数学科学解决经济方面问题

1、1 绪论1.1 研究背景及意义1.1.1 研究背景数学科学首次用于解决经济方面问题是在17世纪的90年代，威廉配第在经济学论文政治算术中将算术引进经济学，在19世纪以前,经济学通常只运用数学科学当中的初等数学，自19世纪开始,变量及函数的概念被就用于经济学问题的解决，到20世纪40年代，世界爆发了第三次科技革命，数学和经济学更加紧密的结合在一起。数学分析方法引入到经济学研究中，使经济学以数学为工具，从定性化的研究分析方法走向了定量化，从某种意义上说，二者的完美结合是经济学走向真正科学的主要推动力量。微积分对于经济分析有着不可替代的作用.通过对于相关内容的搜索，我们可以得知目前无论是国内还是国外

2、，数学在经济学领域的应用都很广泛，国外更热衷理论技巧，我们通过平常的学习可以知道我们的应用还比较粗浅。目前来说，国内外对于微积分在金融领域的作用这一研究都进行的还比较浅显，不过却有着较为广阔的运用领域。随着经济的发展和工业水平的提高，我们更倾向于利用自然科学来解决实际问题。微积分在数学领域中，是一门很重要的理论，是随着自然科学逐渐发展形成的一门应用数学，并且得到了广泛的应用。所以研究微积分的应用就显得非常重要了。1.1.2 研究意义经济学中运用数学知识有客观因素作为基础。经济学研究的主要内容是“物的交换”，存在量化规则，而在经济学中，需求、价格以及供给等内容都属于量化概念的范畴。当经济学的研究

3、对象为复杂的事物时，可以利用多变量微积分的相关知识进行分析；导数以及全微分公式等是数理经济学中最基础的知识以及分子手段。将数学知识运用在经济学当中，复杂的经济学以及事物等则可以变得非常清晰，不需要使用多余的文字对经济学现象进行说明，数学方法能够促使科学以及经济学的理论知识等研究成果表达地更加精确、准确，检验最终的结论与假设前提条件是否存在一致或是矛盾关系，从而强化研究成果的准确性。1.2.1 研究内容在当前经济学与微积分互相作用、互相促进的时代下，本位从具体的应用入手，分析了微积分如何解决经济学问题，从而证明了微积分在经济学中的重要作用。整体来讲，本文结构总共分为以下几个部分：第一章：绪论。结

4、合微积分和经济学的历史相关，当今国内外的经济学中微积分的研究形势，分析了文章的研究背景，研究意义，梳理了文章的研究内容、研究方法以及研究技术路线。第二章：应用分析。从极限，导数，微分积分等方面结合实例分析如何应用微积分知识解决经济学中的各种问题。第三章：研究结论与研究展望。1.2.2 研究方法本文主要运用了文献研究法和案例分析法来对使用微积分解决经济学问题进行研究。在充分研读国内外相关文献后，积累了知识基础，对案例进行合理分析，提炼得出结论使文章逻辑清晰结构完整。（1）文献研究法主要从知网、谷歌、百度等相关网站和数据库查询并研究了大量与经济学应用相关的案例以及与经济学相关的学术期刊，并且从其他

5、渠道收集整理相关国内外文献，更加全面、彻底的了解经济学中微积分的应用，为使用微积分解决经济学问题打下坚实的理论基础。（2）定性分析法 对研究对象进行本质的方面的分析。运用归纳与演绎、分析与综合以及抽象与概括等方法，对获得的各种经济学案例进行模型化加工，从而能去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，达到认识经济学本质，揭示经济学内在规律的目的。（3） 定量分析法通过定量分析法，可以把研究对象精确化，以便更加科学的揭示经济学规律，把握经济学本质，理清其中的关系，预测事情发展趋势，同时使用数据定量分析，能够更直观的让人感受到经济学中的规律作用2 微积分在经济学中的应用. 1边际分析在经济函数领域,我

