专题07空间几何体的平行于垂直(解析版)

1、专题07空间几何体的平行于垂直1、【2021年江苏卷】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D , E分别为BC, AC的中点，AB=BC.求证：(1) A1B1 / 平面 DEC1；(2) BE丄 C1E.【解析】(1)因为D , E分别为BC , AC的中点,所以 ED / AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB / A1B1,所以 A1B1 / ED.又因为ED?平面DEC1 , A1B1平面DEC1,所以A1B1 /平面DEC1.(2) 因为AB=BC, E为AC的中点，所以BE丄AC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1丄平面ABC.又因为BE?平面A

2、BC，所以CC1丄BE.因为 Gc?平面 A1ACC1, AC?平面 A1ACC1, C1C nAC=C,所以BE丄平面A1ACC1.因为CiE?平面AiACCi，所以BE丄CiE.2、【2021年高考全国I卷文数】如图，直四棱柱ABCDABiCiDi的底面是菱形，AAi=4, AB=2, / BAD=60 E, M，N分别是BC, BBi, AiD的中点.(1) 证明：MN /平面 CiDE;(2) 求点C到平面CiDE的距离.【解析】(i)连结BiC,ME .1因为M , E分别为BBi,BC的中点，所以 ME / B(C，且ME B,C .21又因为N为A|D的中点，所以ND AD.2由

3、题设知AiBi= DC，可得BC = AD，故ME= ND ,因此四边形MNDE为平行四边形， MN / ED .又MN 平面CiDE，所以MN /平面CiDE .(2)过C作CiE的垂线，垂足为H.由可得 DE BC， DE CiC，所以DE丄平面CiCE，故DE丄CH.从而CH丄平面CiDE，故CH的长即为C到平面CiDE的距离，由可得CE=i，CiC=4,所以CiE .i7，故CH4 J7从而点C到平面GDE的距离为4 17 .173、【2021年高考全国n卷文数】如图，长方体 ABCDABiCiDi的底面ABCD是正方形,E在棱AA1上,BE丄 EC .(1) 证明：BE丄平面EBCi

4、;(2) 假设AE=A1 E, AB=3,求四棱锥E BB1C1C的体积.【解析】(1 )由得B1C1丄平面ABB1A1, BE 平面ABB1A1,故 B1C1 BE .又BE EC1，所以BE丄平面EB1C1.(2) 由(1)知/ BEB=90由题设知 RtMBE RtAA1B1E,所以 AEBA1EB1 45 ,故 AE=AB=3, AA, 2AE 6.作EF BB1，垂足为F,那么EF丄平面BB1C1C，且EF AB 3 .所以，四棱锥EBBiCiC 的体积 V - 3 6 318 .3【2021年高考全国川卷文数】图1是由矩形ADEB,Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中

5、AB=1, BE=BF=2,/ FBC=60.将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合，连结DG,如图2.(1) 证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面 ABC丄平面BCGE(2) 求图2中的四边形 ACGD的面积.【解析】(1 )由得ADPBE, CGPBE,所以ADPCG,故AD, CG确定一个平面，从而 A, C, G, D 四点共面.由得AB BE, AB BC,故AB 平面BCGE又因为AB 平面ABC,所以平面 ABC 平面BCGE(2)取CG的中点M，连结EM, DM.因为AB/ DE, AB 平面BCGE所以DE 平面BCGE故DE CG由，四边形 BCGE1菱形，

6、且/ EBC=60得EM CG,故CG 平面DEM.因此DM CG.在 RtA DEM中，DE=1, EM=、3，故 DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.【2021年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD,底部ABCD为菱形，E为CD的中点.(1) 求证：BD丄平面PAC；(2) 假设/ ABC=60,求证：平面 PAB丄平面PAE(3)棱PB上是否存在点F,使得CF/平面PAE?说明理由.【解析】(1)因为PA 平面ABCD 所以PA BD .又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC .所以BD 平面PAC.(2)因为PA丄平面ABCD AE 平面ABCD所以P

7、A丄AE.因为底面ABCD为菱形，/ ABC=60,且E为CD的中点,所以AE丄CD.所以AB丄AE.所以AE丄平面PAB.所以平面PAB丄平面PAE(3) 棱PB上存在点F,使得CF/平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF, FG, EG.1那么 FG/ AB,且 F& AB2 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，1所以 CE/ AB, 且 CE= AB2所以 FG/ CE 且 FG=CE所以四边形CEG为平行四边形.所以 CF/ EG.因为CF 平面PAE, EG 平面PAE所以CF/平面PAE【名师点睛】此题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中

