_数列极限的定义

1、 数列极限的定义数列极限的定义 Sx05 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 割圆术：割圆术： 刘徽刘徽 怎样求圆的面积怎样求圆的面积S？ 如可用渐近的方法求圆的面积如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. . A1表示圆内接正表示圆内接正6边形面积边形面积, A2表示圆内接正表示圆内接正12边形面积边形面积, A3表示圆内接正表示圆内接正24边形面积边形面积, An表示圆内接正表示圆内接正6 2n-1边形面积边形面积,

2、, . . 显然显然n越大越大, An越接近于越接近于S. . 因此因此, 需要考虑当需要考虑当n时时, An的变化趋势的变化趋势. . R 二、数列的定义二、数列的定义 如果按照某一如果按照某一法则法则, , 对每一对每一n N , 对应着一个确定对应着一个确定 的实数的实数 xn, , 则得到一个序列则得到一个序列 x1, , x2, , x3, , , , xn , , , , 这一序列叫做这一序列叫做数列数列, , 记为记为xn, , 其中第其中第n项项xn叫做数列的叫做数列的一一 般项般项. . 数列举例数列举例: : 2, , 4, , 8, , , , 2n , , ; ; 2

3、1 , 4 1 , 8 1 , , n 2 1 , ; 1, , - -1, , 1, , , , (- -1)n 1, , . . 2 1 , 3 2 , 4 3 , , 1n n ; 数列数列xn可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数n的函数的函数 xn= =f(n), , n N . . 数列与函数数列与函数 数列的几何意义数列的几何意义 数列数列xn可以看作数轴上的一个动点可以看作数轴上的一个动点, , 它依次取数轴它依次取数轴 上的点上的点x1, , x2, , x3, , , , xn , , . . x1x5x4x3x2xn . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当

4、观察数列观察数列 - - - - n n n 问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一确定的是否无限接近于某一确定的 数值数值?如果是如果是,如何确定如何确定? n xn . 1 )1( 1, 1 无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 n xn n n - - - - = = 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它. = =- -1 n x nn n 11 )1( 1 = =- - - - 通过上面图形的观察通过上面图形的观察: “无限接近无限接近”的等价含义的等价含义: 想要想要xn与与1有多接近有多接近, 就

5、能有就能有 多接近多接近. ,10 2- - 给定给定, 100 11 n 由由 ,100 n只要只要;101 2- - - - n x就有就有 想要想要|xn- -1|10- -, ,10 4- - 给定给定,10 1 4- - n 由由 ,104 n只要只要;101 4- - - - n x就有就有 想要想要|xn- -1|10- -4, ,10 k- - 给定给定,10 1 k n - - 由由 ,10kn 只要只要;101 k n x - - - -就有就有 想要想要|xn- -1|10- -k, , 0, 给定给定一般地一般地, 1 n 由由 ,/1 n只要只要.1 - - n x就

6、有就有 想要想要|xn- -1| , 当当n, , xna . . 当当n, , |xn- -a|0 . . 当当n, , |xn- -a|可以任意小可以任意小, , 要多小就能有多小要多小就能有多小. . 当当n增大到一定程度以后增大到一定程度以后, , |xn- -a|N 时时, , 不等式不等式 |xn- -a | 都成立都成立, , 则称则称常数常数a是数列是数列xn的极限的极限, , 或者称或者称数列数列xn收收 敛于敛于a, , 记为记为 如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数a, , 就说数列就说数列xn没有极限没有极限, , axn n = lim或 xna (n). 或说数

7、列xn是发散的, 习惯上也说 n n x lim不存在. 0, N N , , 当当n N时时, , 有有|xn- -a| . axn n = lim 极限定义的简记形式极限定义的简记形式 “ N ” 定义定义 aa-a () v数列极限的几何意义数列极限的几何意义 axn n = lim 0, N N , , 当当n N时时, , 有有|xn- -a| . 存在存在 N N , , 当当nN时时, , 点点xn全都落在全都落在邻域邻域( (a-, , a ) )内内 任意给定任意给定a的的 邻域邻域( (a-, , a ) ), , 例例1 1：例 1. 证明 1 ) 1( lim 1 =

8、- - n n n n . axn n = lim 0, N N , , 当当n N时时, , 有有|xn- -a| . 对于 0, 要使|xn-1| , 只要 |xn-1|= nn n n 1 | 1 ) 1( | 1 =- - - . 0, 要使|xn-1| , 只要 n 1 , 即 1 n. 证明证明 ： 证明证明 因为 0, 证明证明 因为 0, 1 =NN , 当 nN 时, 有 N , 当 nN 时, 有 |xn-1|= =- - - nn n n 1 | 1 ) 1( | 1 , 所以 1 ) 1( lim 1 = - - n n n n . 例例2 2： 例 2. 证明0 )

9、1( ) 1( lim 2 = - n n n . axn n = lim 0, N N , , 当当n N时时, , 有有|xn- -a| . |xn-0| 0 ) 1( ) 1( | 2 - - = n n 1 1 ) 1( 1 2 = nn . 对于 0, 要使|xn-0| , 只要 0, 要使|xn-0| , 只要 1 1 n , 即1 1 - n. 证明：证明： 因为 0, 0, 1 1 -= NN , 当 nN 时, 有 N , 当 nN 时, 有 |xn-0|= =- - 1 1 ) 1( 1 | 0 ) 1( ) 1( | 22 nnn n , 所以0 ) 1( ) 1( li

10、m 2 = - n n n . 例例3 3： 设设|q|1, , 证明等比数列证明等比数列 1, , q , , q2, , , , qn- -1, , 的极限是的极限是0. . 对于对于 0, , 要使要使 |xn- -0|= =|qn- -1- -0|= =|q|n- -1log|q| 1就可以了就可以了. . axn n = lim 0, N N , , 当当n N时时, , 有有|xn- -a| . 证明：证明： 因为因为 0, N= = log|q| 1 N , , 当当n N时时, , 有有 |qn- -1- -0|= =|q|n- -1 , , 所以0lim 1 = - n n q. 数列