6、们可以通过边际分析来对经济函数的绝对改变量进行描述,同时,边际分析也可以用来诊释经济函数中的绝对变化量.某个经济量的变化会引起另一个经济量的绝对改变，是经济函数中边际分析所要研究的问题。边际分析中有两个概念“平均”和“边际”。“平均”是指某个经济量的改变引起另一个经济量的变化率，而“边际”是指当某个经济量的变化趋向于0时，这个经济量与因这个经济的改变而引起的另一个经济量变化值的比值，也就是对于某个经济量引起另一个经济量变化的描述。边际分析在经济分析中的应用 （1）边际需求与边际供给 需求函数 在点 p 处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数称为边际需求函数，简称边际需求，称为当价

7、格为时的边际需求，其经济意义为：当价格达到 时，如果价格上涨 一个单位，则需求将相应减少个单位。 供给函数可导（其中 Q 为供给量，P 为商品价格），则其边际 函数称为边际供给函数，简称边际供给，称为当价格为 p0 时的边际供给。其经济意义为：当价格达到 p0 时，如果价格上涨一个单 位，则供给增加 个单位。 （2）边际成本函数 总成本函数 ；平均成本函数 ； 称为边际成本函数, 称为当产量为 Q0 时的边际成本，其经济意义 为：当产量达到 Q0 时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减个单位。 （3）边际收益函数 总收益函数 ，平均收益函数,边际收益函数 ,简称边际收益，称为当商品销售量为

8、 Q0 时的边际收益，经 济意义为：当销售量达到 Q0 时，如果增减一个单位产品，则收益将相应 地增减 个单位。 （4）边际利润函数利润函数 ,平均利润函数 ，边际利润函数 ,称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到 Q0 时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减 个单位。 例 1 某企业每月生产 Q（吨）产品的总成本 C（千元）是产量Q的函数，, 如果每吨产品销售价格3万元，求每月生产15吨、20吨、25吨时的边际利润。 解：每月生产Q吨产品的总收入函数为， 则每月生产15吨、20吨、25吨的边际利润分别为 （千元/吨）；（千元/吨）；（千元/吨）。以上结果表明：当月产量为1

9、5吨时，再增产1吨，利润将增加 1万元；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为25吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。在经济领域当中, 对于一个企业来说,企业要获得更好的发展,不仅需要分析边际成本,而且对于边际收益、边际利润等都需要分析,而这些,都可将所要研究的影响因素进行量化后转变成为数学中的微积分应用 。. 2弹性分析 在经济函数领域中,边际分析是对绝对改变量和绝对变化量的描述。但在现实的经济活动当中,对于函数的相对改变量和相对变化率也是我们所必须研究的,弹性分析就是在经济领域中用来对这两个量的研究方法,研究改变一个经济量会使得另一个经济变量发生改变率的大小就是弹性分

10、析在经济函数中的应用。它主要是体现一个经济变量对另一个经济变量变化的敏感程度。 弹性分析的应用不仅广泛存在于经济活动中,它在现实生活中的应 用也是非常普遍的,弹性可以用来诊释很多经济现象。“弧弹性”和“点弹性”是弹性分析中所用到的两个名词。以下分三种情况讨论分析需求价格弹性的意义。需求函数:需求弹性：=当1时，表示对于该商品来说，目前市场的需求量越来越大，商品需求量的升降幅度更大，当企业出现这个状况时，企业如果将价格适当降低，那么商品的需求量将会增加很多，使公司获得的效益最大。当1时，表示对于该商品来说，目前市场的需求量并没有太大变化，商品的需求量的升降幅度与价格的升降幅度相同。当企业出现这个

11、状况时表示不管企业将商品的价格降低或上提，对于企业来说，公司获得的效益基本是没多大变化的。当1时，表示对于该商品来说，目前市场需求量越来越小，商品的需求量的升降幅度要比价格的升降幅度小，当企业出现这个状况时，企业应该考虑将价格提升，价格的升高虽然会导致需求量的减少，但需求量的减少幅度要比价格上涨的幅度小，因此，企业还是可以获得更大效益的。对于需求函数 (或 )，由于价格上涨时，商品的需求函数 (或 )为单调减少函数，与 异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为。 例 4 设某商品的需求函数为 Q=e ，求(1)需求弹性函数；(2)时的需求弹性。 解： ； ，说明当 P=2 时，价格上涨 1

