圆的知识点总结.docx

1、优质参考文档一圆的有关性质知识归纳1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的 外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴， 圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。3. 圆确实定不在同一条直线上的三点确定一个圆。4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论11平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所

2、对的两条弧；2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个， 就可推出另外三个：过圆心；垂直于弦；平分弦不是直径；平分弦所对的优弧；平分弦所对的 劣弧。推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦 的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此定理和推论可以理解成：在同圆或等

3、圆中，满足下面四个条件中的任何一个 就能推出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相 等；两个圆心角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 弧也相等；推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角 形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 探8.轨迹

4、轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。1平面内，至V定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心， 定长为半径的圆；(2) 平面内，和线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂 直平分线；(3) 平面内，至V角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 例题分析半径0M丄弦AB于点N 。假设AB =图1迥 ON = 1，求MN的长;优质参考文档假设半径 0M = R,/AOB = 120 ，求MN 的长。 解： VAB = 2启，半径 0M 丄 AB ,：AN = BN VON = 1，由勾股定理得0A = 2MN = 0M ON = 0A ON = 1

5、 V半径 0M 丄AB，且 ZAOB = 120 ：AOM = 60 vON = OA cos ZAON = OM cos60 =MN=OM-Q1T=R-R=-R2 2说明：如图1，一般地，假设ZAOB = 2n,0M 丄 AB 于 N，AO = R，ON = h，那么 AB = 2Rsinn例2.:=htann =如图2，在ABC 中, ZACB = 90。，启=25。，以点C为圆心、AC为半径作。C,交AB于点D，求的度数。分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关； 弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考0解法一：用垂径定理求

6、如图 点F。c2 1，过点C作CE丄AB于点E,交于又 v/ACB = 90。，启=25 ,AFCA = 25 nn肿的度数为25 ,。的度数为50 o解法二：用圆周角求如图2 2，延长AC交。C于点E，连结EDAE 是直径，：ZADE = 90 vzACB = 90。，启=25 ，养/B = 25 c的度数为50 o解法三：用圆心角求如图2 3，连结CDvzACB = 90。，启=25A = 65 CA = CD , aZADC =ZA = 65 ozACD = 50。，苗 的度数为 50 。例3.：如图3 , KBC内接于。O且AB = AC ,00的半径等于6cm , O点到BC的距离0

7、D等于2cm，求AB的长。析：因为不知道/ A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能 在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：1假假设/A是锐角，AABC是锐角三角形。如图3，由AB = AC，可c知点A是优弧的中点，因为0D丄BC且AB = AC ,根据垂径定理推论可知， D0的延长线必过点A，连结B0B0 = 6 , 0D = 2-.在 Rt ADB 中，AD = D0 + A0 = 6 + 2 = 8图3图3 13-1添加辅助线及求出2 假设/A是钝角，那么ABC是钝角三角形，如图、,在 Rt ADB 中，AD = A0 D0 = 6 2 = 4AB二4十=肿十= 4占

8、切综上所述 AB = 乩辰胸或月=取民伙小结：但凡与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定 圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。例4.：如图4 , AB是。O的直径，弦CD丄AB , F是CD延长线上一点, AF 交O O 于 E。求证：AE EF= EC ED分析：求证的等积式 AE EF= EC ED中，有两条线段EF、ED在生DF中，另 两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线 AC,设法证明厶FEDs/CEA即可。证明：连结AC四边形DEAC内接于圆/FDECAE，/FED = /DCAn n直径 AB 丄 CD，.DA = AC/

9、DCA =ZCEA，a/FED=ZCEAED sJceADE _ EF-l：，AAE EF= EC ED小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在条件中明确给出的，而是隐 含在图形之中，在分析条件时，千万不要忽略这一重要条件。例5.：如图5，AM是。O的直径，过。O上一点B作BN丄AM，垂足 为N，其延长线交O O于点C，弦CD交AM于点E。图5(1) 如果CD丄AB，求证：EN = NM ;(2) 如果弦CD交AB于点F,且CD = AB，求证CE2 = EF ED;(3) 如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F,且CD = AB , 那么(2)的结论是否仍成立？假设成立，请证明；假

10、设不成立，请说明理由。证明：(1)连结BM (如图5 1)图5 1AM 是直径，：ZABM = 90 CD 丄AB，ABM /CD/ECN =/MBN，又 AM 丄 BC,：CN = BNRt MEN 李t 注MN，AEN = NM(2)连结 BD，BE，AC (如图 5 2)A点E是BC垂直平分线KICD = AB，图5 2BE=EC占八， zACD =/BDC，又 AB = AC，AE = AE ZABE 也zACE，AzABE = /ACD =/BDC /BED 是公共角 BED sZEBBE2 = EF ED，ACE2 = EF ED(3 )结论成立。如图5 3图5 3证明：仿2可证A

11、BE也ACEBE= CE,且/ABE = /ACEn n又 VAB = CD , .AB=CDzACB =/DBC , ABD /AC/BDE + /ACE = 180 而/FBE +ZABE = 180 zBDE = /FBE，而/BED是公共角 AED sAEBBE切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质(1) 圆的切线垂直于经过切点的半径；(2) 推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(3) 推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 = EF ED , ACE2 = EF ED二直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交公共

12、点的个数012公共点名称无切点交占八、直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系a r此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：垂直 于切线；经过切点；经过圆心。4. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。5. 弦切角定理1 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；2推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；3弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。6. 和圆有关的比例线段1 相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；2推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比

13、例中项；3切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项；4推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等。7. 三角形的内切圆1有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形 的内切圆、圆的外切多边形；2 作图：作一个圆，使它和三角形的各边都相切。例题分析例6.：如图6，AB是。O的直径，C是AB延长线上一点，CG切。O于 D，求证：/CDB =/EDB。图6 1图6 2图6 3(1 )直径上的圆周角是直角。假设连结 AD，那么得Rt KBD ;(2) 垂径定理。如图6 2，假设延长DE交。O于F,那么

14、可得DE = EF,n n n nEH、AD = A；(3) 过直径外端的切线与直径垂直。如图6 3，假设过B点作。O的切线BM , 那么AB丄BM。由CD是。O的切线，联想到切线的三个性质：(1) 过切点的半径垂直于切线。如图 6 1，假设连结0D，贝U OD丄CD ;(2) 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。假设连结 AD，那么ZCDB = /A ;(3) 切割线定理。如图6，CD2 = CB CA。由DE丄AB于E,联想到以下一些性质：(1) Rt ADEB 中两锐角互余，即/ EDB + /EBD = 90 ;(2) 垂径定理。如图6 2，只要延长DE交。0于F,那么可得到相等的线段， 相等的弧；(3) 构造与射影定理相关的根本图形。即连结 AD，那么可得到 ADB是直角 三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可 运用射影定理、勾股定理、面积公式等。证明：连结 AD，如图6 , VAB是直径