重积分的应用(2)

1、1 四、球面坐标系下的三重积分四、球面坐标系下的三重积分 点M的直角坐标 (x, y, z) 与球面坐标系 (r, , )也形成一一对应 (原点除外) z x y M(x, y) M(x, y, 0) (r, , z) o x y 其关系是 x = r sin cos y = r sin sin z = r cos .20 ,0 ,0 r其中 2 对应坐标面为 r = 常数常数, 以以 o 为中心的球面为中心的球面 = 常数常数, 过过 z 轴的半平面轴的半平面 = 常数常数, 以原点为顶点以原点为顶点, z 为轴的圆锥面为轴的圆锥面. x y z o =常数 r =常数 =常数 3 zyx

2、zyx r z r y r x r zyx ),( ),( 由 0cossinsinsin sinsincoscoscos cossinsincossin rr rrr 4 sincoscos coscossin cossin sinsincos cossinsin sinsin rr r rr r 2222 cossinsinsinrrsin 2 r 所以 xyz zyxzyxfddd),( r rrrrrfdddsin)cos,sinsin,cossin( 2 5 一般化为先对r , 次对 , 再对 的累次积分. 注意 x2 + y2 + z2 = r2 6 例例8. 计算 ,)( 222

3、 dxdydzzyxI 其中, 是由锥面 22 yxz 与球面 2222 azyx 所围成的区域. 解解: 积分区域如图所示. ,cos,sinsin,cossinrzryrx则锥面 方程变为; 4 球面方程变为r = a, 区域变为 y x z O 运用球面坐标计算, 令 7 故 (该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.) dxdydzzyxI)( 222 ddrdrrsin 22 a drrdd 0 4 4 0 2 0 sin ).22( 5 1 5 a da 4 0 5 sin 5 2 8 例例9. 计算 ,)( 22 dxdydzyxI其中，

4、为两个半球面 )0(, 222222 bayxazyxbz 及平面z = 0所围成的区域. 解解:令,cos,sinsin,cossinrzryrx 则区域变成： 9 故 dxdydzyxI)( 22 ddrdrrsinsin 222 2 0 2 0 43 sin b a drrdd )( 15 4 55 ab 2 0 255 cos)cos1 ()( 5 2 dab 2 0 355 coscos 3 1 )( 5 2 ab 10 补充例补充例. vxI vzyxI Rzyx d )2( d)( ) 1 ( : 2 2 2 1 2222 计算 设 解解: (1) vyzxzxyzyxId)22

5、2( 222 1 vzyxd)( 222 11 r rrrdddsin 22 R rr 0 4 0 2 0 ddsind 5 5 4 R vzyx)d( )2( 222 vx d3 2 12 3 1 II 故 5 15 4 R 12 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素 dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分） 三、小结三、小结 13 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素 dzrdrddxdydz 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin 2 柱面坐标柱面坐标 球面坐标球面

6、坐标 作业：作业：P251: 1，2，3, 4, 5. .cos ,sinsin ,cossin rz ry rx . ,sin ,cos zz ry rx 14 重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用 重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用 第四节第四节 重积分的应用重积分的应用 15 一、重积分在几何上的应用一、重积分在几何上的应用 1. 平面区域的面积平面区域的面积 设有平面区域设有平面区域D, D D d 2. 体积体积 设曲面方程为设曲面方程为.),( , 0),(Dyxyxfz 则则D上的曲顶柱体体积为上的曲顶柱体体积为: D yxfV d),( 则其面积为则其面积为: 占有占

7、有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为: : zyxVddd 16 d (1) 设曲面设曲面S的方程为：的方程为： ),(yxfz ,dD ,d),( yx点点 . ),(,( 的切平面的切平面 上过上过为为yxfyxMS ,d边界为准线边界为准线以以 如图如图, ),(yx M Ad s x y z o 3. 曲面的面积曲面的面积 ;dSS为为截曲面截曲面,dA为为截切平面截切平面 SAdd 上具有上具有在在Dyxf),( ),(),(yxfyxf yx 和和连续偏导数连续偏导数 设小区域设小区域 则有则有 母线平行于母线平行于z轴的小柱面轴的小柱面, 在在xOy面上的投影区域

