21.2.2-一元二次方程的解法-公式法

1、2021/3/271 2021/3/272 对于方程对于方程 2 00axbxca（）. （2）方程两边同除以）方程两边同除以a,得得. （1 1）将常数项移到方程的左边）将常数项移到方程的左边, ,得得. . （3 3）方程两边同时加上）方程两边同时加上_, ,得得 左边写成完全平方式左边写成完全平方式, ,右边通分右边通分, ,得得 2 axbxc 2 bc xx aa 2 () 2 b a 222 ()() . 22 bbcb xx aaaa 2 2 2 4 (). 24 bbac x aa （4 4）开平方）开平方 用配方法解用配方法解2 00axbx ca （） . 2021/3/2

2、73 2 2 2 4 (). 24 bbac x aa a0, 4a20, 2 2 4 0, 4 bac a 2 4 . 22 bbac x aa 2 4 . 2 bbac x a 22 12 44 ,. 22 bbacbbac xx aa 当当b24ac0时时, 特别提醒特别提醒 推导时必须推导时必须 写写 2021/3/274 2 40bac 2 4bac 一元二次方程一元二次方程 2 0(0)axbxca 解的情况由解的情况由决定决定: : (1) 当当 时时, 方程有两个方程有两个 不相等不相等的实数根的实数根; ; 2 40bac (2) 当 当时时, 方程有两个方程有两个 相等相等

3、的实数根的实数根; ; 2 40bac (3) 当 当时时, 方程方程没有没有实数根实数根. . 根的判别式根的判别式 2021/3/275 一元二次方程一元二次方程 2 0 (0)axbxca. 的根由方程的系数的根由方程的系数a,b,c确定确定 2 40bac 2 4 2 bbac x a 将将a,b,c代入式子代入式子当当 解一元二次方程时解一元二次方程时,可以可以先先将方程将方程化化为一般形式为一般形式 由求根公式可知由求根公式可知,一元二次方程最多有一元二次方程最多有两两个实数根个实数根 一元二次方程的一元二次方程的 求根公式求根公式 利用它解一元二次方程的方法叫做利用它解一元二次方

4、程的方法叫做公式法公式法, 时时, 2021/3/276 例例1.用公式法解方程用公式法解方程2x2+5x-3=0 解解: a=2, b=5, c= -3, b2-4ac=52-42(-3)=49 1、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。 并写出并写出a,b,c的值。的值。 2、求出、求出b2-4ac的值。的值。 x = = = 即即 x1= - 3 , 用公式法解一元二次方用公式法解一元二次方 程的一般步骤程的一般步骤: 求根公式求根公式 : X= 4、写出方程的解、写出方程的解: x1=?, x2=? 3、代入、代入求根公式求根公式 : X= (a0, b2-4ac0) (a0, b

5、2-4ac0) x2= 2021/3/277 填空:用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解:a=:a= ,b=,b= ,c =,c = . . b b2 2-4ac=-4ac= = = . . x= x= = = . . = = . . 即 x x1 1 = = , x, x2 2 = = . . 3 35 5 -2-2 5 52 2-4-43 3(-2)(-2)4949 -2-2 求根公式求根公式 : X= 1.1.用公式法解下列方程用公式法解下列方程: : (1) x(1) x2 2 +2x =5 +2x =5 (a0, b2-4ac0) 61 2 242 0242044 5, 2, 1

6、 052: 2 2 x acb cba xx 解 61, 61 21 xx 2021/3/278 例2 用公式法解方程: x x2 2 x - =0 x - =0 解:方程两边同乘以3 3, , 得 2 x2 x2 2 -3x-2=0 -3x-2=0 x= x= 即 x1=2, x2= - 例3 用公式法解方程： x x2 2 +3 = 2 x +3 = 2 x 解:移项,得 x2 2 -2 x+3 = 0 -2 x+3 = 0 a=1,b=-2 ,c=3a=1,b=-2 ,c=3 b b2 2-4ac=(-2 -4ac=(-2 ) )2 2-4-41 13=03=0 x=x= x x1 1

7、= x = x2 2 = = = = = = = = 当当 时时,一元一元 二次方程有两个相等的二次方程有两个相等的 实数根。实数根。 b2-4ac=0 a=2,b= -3,c= -2. b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25. 2021/3/279 2.用公式法解下列方程用公式法解下列方程: (4)(4)4x4x2 2-3x+2=0-3x+2=00 2 1 2)3( 2 xx 0224 2 1 ,2, : 2 acb cba 解 . 2 2 21 xx 2 02 2 0)2( x 0233294 2, 3, 4 : 2 acb cba 解 .方程没有实数根 当当 时时,一元一元 二次