8、的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力6、【2021年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， PCD为等边三角形，平面PAC 平面PCD, PA CD,CD 2, AD 3.(1) 设G, H分别为PB, AC的中点，求证： GH /平面PAD ;(2) 求证：PA 平面PCD ;(3) 求直线AD与平面PAC所成角的正弦值【解析】(1)连接BD，易知ACI BD H，BH DH .又由 BG= PG，故 GH / PD.又因为GH 平面PAD, PD 平面PAD,所以GH /平面PAD.(2) 取棱PC的中点N,连接DN.依题意，得DN丄P

9、C,又因为平面PAC 平面PCD,平面PACI平面PCD PC ,所以DN 平面PAC又PA 平面PAC故DN PA.又 PA CD , CD I DN D ,所以PA 平面PCD(3) 连接AN ,由(2)中DN 平面PAC可知 DAN为直线AD与平面PAC所成的角,因为 PCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以DN ,3.又 DN AN ,在 RtA AND 中，sin DANAD 3所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为难点突破、平行问题1. 平行问题的转化关系践俨養面百面?面男定2. 直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.

10、平面与平面平行的主要判定方法(1) 面面平行的定义；(2) 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4) 两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5) 利用“线线平行、“线面平行、“面面平行的相互转化失误与防范1. 在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否那么，会出现错误2. 在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维到“高维的转化，即从“线线平行到“线面 平行，再到“面面平行；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由 题目的具体条件而定，决不可过于“模式

11、化3. 解题中注意符号语言的标准应用.(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直 的判定定理和性质定理；(2) 线线关系是线面关系、面面关系的根底证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3) 证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要标准 二、垂直问题1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a与a内任何直线都垂直 ？ ala;m n? a , mA n = A(2) 判定定理1 :? l丄a;l丄ml丄n(3) 判定定理 2: a/ b, a丄 a

12、? b a；(4) 面面平行的性质：a / 3，a丄a? a丄卩；(5) 面面垂直的性质：a丄3, a A 3 =丨,a? a , a丄l ? a丄3 .2. 证明线线垂直的方法(1) 定义:两条直线所成的角为 90；(2) 平面几何中证明线线垂直的方法；(3) 线面垂直的性质：a丄a, b? a? a丄b;(4) 线面垂直的性质：a丄a, b/ a? a丄b.3. 证明面面垂直的方法(1) 利用定义：两个平面相交,所成的二面角是直二面角；(2) 判定定理：a? a , a丄3 ? a丄3 .4. 转化思想：垂直关系的转化(1) 证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(a/

13、 b, a丄a ? b丄a );面面平行的性质(a丄a, a / 3? a丄3);面面垂直的性质(2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直那么需借助线面垂直的性质. 因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的根本思想 .(3) 线面垂直的性质,常用来证明线线垂直 .(4) 判定面面垂直的方法： 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理 (a丄3 , a? a ? a丄3 )(5) 在平面垂直时,一般要用性质定理进行转化 .在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直垂直关系综合题的类型及解法 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的

14、转化 垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积三、解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论 第二步：证明探求结论的正确性 第三步：给出明确答案 第四步：反思回忆,查看关键点、易错点和答题标准 温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，假设得到符合情理的结论就肯定假设，假设得到矛盾就否认假设这类问题也可以按类似于分析法的格式

15、书写步骤：从结论出发“要使成立，“只需使成立 .四、证明面面关系的核心是证明线面关系， 证明线面关系的核心是证明线线关系 证明线线平行的方法：1 线面平行的性质定理；2三角形中位线法；3平行四边形法.证明线线垂直的常用方法：1等腰 三角形三线合一；2勾股定理逆定理；3线面垂直的性质定理；4菱形对角线互相垂直.五、垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：1证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行2证明线面垂直，需转化为证明线线垂直3证明线线垂直，需转化为证明线面垂直证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和直线平行，假设找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行，应用

16、线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过 直线作辅助平面来确定交线.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件标准书写步骤，如把线面平行转化为线线平行 时，必须说清经过直线的平面与平面相交，那么直线与交线平行.题型一、线线与线面的平行于垂直线线与线面的平行于垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。利用几何方法证明垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点， 求解的关键是根据线线垂直 平行、线面垂直平行、面面垂直平行这三者之间的互化关系，借助辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而将问题解决例