8、为面上的投影区域为D, Sd 17 面面上上的的投投影影在在为为xOyAdd d 22 1 1 cos yx ff d1d 22 yx ffA ),(yx M x y z s o 曲面曲面S的面积元素的面积元素 cosd A D yx ffA d1 22 曲面曲面S的面积公式的面积公式 d Ad Sd ) 1 ,( yx ffn r n r 18 (3) 设曲面的方程为设曲面的方程为),(xzhy 曲面面积公式曲面面积公式 zdxyyA xz d1 22 曲面面积公式曲面面积公式 (2) 设曲面的方程为设曲面的方程为),(zygx 曲面面积公式曲面面积公式zyxxA zy dd1 22 (1)

9、 设曲面设曲面S的方程为的方程为 ),(yxfz yxzzA yx dd1 22 xy D yz D zx D D yx ffA d1 22 曲面曲面S的面积公式的面积公式 19 x y O a a 2 解解 )0,( yx 求球面求球面, 2222 azyx 含在圆柱体含在圆柱体 axyx 22 内部的那部分面积内部的那部分面积. 例例 由对称性知由对称性知,4 1 AA 第一挂限图形第一挂限图形 axyxD 22 1 : 曲面方程曲面方程 222 yxaz a a a D1 axyx 22 x y z O yx yxa a dd 222 于是于是, , yxzz yx dd1 22 曲面面

10、积元素为曲面面积元素为 20 x y O a a 2 D1 1 dd4 222 D yx yxa a 22 42aa 极坐标极坐标 d 1 d4 22 a a yxzzA D yx dd14 1 22 0 2 cosa 0 yx yxa a dd 222 yxzz yx dd1 22 cosa 21 例例 22 yxz )0( 22 aaxyx 因曲面方程为因曲面方程为 , 22 yx x zx 22 yx y z y 所以所以,2 d2 D A 2 2 4 2 a o x z y 22 yxz axyx 22 D 22 yxz 解解 22 1 yx zz 截下的截下的有限曲面片有限曲面片的面

11、积的面积. 被柱面被柱面求曲面求曲面 a 22 (0,0,2a) 解解 解方程组解方程组 22 22 2yxaz azyx 得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周 az ayx 222 平面上的投影域平面上的投影域xOy在在 222 :ayxDxy 得得由由)( 1 22 yx a z , 2 a x zx a y z y 2 求由曲面求由曲面 所围立体的表面积所围立体的表面积. . o x y z azyx 22 22 2yxaz 和和 )0( a 23 22 1 yx zz 22 22 1 a y a x 222 44 1 yxa a 知知由由 22 2yxaz 22 1 yx zz2

12、Ayxdd2 d4 1 d 0 22 2 0 a a a 2 2 a )15526( 6 2 a 222 :ayxDxy 求由曲面求由曲面 所围立体的表面积所围立体的表面积. . azyx 2222 2yxaz 和和 )0( a xy D xy D yxyxa a dd44 1 222 24 ,)0( 2222 上上 aazyx 例例 解解 由于球为中心对称图形由于球为中心对称图形, 2222 )(Razyx 2222 )(Razyx 解得解得 问问:R取何值取何值, 设半径为设半径为R的球面的球面的球心在定球面的球心在定球面 球面球面 在定球面内部的那部分面积最大在定球面内部的那部分面积最大

13、? 不妨设球面不妨设球面 的方程为的方程为: 因为是求球面因为是求球面 在定球面内部在定球面内部 的面积的面积,故由方程 故由方程 O z y x 222 yxRaz 25 面积元素是面积元素是 yxzz yx dd1 22 yx yxR R dd 222 2222 2222 )( azyx Razyx 又由又由 a Ra z 2 2 22 : xy D 2 b 2 4 222 4a R Ryx 令令 即得出球面即得出球面 在定球面内部的在定球面内部的 那部分在那部分在xOy面上的投影区域面上的投影区域 222 yxRaz 26 所以所以 yx yxR R dd 222 极坐标极坐标 a R

14、RR 2 2 2 dd 0 22 2 0 b R R , 2 3 22 2 a R RAR 而而0 2 3 22 2 a R RAR 令令 , 0 2 3 2 a R )0( R 所以所以, , 3 4 时时即即aR yxzzA yx dd1 22 .取得最大值取得最大值A xy D 222 :byxDxy 222 byx 2 4 22 4a R Rb 球面球面 在定球面内部的面积设为在定球面内部的面积设为A,则则 27 二、重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用 1、质心、质心 M M y x M M x y 质点系的总质量质点系的总质量 对对x轴的静矩轴的静矩 则该质点系的质心的坐标为则