8、方程没有实数根。二次方程没有实数根。 b2-4ac0 2021/3/2710 解解:去括号去括号,化简为一般式化简为一般式: 2 4 2 bbac x a 例例4 解方程：解方程： 2136xx 2 3780 xx 这里这里3a 、 b b= =- -7 7、 c c= =8 8 22 474 3 8 4996470 bac - - （） 方程没有实数解。方程没有实数解。 2021/3/2711 用公式法解一元二次方程的一般步骤用公式法解一元二次方程的一般步骤: 2 4 2 bbac x a 3、代入求根公式、代入求根公式 : 2、求出、求出 的值，的值， 2 4bac 1、把方程化成一般形式

9、，并写出、把方程化成一般形式，并写出 的值。的值。a b、 c c 4、写出方程的解：、写出方程的解： 12 xx、 特别注意特别注意:当当 时时,方程无实数解方程无实数解; 2 40bac .,04 2 根一元二次方程才有实数时当 acb 2021/3/2712 3、练习、练习:用公式法解方程用公式法解方程: x2 2 - 2 x+2= 0. 1、方程、方程3 x x2 2 +1=2 x +1=2 x中中, , b2-4ac= . 2、若关于、若关于x的方程的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根有两个相等的实数根,则则n= . 动手试一试吧！动手试一试吧！ 0 -1或或4 08

10、84 2,22, 1 : 2 acb cba 解 . 2 21 xx 2 022 2 0)22( x 2021/3/2713 1、 m取什么值时取什么值时,方程方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有有 两个相等的实数解两个相等的实数解 思考题思考题 174164144 )4(4)12(4 ,4, 12, 1: 22 222 2 mmmm mmacb mcmba解 . 4 17 ,0174mm得由 . , 04, 4 17 2 实数解则原方程有两个相等的 时当acbm 2021/3/2714 思考题思考题 2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)。 当当a,

11、b,c 满足什么条件时满足什么条件时,方程的两根为互为相反数方程的两根为互为相反数? ; 2 4 , 2 4 :,04, 0: 2 2 2 1 2 a acbb x a acbb x acba 方程的根为时当解 , 21 xx又 .,0, 0数原方程的两根互为相反时当acb , 2 4 2 4 22 a acbb a acbb , 2 4 2 4 22 a acbb a acbb 即, 0, 0acb此时 2021/3/2715 本节课我有哪些收获本节课我有哪些收获? ? 我认为本节课的重点是什么我认为本节课的重点是什么? ? 想一想想一想 记一记记一记 问一问问一问 我还有哪些疑点我还有哪些

12、疑点? ? 课课 下下 可可 要要 多多 交交 流流 呦呦! 解一元二次方程时应先化 为一般形式，然后利用公 式法求得方程的根.这是解 一元二次方程的通法. 用公式法解一元二次方 程时,必须把方程化为一 般形式才能正确确定出 a、 b、c.在代入公式求解前, 要先计算b2- 4 a c的值. 2021/3/2716 我们把我们把b2-4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的根的判别式的根的判别式,通常用表示通常用表示. 总结提高 判别式定理判别式定理 当当b2-4ac0时时,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 当当b2-4ac=0时时,方程有两个相等

13、的实数根方程有两个相等的实数根 当当b2-4ac0时时,方程没有实数根方程没有实数根 当当b2-4ac0时时,方程有两个实数根方程有两个实数根 2021/3/2717 若方程有两个若方程有两个 不相等的实数根不相等的实数根,则则b2-4ac0 总结提高 判别式逆定理判别式逆定理 若方程有两个若方程有两个 相等的实数根相等的实数根,则则b2-4ac=0 若方程没有实数根若方程没有实数根,则则b2-4ac0 若方程有两个若方程有两个 实数根实数根,则则b2-4ac0 2021/3/2718 即一元二次方程即一元二次方程: 2 00axbxca 当当 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相

14、等的实数根；0 当当 时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；0 当当 时，方程没有实数根。时，方程没有实数根。0 反过来，有反过来，有 当方程有两个不相等的实数根时，当方程有两个不相等的实数根时， ；0 当方程有两个相等的实数根，当方程有两个相等的实数根， ；0 当方程没有实数根，当方程没有实数根， 。 0 记住了记住了,别别 忘了忘了! 2021/3/2719 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 acb4 2 两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实数根无实数根 （1） （2） （3） 0 =0 0 （4） 0 0 两个实数根两个实数根 两个不

15、相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实数根无实数根 （1） （2） （3） （4） 2021/3/2720 要点、考点要点、考点 1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况根的情况: : (1)(1)当当0 0时时, ,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根; ; (2)(2)当当=0=0时时, ,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根; ; (3)(3)当当0 0时时, ,方程无实数根方程无实数根. . (4)(4)当当00时，方程有两个实数根时，方程有两个实数根 2.2.根据根的情况根据根的情况, ,也

16、可以逆推出也可以逆推出的情况的情况, ,这方面这方面 的知识主要用来求字母取值范围等问题的知识主要用来求字母取值范围等问题. . 1.1.求判别式时求判别式时, ,应该先将方程化为一般形式应该先将方程化为一般形式. . 2.2.应用判别式解决有关问题时应用判别式解决有关问题时, ,前提条件为前提条件为 “方程是一元二次方程方程是一元二次方程”, ,即二次项系数不为即二次项系数不为0.0. 2021/3/2721 应用应用1. 不解方程判断方程根的情况不解方程判断方程根的情况: (1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数为常数) (2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数为常数