17、1、2021南通、泰州、扬州一调如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD侧面PAD丄底面 ABCD，底面 ABCD是矩形，DA = DP.求证：1MN /平面 PBC ；MD丄平面PAB.A【证明】在四棱锥P ABCD中，M , N分别为棱PA, PD的中点，所以 MN / AD.2分又底面ABCD是矩形，所以 BC / AD.所以MN / BC.4分又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以 MN /平面 PBC. 6分2因为底面 ABCD是矩形，所以 AB丄AD.又侧面PAD丄底面 ABCD，侧面PAD门底面 ABCD = AD , AB?底面ABCD，所以AB丄侧面 PA

18、D.8分又MD?侧面PAD，所以 AB丄MD.10分因为DA = DP,又M为AP的中点，从而 MD丄PA. 12分又PA, AB在平面 PAB内，PAA AB = A，所以 MD丄平面PAB.14分例2、2021南京、盐城二模如图，在三棱柱ABCA iBiCi中，AB = AC , AiC丄BCi , AB 1丄BCi, D, E分别是ABi和BC的中点.求证：iDE /平面 ACC iA i;标准解答i连结AiB，在三棱柱 ABCA iBiCi中，AA i / BB i且AA i= BB i，所以四边形 AA iBiB是平 行四边形.又因为D是ABi的中点，所以D也是BAi的中点.2分在厶

19、BAiC中，D和E分别是BAi和BC的中点，所以 DE / AiC.又因为DE?平面ACCiAi, AiC?平面ACCiAi,所以DE /平面ACC iAi.6分2由知DE / AiC，因为 AiC丄BCi，所以BCi丄DE.8分又因为 BCi 丄 ABi, ABi A DE = D, ABi, DE?平面 ADE，所以 BCi 丄平面 ADE.又因为AE?平在ADE，所以AE丄BCi.i0分在厶ABC中，AB = AC , E是BC的中点，所以 AE丄BC.i2分因为 AE 丄 BCi, AE 丄 BC, BCi A BC = B , BCi, BC?平面 BCCiBi，所以 AE 丄平面

20、BCCiBi. i4 分 题型二平面与平面的平行与垂直熟练掌握平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，注意条件。 例3、2021泰州期末如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点, 点E，F分别为棱PC, PD的中点. PA丄AB , PA丄AD.求证：1直线PB /平面 OEF;2平面OEF丄平面ABCD.标准解答 证明： 在厶PBD中，O为BD的中点，F为PD的中点所以 OF/ PB, 3分因为PB?平面 OEF, OF?平面OEF , 7分所以直线PB/平面OEF2解法1连结AC,因为底面ABCD为平行四边形，O为BD的中点，所以 O为AC的中点.在

21、厶PAC中，O为AC的中点，E为PC的中点，所以 OE / PA, 9 分因为PA丄AB , PA丄AD ,所以OE丄AB , OE丄AD , 11分又因为 AB n AD = A , AB , AD在平面 ABCD内，所以OE丄平面ABCD.因为OE?平面OEF，所以平面 OEF丄平面 ABCD.14分解法2 连结AC ,因为ABCD为平行四边形，所以 AC与BD交于点O, O为AC中点，又E为PC 中点，所以PA/ OE,因为PA丄AB , PA丄AD , AB n AD = A ,所以PA丄平面 ABCD ,所以OE丄平面 ABCD. 又OE?平面OEF,所以OEF丄平面 ABCD.例4

22、、2021苏州期末如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB丄BC , E , F分别是A1C1 , BC 的中点.1求证：平面 ABE丄平面 B1BCC1；求证：C1F /平面ABE.思路分析要证平面ABE丄平面BCCi，只要先证 AB丄平面BiBCCi,2要证CiF /平面ABE，只要先证 CiF平行于平面 ABE内的某条直线.取 形GFCiE是平行四边形.解： 证明：在直三棱柱 ABC AiBiCi中，BBi丄底面ABC ,因为AB?平面ABC，所以BBi丄AB.2分又因为 AB 丄 BC , BBiP BC = B, BBi, BC?平面 BiBCCi,所以AB丄平面BiBCCi