15、该质点系的质心的坐标为 它们分别位于它们分别位于 ,),( ,),(),( 2211 处处 nn yxyxyx质量分别为质量分别为 ., 21n mmm n i i n i ii m xm 1 1 n i i n i ii m ym 1 1 (1) 平面薄片的质心平面薄片的质心 对对y轴的静矩轴的静矩 设设xOy平面上有平面上有n个质点个质点, 28 由元素法由元素法: : ,d),( yx ,d),( D y yxxM 所以所以, D x yxyM d),( ,d),(d yxxM y 设有一平面薄片设有一平面薄片, 占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D, 在点在点(x, y)处的面密度

16、为处的面密度为),(yx 假定假定 在在D上连续上连续,平面薄片的质心平面薄片的质心 ),(yx 薄片中相应于薄片中相应于 d的部分的质量近似等于的部分的质量近似等于 这部分质量可近似看作集中在点这部分质量可近似看作集中在点 (x, y)上上,于是可写出静矩元素于是可写出静矩元素: n i iiy xmM 1 n i iix ymM 1 d),(dyxyMx 29 注注 ,d 1 D x A x D y A y d 1 D A d其中其中 所以所以,薄片的质心坐标为薄片的质心坐标为 当薄片是当薄片是均匀均匀的的,质心称为质心称为 , d),( d),( D D y yx yxx M M x D

17、 Dx yx yxy M M y d),( d),( 形心形心. . 平面的面积平面的面积. . 30 设物体占有空间域设物体占有空间域 , ,有连续密度函数有连续密度函数 vzyx vzyxx x d),( d),( 则其质心坐标为则其质心坐标为 常数常数时时, , 则得则得形心形心坐标坐标 , d V vx x vVd物体的体积物体的体积. . (2) 物体的质心物体的质心 y y z z 当物体是当物体是均匀均匀的的, , d V vy y V vz z d 其中其中 M 1、质心、质心 ),(zyx 即当即当 ),(zyx 31 b 例例 求位于两圆求位于两圆,cos a cosb )

18、0(ba 之间的之间的均匀均匀薄片的质心薄片的质心. a x y O , 0 y D x A x d 1 . )(2 22 ab abab 解解 薄片关于薄片关于x轴对称轴对称. ,d 1 D x A x D y A y d 1 则则 2 2 2 22 a y a x cosa sin cos y x 22 22 ab 2 0 cos cos dcosd2 b a 质心质心 ).0 , )(2 ( 22 ab abab 32 (1) 平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量2、转动惯量转动惯量 设平面薄片占有平面区域设平面薄片占有平面区域D, D x yxI d),( D o yxI d),( 则

19、转动惯量为则转动惯量为 D 2 y 2 x )( 22 yx D y yxI d),( y xO 有连续密度函数有连续密度函数 ),(yx 33 设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , , ),(zyx vzyxI x d),()( 22 zy (2) 物体的转动惯量物体的转动惯量2、转动惯量转动惯量 则转动惯量为则转动惯量为 O x y z vzyxI y d),()( 22 zx vzyxI z d),()( 22 yx vzyxId),( 0 )( 222 zyx 有连续的密度函数有连续的密度函数 34 a b yxxI D y dd 2 b b y a xxy 0 )1( 0 2d

20、d ba 3 12 1 )1( a x by D y yxxI d),( 2 例例 解解 设一设一均匀均匀的直角三角形薄板的直角三角形薄板, ,两直角边长分别两直角边长分别 求这三角形对任一直角边的转动惯量求这三角形对任一直角边的转动惯量. . 为为a、b, 设三角形的两直角边分别设三角形的两直角边分别在在x轴和轴和y轴上轴上( (如图如图) ) y xO 对对y轴轴的转动惯量为的转动惯量为 yxyI D x dd 2 . 12 1 3 ab 对对x轴轴的转动惯量为的转动惯量为 D x yxyI d),( 2 35 用用元素法元素法求求薄片对薄片对z轴上的单位质点的引力轴上的单位质点的引力 2

