差）（用以量测不同点间的压强差） 以以2-32-3等压面列方程：等压面列方程： 112233 hhhP 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P25 5 5、倾斜式微压计、倾斜式微压计 （用以测量气体中某一处压强）（用以测量气体中某一处压强） sinlhP 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P26 作作 业业 P38 习题：习题： 2-5，2-6 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P27 第四节第四节 液体的相对平衡液体的相对平衡 液体随容器相对

17、地球运动而液体各部分之间及液体与容液体随容器相对地球运动而液体各部分之间及液体与容 器之间没有相对运动。器之间没有相对运动。 一、等加速直线运动液体的相对平衡一、等加速直线运动液体的相对平衡 h -z . M(x,y,z) 0 z z p0 x a dp （fxdx fydy fzdz） 单位质量力：单位质量力：fxacos fy0 fz（gasin ） 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P28 液面上液面上 x=z=0，p=p0 得得C=p0 0 cos (sin) sin a pga a xzp g 积分得：积分得： p= acos x+（g+asin )zC 教师：朱红钧 主目录

18、主目录 章目录章目录 P29 可得：等压面方程可得：等压面方程 cos sin a a xz 常数 g 液面方程液面方程 1 cos sin tan () a a g 0 cos sin a a zx g M点压强：点压强： 00 (sin)()pgapzz 线性分布线性分布 h 0 xyz f dxf dyf dz 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P30 二、转动液体的相对平衡二、转动液体的相对平衡 22 d(ddd )px xy yg z Cgzyxp) 2 1 2 1 ( 2222 0 pp 0 pC 22 xyz fxfy fg 一般表达式：一般表达式： 22 0 () 2

19、r ppgz g 222 xyr又又 z x y r A O x x y y O p0 g A 2 2 r 22 y 22 x 在原点（在原点（x=0，y=0，z=0）：）： 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P31 等压面簇方程等压面簇方程 自由表面方程：自由表面方程： 000 ()ppg zzpgh 2 2 1 2 r zC g 等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面。等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面。 22 0 2 r z g 0 a ppp 任一点压强：任一点压强： 说明说明：在相对平衡的旋转液体中，各点的压强随水深：在相对平衡的旋转液体中，各点的压强随水深 的变化仍是线性关

20、系。的变化仍是线性关系。 注意注意：在旋转液体中各点的测压管水头不等于常数。：在旋转液体中各点的测压管水头不等于常数。 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P32 小小 结结 dp （fxdx fydy fzdz）平衡微分方程综合式平衡微分方程综合式 重力作用时重力作用时 ghPP 0 ghPP 0 有惯性力时有惯性力时 hagPP)sin( 0 有垂直方向惯性力分量时有垂直方向惯性力分量时 无垂直方向惯性力分量时无垂直方向惯性力分量时 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P33 第五节第五节 液体作用在平面上的总静压力液体作用在平面上的总静压力 1 1、 作用力的大小作用力的大小

21、 微小面积微小面积dA的作用力：的作用力： dddsin dFp Agh AgyA 一、解析法一、解析法 结论结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力：潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力F，大小等于受压，大小等于受压 面面积面面积A与其形心点的静压强与其形心点的静压强pc之积。之积。 dsind sin ccc FFgyA gyAgh Ap A 静矩：静矩： A d c yy AA dF F M N C D hD hch y yc yD 自由液面自由液面 D C x y O dF 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P34 式中：式中：Ix面积面积A绕绕Ox轴的惯性矩。轴的惯性矩

22、。 Icx面积面积A绕其与绕其与Ox轴平行的形心轴的惯性矩。轴平行的形心轴的惯性矩。 2 c A d xx IyAIAy 2 c c Dc cc sin xxx gIII yy Fy Ay A 面积惯性矩：面积惯性矩： 22 cc A d xx yAIIyA 2 dsind D A F yyFgyA 合力矩定理（对合力矩定理（对Ox轴求矩）：轴求矩）： sin c FgyA 2 2、总压力作用点（压心）、总压力作用点（压心） 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P35 常见图形的常见图形的A、yc及及Icx值值 几何图形名称几何图形名称 面积面积A 形心坐标形心坐标yc 对通过形心轴的惯