23、.4分又AB?平面ABE，所以平面 ABE丄平面BiBCCi.6分证明：取 AB中点G,连结EG, FG.因为E, F分别是AiCi, BC的中点，i所以 FG/ AC,且 FG = 2AC.8 分只要先证AB丄BiB.AB的中点G,可证四边因为 AC / AiCi,且 AC = AiCi,所以 FG / ECi，且 FG = ECi.所以四边形FGECi为平面四边形，ii分所以CiF丄EG.又因为EG?平面ABE , CiF?平面ABE ,所以CiF /平面ABE.i4分题型三 题型一、线线、线面与面面的综合问题i立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性

24、问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论 证，假设得到符合情理的结论就肯定假设，假设得到矛盾就否认假设例5、( 2021年泰州期末)如图，在四面体PABC中，PC丄AB , FA丄BC,点D, E, F , G分别是棱 AP,AC, BC, FB的中点.(1)求证：DE /平面BCF;求证：四边形 DEFG为矩形;是否存在点Q,至U四面体FABC六条棱的中点的距离相等？说明理由证明因为D, E分别是AP, AC的中点,所以DE/ PC又因为DE?平面BCP所以DE/平面BCP证明 因为D, E , F, G分别为AP AC BC PB

25、的中点,所以 DE/ PC/ FGDG/ AB/ EF所以四边形DEF平行四边形.又因为PCL AB所以DEIDG所以四边形DEFG矩形. 解 存在点Q满足条件，理由如下: 连结DF EG设Q为EG的中点，c由知,DFA EG= Q,且 QD= QE= QF= QG= ；EG分别取PC AB的中点M N,连结 ME EN NG MG MN与同理，可证四边形 MEN为矩形，其对角线交点为 EG的中点Q且QIM= QN= ；EG所以Q为满足条件的点例6、2021苏州暑假测试如图，在三棱锥PABC中，平面 PBC丄平面ABC.(1)假设 AB 丄 BC, CP 丄PB,求证：CP丄 PA;假设过点A

26、作直线I丄平面 ABC，求证：I/平面PBC.标准解答 因为平面 PBC丄平面ABC，平面PBC门平面ABC = BC, AB?平面ABC , AB丄BC,所 以AB丄平面PBC.2分因为CP?平面PBC，所以CP丄AB.4分又因为 CP丄PB,且PBA AB = B , PB, AB?平面PAB，所以 CP丄平面 PAB.6分又因为PA?平面PAB，所以CP丄PA.8分2如图，在平面 PBC内过点P作PD丄BC,垂足为 D.因为平面 PBC丄平面 ABC，又平面 PBC门平面 ABC = BC , PD?平面PBC，所以PD丄平面 ABC.11又I丄平面ABC，所以I / PD.又I?平面P

27、BC, PD?平面PBC，所以I /平面 PBC.14分解后反思 一般地，面面垂直，需要将面面垂直转化为线面垂直，找出两平面的交线后，寻找平面 中是否有直线垂直于另外一个平面，假设没有，那么在某平面内构造一条线垂直于交线即可.例7、2021南京三模如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，D为棱BC上一点.1假设AB= AC, D为棱BC的中点，求证：平面 ADCi丄平面BCCiBi;2假设 A1B /平面 ADC1, 求 DC 的值.a思路分析1要证平面 ADCi丄平面BCCiBi，只要证 AD丄平面BCCiBi可先证 AD丄BC, AD丄BiB. 要用AiB /平面ADCi的性质，需过 Ai

28、B作一个与平面 ADCi相交的平面，得 AiB平行于交线.标准解答 因为AB = AC,点D为BC中点，所以AD丄BC.2分因为ABC-AiBiCi是直三棱柱，所以 BBi丄平面ABC.因为AD?平面ABC，所以BBi丄AD.4分因为 BC A BBi = B, BC?平面 BCCiBi, BBi? 平面 BCCiBi,所以AD丄平面BCCiBi.因为AD?平面ADCi,所以平面 ADCi丄平面BCCiBi.6分连结AiC，交ACi于0,连结OD，所以0为ACi中点.8分因为 AiB /平面 ADCi, AiB?平面 AiBC，平面 ADCi A平面 AiBC= 0D，所以 AiB / OD.

