专题一：立体几何大题中有关体积的求法.doc

1、专题一：立体几何大题中有关体积的求法要用到分割法7 例 已知三棱锥 P ABC ，其中 PA 4, PB PC 2 ,角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法APB APC BPC 60 求：三棱锥 P ABC的体积。P1正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 2 和 4 的 矩形，则它的体积为 2. （2011 广东卷文 9）如图，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形， 则该几何体的体积为 （ ）A 4 3 B 4CD HAC 2 3 D 2B练习3. 一个几何体的俯视图是一个圆， 用

2、斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为8 练习 如图 2，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， E，F 分别为 AB，AC 的中点，平面 E B1C1F 将三棱柱分成两部分，6 和 4 的平行四边形，则该几何体的体积为 _.求这两部分的体积之比4. 一个圆柱的轴截面是正方形， 其侧面积与一个球的表面积相等， 那么这个圆柱的体积 与这个球的体积之比为 来二、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积5 例 在边长为 a 的正方体ABCD A B C D 中， M，N，P 分

3、别是棱1 1 1 1A B，A D，A A上的点， 且满足1 1 1 1 11 3A M A B ，A1N 2 ND1， 1 1A P A A（如 图 1），1 1 12 49 练习。如图（ 3），是一个平面截长方体的剩余部分，已知 AB 4, BC 3, AE 5, BF 8, CG 12 ，G试求三棱锥A MNP 的体积1求几何体 ABCD EFGH 的体积。HFD CE BA10 四面体 S ABC 的三组对棱分别相等，且依次为 2 5, 13,5 ，S求四面体 S ABC的体积。6 练习（ 2013 年高考江西卷（文） ）如图 ,直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AB/CD,ADA

4、B,AB=2,AD= ,AA1=3,E 为 CD上一点 ,DE=1,EC=3.求点 B1 到平面 EA1C1 的距离 CAB巩固练习三、割补法11. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面为直角梯形， AD / BC , BAD 90 ， PA 垂直于底面 ABCD ，分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常PA AD AB 2 BC 2 ,M , N 分别为 PC , PB 的中点。(2)若12，求三棱锥 A BEF 的体积(1) 求四棱锥 P ABCD 的体积 V ；（2）求截面 ADMN 的面积。o ，15. 如图，已知 ABCD

5、A1B1C1D1是底面为正方形的长方体， AD1 A1 60AD1 4 ，点 P 是 AD1 上的动点AD12. 如图 , 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC3，BC4，AB 5，AA14，点 D 是 AB 的中点 .求多面体 的体积 . ADC A B C 1 1 1BB 1试求四棱锥P A B C D 体积的最大值；1 1 1 1B CPA1D1DB1 C1CC 116. 如图， AB 为圆 O的直径，点 E 、 F 在圆 O上， AB / EF ，矩形 ABCD所在的平面A A1和圆 O 所在的平面互相垂直，且 AB 2， AD EF 1 .设平面 CBF 将几何体 EFABCD

6、分成的两个锥体的体积分别为 VF ABCD ，VF CBE ，求 VF ABCD :VF CBE 13. 如图 3，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，A1D1C0ABC ，其侧面展开图是边长为 8的正方形。 E、F 分别是侧棱 AA1 、60CC 上的动点， AE CF 81B1E问多面体AE BCFB 的体积 V 是否为常数？若是，求这个常数，若不1是，求 V 的取值范围C1D MBOE FAA DFBC 图 314. 如图，已知 BCD 中， BCD 90 ，BC CD 1，AB平面 BCD ， ADB 60 ，E 、F 分别是 AC 、 AE AFAD 上的

7、动点，且 (0 1) AC AD(1)求证：不论 为何值，总有 E F平面 ABC ；专题一：立体几何大题中有关体积的求法1 1故 3 4 17 102VABCD VEFGH ABCD ABC D 2 210 把四面体 S ABC 补形成一个长方体 ADBE FSGC， 1-4 略5 解：1 1 1 1 1 1 2 3 13V V S h A MA NA P a a a a A MNP P A MN AMN 1 1 11 1 13 3 2 3 2 2 3 4 241 1三度分别是 2,3,4 则 2 3 4 8VS V 4VA FSC 2 3 4 4ABC ADBE FSGC3 26 117

8、解：作 BC的中点 D ，连接 PD、 AD ，过 P 作 PH AD ，垂足 H易证 PH 即为三棱锥 P ABC 的高，1由棱锥体积公式 V S PHP 3ABC ABC即得 三棱锥 P ABC的体积4V 2 。P ABC38 设棱柱的底面积为 S，高为 h，其体积 V Sh则三角形 AEF 的面积为14S由于1 S S 7V h S Sh，AEF A BC1 1 13 4 2 12则剩余不规则几何体的体积为7 5V V V Sh Sh Sh，AEF A BC1 1 112 12所以两部分的体积之比为V 1 1 1 :V 7: 5 AEF A B C129 首先通过梯形 ACGE , BFHD 的中位线重合，我们可以求得 DH 9 ,分别