23、性矩对通过形心轴的惯性矩Icx 矩形矩形 bh 三角形三角形 梯形梯形 圆圆 r 半圆半圆 3 12 1 bh ) 4 ( 36 1 22 3 ba baba h 4 1 4 r 2 4 964 72 r 3 36 1 bh bh 2 1 h 3 2 2 r 4 1 2 r )( 2 1 bah ) 2 ( 3ba bah 4 3 r x y h c c y yc y x h c y h x c y c x c yc y y c y c x 1 2 h 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P36 原理原理：静水总压力大小等于：静水总压力大小等于压强分布图的体积压强分布图的体积，其作用线，

24、其作用线 通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压 心心D。 适用范围适用范围：规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。：规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。 二、图解法二、图解法 2 1 2 Fghbb gh A D B h D C b 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P37 对几种不同的典型平面布置作静压分布图对几种不同的典型平面布置作静压分布图 (h2-h1) 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P38 例例 一铅直矩形闸门，一铅直矩形闸门， 已知已知h1=1m，h2=2m，宽，宽 b=1.5m，求总压力及其

25、，求总压力及其 作用点。作用点。 1122 1 ()58.8kN 2 Fghg hhb h 作用线通过压强分布图的重心：作用线通过压强分布图的重心： D 2112 1 112 2() 2.17 3() m hghg hh yh ghg hh h2 g( + ) 1 hBh2 y h1 1 h g D hhg( + ) 12 b gh1 2 h F 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P39 h Ah I hh C CX CD 3 2 )(,( 2 3 211 2 1 hhgbgha ba bah hhD 平面上总静压力等于作用在平面上压强分布图形的体积平面上总静压力等于作用在平面上压强分

26、布图形的体积 作用点：作用点：1、分布图为三角形：、分布图为三角形： 2、分布图为梯形：、分布图为梯形： h2 g( + ) 1 hBh2 y h1 1 h g D hhg( + ) 12 b gh1 2 h F gh A D B h D C b bF 小结小结 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P40 0 0P 0 0P 0cC PP Agh AP A 0 P h g sin 折 h yy cc Ay I yy c CX cD 讨论：讨论：（1）液面压强）液面压强时，液面压强的作用不考虑时，液面压强的作用不考虑 时，时， 作用点：将剩余压力折合成一定液柱高度加在原液面上作用点：将剩余

27、压力折合成一定液柱高度加在原液面上 （2）当）当 折 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P41 例：例：金属的矩形平板闸门，门高金属的矩形平板闸门，门高h=3m，宽，宽b=1m，由两根工，由两根工 字钢横梁支撑，挡水面与闸门顶边齐平，如果要求横梁所字钢横梁支撑，挡水面与闸门顶边齐平，如果要求横梁所 受的力相等，两横梁的位置受的力相等，两横梁的位置l1，l2应为多少？应为多少？ h L1 L2 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P42 解：设闸门受到水的总水平力为解：设闸门受到水的总水平力为FX 2 1 22 X h Fghbgbh 在水深在水深h1处将闸门分上、下两部分，使所受

28、水压力相等处将闸门分上、下两部分，使所受水压力相等 F1 F2 h1 L1 L2 12 1 2 FFF 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P43 22 11 11 24 Fgbhgbh 所以：所以： 1 1/22.121hhm 所以：所以： 11 2 1.414 3 Lhm 对上半部分，压强分布图的形心在对上半部分，压强分布图的形心在 1 2 3 h处，根据题意，即为处，根据题意，即为L1所在位置所在位置 F1 F2 h1 L1 L2 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P44 对于下半部分，压强分布图为梯形对于下半部分，压强分布图为梯形 1 32.1212.1212 3 2.5