12、%，需求只减少 0.4%，需求 变动的幅度小于价格变动的幅度。 ，说明当 P=5 时，价格上涨 1%，需求也减少 1%，价格与需 求变动的幅度相同。 ，说明当 P=8 时，价格上涨 1%，需求减少 1.6%，需求变 动的幅度大于价格变动的幅度。 3 最值分析 在平时的经济工作中,企业总是要考虑关于怎么样才能最节省材料、怎么样才能达到最大容量、怎么样才能使得企业的生产及销售成本降到最低、怎么样才能产生更高的效益、怎么样才能让企业利润达到最大化等众多问题,像这类经济问题都可以将其量化到数学上来,在数学上,这些经济问题的解决就相当于对最大值、最小值的求解。利用函数可将一个经济变量用另一个经济变量来表

13、示,这样我们就可以得出这个经济函数的最大值以及最小值会在什么时候出现。在对经济领域中的最值的求解,我们需要用到对于微积分来说比较重要的一个概念一导数来要进行计算。下面就用例子来说明最值的求解。例:若( 元/台)表示公司某个产品的边际成本,该产品的固定成本是20元 ,产品的边际收人为 ,求利润最大时的产量解:令 因驻点是唯一的,而且利润有最大值所以此驻点x=100一定是利润最大值的点 4 积分在经济学中的应用 在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积 分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变 量，则采用定积分来解决。 例 5 设生产 x 个产品的边际成本

14、 ，其固定成本为 元，产品单价规定为 5000元。假设产销平衡，问生产量为多少时利润最大，并求出最大利润。 解:总成本函数为 总收益函数为 总利润 ，令 ，得 ， 因为 。所以，生产量为 200 单位时，利润最大。最大利润为 （元）。 在这里我们应用了定积分，分析出利润最大，并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量，才能取得最大的利润。综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌

15、握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。 6微分方程在经济分析中的应用 微分方程在经济数量分析、特别在动态经济模型中十分有用, 列举经济中的实例, 着重讨论其经济数量关系.例 3 设某商品的需求价格弹性 (t为常数 ),试求该商品的需求函数 .解：根据需求价格弹性的定义 , 可得微分方程这显然是一阶可分离变量微分方程, 将变量分离为两边同时积分 , 因此 . 这就是所求的需求函数.小结 在经济管理中，导数在经济学中的应用可以说是最广泛的，因为在经济学中很多函数：价格函数、需求函数、成本函数、收益函数、利润函数、还有像边际问题、弹性问题。这些十分重要的函数，里面都有导数的应用问题

16、。还有就是在极限的概念基础上面，很多经济学的知识也是得到很大的解决的。微积分在经济学中的作用是十分的重要，对于一个企业经营者来说，对经济环节进行定量分析是十分必要的，数学是一个有力的定量分析工具可以提供客观、精确的数据。可以给策划者准确而且正确的思路去进行经济活动也是数学应用性的具体体现。微积分导致了微观经济学的形成。各种微积分方法以个体经济活动为出发点，以需求、供给为重心，强调主观心理评价，导致了以“个量分析”为特征，以市场和价格机制为研究中心的微观经济学的诞生。微观经济学正是研究市场和价格机制如何解决三大基本经济问题，探索消费者如何得到最大满足，生产者如何得到最大利润，生产资源如何得到最优分配的规律。因此，在当今国内外，越来越多地应用微积分知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。3 研究结论与展望 本文对于微积分在经济学当中的应用实例只是微积分经济应用的一小部分 , 即使是这么一小部分的应用,我们还是可以看出, 微积分对于经济学研究分析及 经济学的数学化 、定量化起到了很大的作用。但微积分对于在经济学研究中的作用远不止这些。在高等数学的所有内容当中不仅仅只有积分,高等数学还包 括偏导数的微分方程、对数学模型 的建立、精算最 优化以及很多几何方面的问题等,像这些方法目前正运用实际的经济学研究分析当中。数学在经济学当中的应用使得经济学中的很多抽象