29、i2 分因为O为ACi中点，所以D为BC中点，所以De = i.i4分一、填空题1、 20i8南京三模 a, B是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线，有如下四个命题：假设I丄a, I丄3,贝Uall3；假设I丄a,a丄3,贝I/ B；假设I/ a, I丄3,贝Ua丄3；假设I l a,a丄3,贝U I 3-其中真命题为 填所有真命题的序号.【答案】【解析】考查定理：垂直同一直线的两个平面平行；直线I可能在平面3内；正确；不一定垂直；2、 20i7南京、盐城二模 a, 3为两个不同的平面，m , n为两条不同的直线，以下命题中正确的选项是 填上所有正确命题的序号.假设 a/3,m?a,贝U

30、m/3;假设 m/a,n?a,贝Um/n;假设 a丄3 ,aA3= n , mln ,贝Um3；假设 n丄a ,n丄3,m丄a ,贝Um丄 3【答案】【解析】思路分析逐一判断每个命题的真假. 这是面面平行的性质，正确；只能确定 m , n没有公共点，有可能异面，错误；当 m? a时，才 能保证 m 3,错误；由 ml a, n丄a,得 m/ n,又n丄3,所以 ml 3 正确.3、 20i6南京三模 a, 3是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线,I丄a, m? 3给出以下命题： all 3? I丄m； a丄 3? I / m； m/a?l 丄 3； I 丄 3?m / a.其中正确的命题

31、是 填写所有正确命题的序号.【答案】 . 【解析】由I丄a得I丄B,又因为m? B,所以I丄m； 由I丄a a丄3,得I / B或I? 3又因为m? 3,所以丨与m或异面或平行或相交; 由I丄a m / a，得I丄m.因为I只垂直于3内的条直线 m，所以不能确定I是否垂直于3； 由 I 丄 a I 丄 3 得 a/ 3. 因为 m? 3 所以 m / a.4、2021 镇江期末 设 b c 表示两条直线 a 3表示两个平面 现给出以下命题：假设 b?a,C/ a,那么 b/ C；假设 b?a,b/C ,那么c/a；假设C /a,a_L 3,贝y C丄3；假设C /a,C丄3贝a丄3其中正确的命

32、题是 写出所有正确命题的序号 【答案】 . 【解析】b和C可能异面，故错；可能C? a故错；可能 C/ 3, C? 3故错；根据面 面垂直判定a丄3 ,故正确.5、2021 镇江期末设 a 3为互不重合的平面 m n 是互不重合的直线 给出以下四个命题： 假设 m/nn?a那么m/a； 假设 m?an?am/3n/ 3那么a/3； 假设 a/3m?an?3那么m/n； 假设 a丄3,aA3=m ,n?a,n丄m ,贝Un丄 3其中正确命题的序号为 .【答案】【解析】对于，直线m可能在平面a内，故错误；对于，没有m与n相交的条件，故错误; 对于 m 与 n 也可能异面 故错误.6、 2021 南

33、京、盐城、徐州二模平面 a 3 直线 m n 给出以下命题：假设m/ a n/3m n ,贝U a丄3；假设a/ 3 m/an/ 3 那么 m/n；假设m丄a , n丄3m n ,贝U a丄3；假设a丄3, m丄an丄3 ,贝U mn.其中是真命题的是填序号=1 【答案】【解析】如图，在正方体 ABCDAiBiCiDi中，CD /平面ABC1D1 , BC /平面ADCiBi ,且BC丄CD ,又 因为平面 ABCiDi与平面 ADCiBi不垂直，故不正确；因为平面 ABCD /平面AiBiCiDi ,且BiCi /平面ABCD , AB /平面AiBiCiDi，但AB与BiCi不平行，故不正

34、确.同理，我们以正方体的模型来观察，可 得正确.7、2021泰州期末假设 a, B是两个相交平面，那么在以下命题中，真命题的序号为 写出所有真命题的序号 假设直线m丄a,那么在平面B内，一定不存在与直线 m平行的直线； 假设直线m丄a,那么在平面B内，一定存在无数条直线与直线m垂直； 假设直线m? a,那么在平面B内，不一定存在与直线 m垂直的直线； 假设直线m? a,那么在平面B内，一定存在与直线 m垂直的直线.【答案】【解析】对于，假设两个平面互相垂直，显然在平面B内存在与直线 m平行的直线，故不正确；对于，m丄a, m 一定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线，故正确；与是对立的

35、，一定有一个是真命题，对于，假设m与两个平面的交线平行或 m为交线，显然存在，假设 m与交线相交，设交点为A,在直线m上任取一点B异于A,过B点向平面B引垂线，垂足为 C,那么直线BC丄平面3,在平 面3内作直线I垂直于AC,可以证明I丄平面ABC,那么I丄m,故正确，不正确.所以真命题的序号为 二、解答题8、2021无锡期末在四棱锥 PABCD中，锐角三角形 PAD所在平面垂直于平面 PAB, AB丄AD ,AB 丄 BC.1求证：BC /平面 PAD ；1因为 AB 丄AD , AB 丄BC,且 A, B, C, D 共面，所以 AD / BC.3 分因为BC?平面PAD, AD?平面PA