21、 21 r mm kF zyx FFFd,d,d d 引力在三个坐标轴上的投影引力在三个坐标轴上的投影 zyx FFF, 3 3、引力、引力 (1)平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片设有一平面薄片, 占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D, 在点在点(x, y)处的面密度为处的面密度为),(yx 假定假定 在在D上连续上连续,计算该平面薄片对位于计算该平面薄片对位于z轴上的点轴上的点 ),(yx 处的处的单位质点单位质点的引力的引力.), 0 , 0( 0 aM)0( a 元素元素. O x y z D ), 0 , 0( 0 aM )0 ,(yx ).,( zyx F

22、FF F r 36 222 )0()0()0(ayxr 222 ayx 引力的引力的方向方向)0,(ayx 方向余弦方向余弦 r a r y r x , 薄片中薄片中 上的投影上的投影 的元素的元素: zyx FFF, , d),( d 3 r yxkx Fx , d),( d 3 r yxky Fy . d),( d 3 r yxka Fz 2 21 r mm kF 薄片中薄片中 的的大小大小近似地为近似地为 2 d),(1 d r yxk F 的部分对该质点的引力的部分对该质点的引力 d d 的对该质点的引力在三个坐标轴的对该质点的引力在三个坐标轴 O x y z D d ), 0 , 0

23、( 0 aM )0 ,(yx 37 ,d )( ),( 2 3 222 D x ayx xyx kF ,d )( ),( 2 3 222 D y ayx yyx kF .d )( ),( 2 3 222 D z ayx yx akF k为引力常数为引力常数. , d),( d 3 r yxkx Fx , d),( d 3 r yxky Fy . d),( d 3 r yxka Fz O x y z D d ), 0 , 0( 0 aM )0 ,(yx 38 3、引力、引力(2) 物体对质点的引力物体对质点的引力 设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , , ),(zyx 物体对于物体外一点物体

24、对于物体外一点 ),( zyx FFFF r 利用利用元素法元素法, , cos d),(1 d 2 r vzyx kFx cos d),(1 d 2 r vzyx kFy 有连续有连续分布分布的密度的密度 引力元素在三坐标轴上的投影分别引力元素在三坐标轴上的投影分别 空间一物体对于物体外一点空间一物体对于物体外一点),( 0000 zyxP 处的处的单位质量单位质量的质点的引力的质点的引力. . 函数函数),( 0000 zyxP 的单位质量的质点的引力的单位质量的质点的引力 为为 2 21 r mm kF 3 0)d )(,( r vxxzyx k 3 0)d )(,( r vyyzyx

25、k 3 0)d )(,( r vzzzyx k cos d),(1 d 3 r vzyx kF z 39 v r yyzyx kFyd )( ),( 3 0 3 0)d )(,( d r vxxzyx kFx 3 0)d )(,( d r vyyzyx kFy 3 0)d )(,( d r vzzzyx kFz 在在 上分别积分上分别积分, , 得得v r xxzyx kFxd )(,( 3 0 v r zzzyx kF z d )( ),( 3 0 40 F r o y z x 0 yx FF 设有面密度为常量设有面密度为常量, ,半径为半径为R的均匀圆的薄片的均匀圆的薄片 求它对位于点求它

26、对位于点 由由对称性对称性知知 , 0, 222 zRyx)0(), 0 , 0( 0 aaM 处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力. . 例例 解解 ), 0 , 0( 0 aM d )( 1 d 0 22 2 0 2 3 R a ak . 11 2 22 aaR ka 引力为引力为 d )( 1 2 3 222 D ayx ak d )( ),( 2 3 222 D z ayx yx akF 极坐标极坐标 ).,0,0( z FF r d )( ),( 2 3 222 D z ayx yx akF d )( ),( 2 3 222 D x ayx xyx kF d )( ),( 2 3 222 D y ayx yyx kF 41 求密度求密度 为常数的半圆环为常数的半圆环: )0( , 2222 ybyxa 对原点一单位质点的引力对原点一单位质点的引力. 答案答案: .ln2, 0 a b k 引力引力为为 O y x ab 42 几何应用几何应用 平面薄片、空间物体的平面薄片、空间物体的质心质心 平面薄片、空间物体平面薄片、空间物体对质点的对质点的引力引力 平面的面积平面的面积 物理应用物理应用 三、小结三、小结 曲面的面积曲面的面