29、86 32.121 3 D hhm 2 2.586 D Lhm F1 F2 h1 L1 L2 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P45 这样的这样的 曲面曲面 怎么怎么 计算计算 它的它的 压力压力 呢呢 第六节第六节 液体作用在曲面上的总静压力液体作用在曲面上的总静压力 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P46 (a)取微元相加（方向不一样）取微元相加（方向不一样） （） (b)图解法（不规则）图解法（不规则） （） (c)取微元，双向分解取微元，双向分解 （） 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P47 受受 力力 分分 析析 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录

30、 P48 对对dF先进行分解，它在先进行分解，它在x,y轴方向上的分力为轴方向上的分力为 xx ghdAghdAdFdFcoscos XCxc A XXX APAghhdAgdFF X sin sin Z ZZ Zp A FdFdF ghdAghdAgV dAx为为dA在在X向的投影向的投影 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P49 22 ZX FFF )arctan( X Z F F 方向：方向：F FX X的作用线通过的作用线通过A AX X的压力中心，的压力中心， F FZ Z的作用线通过压力体的重心而指向受压面，的作用线通过压力体的重心而指向受压面， 总压力的作用线必通过两条作

31、用线的交点，且与水平线总压力的作用线必通过两条作用线的交点，且与水平线 角角 这条总作用线与曲面的交点就是总作用力在曲面上的作用点。这条总作用线与曲面的交点就是总作用力在曲面上的作用点。 分解分解 两向分别求出两向分别求出 合成合成 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P50 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P51 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P52 vp FFZ 压力体压力体 取一根铅垂直线沿着作用取一根铅垂直线沿着作用 面的边缘移动一周割出的面的边缘移动一周割出的 以作用面为下表面，自由以作用面为下表面，自由 液面或其延伸面为上表面液面或其延伸面为上表面 的柱

32、体的柱体 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P53 压力体是由以下面组成：压力体是由以下面组成： 曲面本身；曲面本身； 通过曲面周界的铅垂面；通过曲面周界的铅垂面； 自由液面或其延续面。自由液面或其延续面。 ( (分步画法分步画法, ,例一例一，例二例二，例三例三，例四例四) ) 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P54 例例1压力体绘制压力体绘制 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P55 例例2压力体绘制压力体绘制 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P56 例例3压力体绘制压力体绘制 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P57 例例4压力体绘制压力体绘制

33、 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P58 注：若有两部分迎水面的注：若有两部分迎水面的A AX X或或A AZ Z重合，则其代数和抵消重合，则其代数和抵消 g P h 0 折然后调整液面再计算然后调整液面再计算 （1）折算成液柱高度）折算成液柱高度 XCXX APAPF 0 pZZ gVAPF 0 垂直分力垂直分力 （2）直接计算，水平分力）直接计算，水平分力 液面剩余压强液面剩余压强P P0 0对曲面的作用对曲面的作用 教师：朱红钧 主目录主目录 章目录章目录 P59 第七节第七节 浮力及浮潜体稳定浮力及浮潜体稳定 一、阿基米德定律一、阿基米德定律 阿基米德定律阿基米德定律：物体在

34、静止流体中所受到的静水总压力，仅有铅：物体在静止流体中所受到的静水总压力，仅有铅 垂向上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所垂向上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所排开的液体重排开的液体重 量量。 二、浸没物体的三态二、浸没物体的三态 浸没于液体中的物体不受其他物体支持时，受到重力浸没于液体中的物体不受其他物体支持时，受到重力G和浮力和浮力FZ 作用，所以物体有下列三态：作用，所以物体有下列三态： （3）浮体浮体：当：当GFZ，下沉到底的物体。，下沉到底的物体。 （2）潜体潜体：当：当G=FZ，潜没于液体中任意位置而保持平衡，潜没于液体中任意位置而保持平衡 即悬浮的物体。即悬浮的物体。 教师：朱红钧 主