36、D，所以BC /平面 PAD.5分过点D作DH丄PA于点H，因为是锐角 PAD，所以H与A不重合.7分因为平面 PAD丄平面PAB，平面PAD门平面PAB = PA, DH ?平面PAD.所以DH丄平面PAB, 9分因为AB?平面PAB，所以DH丄AB.11分因为 AB 丄 AD , AD A DH = DAD , DH ?平面 PAD ,所以AB丄平面PAD.因为AB?平面 ABCD.所以平面 PAD丄平面 ABCD.14 分9、2021常州期末如图，正三棱柱ABCA iBiCi中，点M, N分别是棱AB , CCi的中点.求证:1 CM/ 平面 ABiN ; 平面 AiBN丄平面 AAiB

37、iB.标准解答 i设ABi交AiB于点O,连结OM ,ON.在正三棱柱 ABCA iBiCi中，BBi/ CCi,BBi= CCi, 且四边形AA iBiB是平行四边形， 所以O为ABiM为AB的中点，所以OM / BBi,且OMii=2BBi.N为CCi的中点，CN = 2CCi，所以OM = CN，且OM / CN，所以四边形 CMON是平行四边形，所以 CM / ON.5 分又ON?平面AB iN , CM ?平面AB iN，所以CM /平面AB iN.7分2在正三棱柱 ABCA iBiCi中，BBi丄平面 ABC , CM?平面 ABC，所以BBi丄CM.9分又CA = CB , M为

38、AB的中点，所以 CM丄AB.又由i知CM / ON，所以ON丄AB , ON丄BBi.又因为 AB A BBi= B, AB , BBi ?平面 AA iBiB，所以 ON 丄平面 AA iBiB.i2 分又ON?平面AiBN，所以平面 AiBN丄平面AAiBiB.i4分i0、20i9镇江期末如图，在四棱锥VABCD中，底面 ABCD是矩形，VD丄平面ABCD，过AD的平面分别与 VB , VC交于点M , N.1求证：BC丄平面VCD ;求证：AD / MN.因为底面ABCD是矩形，所以BC丄CD.4分又 CD?平面 VCD , VD?平面 VCD , CD n VD = D，贝U BC

39、丄平面 VCD.7 分2因为底面ABCD是矩形，所以 AD / BC.8分又AD?平面 VBC , BC?平面 VBC，贝U AD /平面 VBC.11分又平面 ADNM n 平面 VBC = MN , AD ?平面 ADNM，贝U AD / MN.14 分11、2021扬州期末如下图，在三棱柱ABCA iBiCi中，四边形 AA iBiB为矩形，平面 AA iBiB丄平面ABC，点E, F分别是侧面 AA1B1B, BB1C1C对角线的交点.1求证：EF /平面ABC ;2求证：BBi 丄AC.标准解答1在三棱柱ABCA iBiCi中，四边形AAiBiB，四边形BBiCiC均为平行四边形，E

40、, F分别是侧面AA iBiB , BB1C1C对角线的交点，所以 E, F分别是ABi, CBi的中点，所以EF / AC.4分因为EF?平面ABC , AC?平面ABC，所以EF/平面 ABC.8分2因为四边形 AAiBiB为矩形，所以BBi丄AB.因为平面 AA iBiB丄平面 ABC，且平面 AAiBiB n平面 ABC = AB , BBi?平面 AA1B1B ,所以BBi丄平面ABC.12分因为AC?平面ABC，所以BBi丄AC.14分12、2021苏北三市期末如图，在直三棱柱ABCAiBiCi中，D , E, F分别是BiCi, AB , AA 1的中点.(1) 求证：EF /平面 AiBD ;(2) 假设 A1B1 = A1C1，求证：平面 A1BD 丄平面 BB1C1C.标准解答1因为E, F分别是AB , AA1的中点，所以EF/ A1B.3分因为EF?平面A1BD , A1B?平面A1BD，所以EF /平面A1BD.6分2在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，BB1丄平面 A1B1C1，因为 A1D?平面 A1B1C1，所以BB1丄A1D. 8分因为A1B