17、) =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2 解解:=4 k2-16k+16 0方程有两个不等实根方程有两个不等实根 解解:=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4 0方程有实根方程有实根 含有字母系数时含有字母系数时,将将配方后判断配方后判断 2021/3/2722 1 1、不解方程、不解方程, ,判断根的情况判断根的情况. . (1)2x2- -4x- -5=0; (2)x2-(m+1)x+m=0. 22 4( 4)4 2 ( 5)bac =56 0 方程有两个不相等的实数根; 2 2 4(1)4 1bacmm 2 214mmm 2 (1)m 当当m- -1=0

18、时时, 0 方程有两个相等的实数根; 方程有两个不相等的实数根; 当当m- -10时时, 解: 解: 2021/3/2723 (1)、若关于、若关于x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有有 两个实数根两个实数根,则则m的取值范围是的取值范围是 （ ） A 、 m 0 B 、 m 0 C 、 m 0 且且m1 D m 0且且m1 解:由题意,得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0 解之得,m0且m1,故应选D D 应用应用2:根据方程根的情况判断某一字母取值范围根据方程根的情况判断某一字母取值范围 2021/3/2724 (3) m为何值时为何值时,关于关于x的一元

19、二次方程的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根有两个不等实根? 解解:=(2m+1)2-4m2 =4m+1 若方程有两个不等实根若方程有两个不等实根,则则 0 4m+1 0 mm -1/4-1/4 对吗? mm - 1/4 - 1/4 且且m0m0 注意二次注意二次 项系数项系数 2021/3/2725 2 2、根据方程根的情况、根据方程根的情况, ,确定待定系数的取值范围确定待定系数的取值范围. . 例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根. 解: 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根. k0, 2 40bac 又 22 4( 2)43back =

20、 4- -12k 4- -12k 0,解得 当 当方程有实数根. 1 3 k 且且k0 时时, 1 3 k 2021/3/2726 问题三问题三 求证:不论m取何值,关于x的一元二次方程9x2- （m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根 证明:=-（m+7）2-49（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36 不论m取何值,均有（m-11）20 （m-11）2+360,即0 不论m取何值,方程都有两个不相等的实数根 小结:将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的 形式 2021/3/2727 3 3、证明字母系数方程有实数根或无实数根

21、、证明字母系数方程有实数根或无实数根 例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0 有两个不相等的实数根. 把判别式配方 解: 2 2 4(5)4 2 (1)bacmm 2 102588mmm 2 217mm 2 (1)16m0 方程有两个不相等的实数根; 2021/3/2728 问题问题四四:解含有字母系数的方程。解含有字母系数的方程。 550 x 解: 当当a=0时时,-5x+1=0 x=1. 当当a0时时,方程为一元二次方程方程为一元二次方程. 2021/3/2729 相信自己一定行相信自己一定行! ! 2 (32)220(0)mxmxmm( (2008年北京市年北京市) )已知已知 :

22、 :关于关于 的一元二次方程的一元二次方程 (1)(1)求证求证: :方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根; ; 2021/3/2730 【例例5】 已知已知:a、b、c是是ABC的三边的三边,若方程若方程 有两个等根有两个等根,试判断试判断ABC的形状的形状. 解解:利用利用 0,得出得出a=b=c. ABC为等边三角形为等边三角形. 典型例题解析典型例题解析 2021/3/2731 例例6.一元二次方程一元二次方程 有有两个两个实数根实数根,则则m的取值范围是的取值范围是 _ 0221 2 mmxxm 2142 2 mmm解 8444 22 mmm 84m02m 101mm即又

23、 12mm且 变 2021/3/2732 2、选择题、选择题（请用最快的速度请用最快的速度,把把“有两个实数根有两个实数根”的方程的方程 和和“没有实数根没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）的方程的序号选入相应的括号内） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2 80 x 2 10 xx 2 10 xx 2 230 xx 有两个实数根有两个实数根的方程的序号是（的方程的序号是（ ） 没有实数根没有实数根的方程的序号是（的方程的序号是（ ）（5）（3）（2） （6）（4）（1） 任何一个一元二次方程或者有任何一个一元二次方程或者有 两个实数根或者没有实数根两个实数根或者没有实数根

24、 a、c异号异号,一元二次方程有一元二次方程有 两个不相等的实数根两个不相等的实数根 2 90 x 2 230 xx 2021/3/2733 求根公式求根公式 : X= 一、由配方法解一般的一元二一、由配方法解一般的一元二 次方程次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 (a0)(a0) 若若 b b2 2-4ac0-4ac0得得 这是收获的这是收获的 时刻时刻,让我让我 们共享学习们共享学习 的成果的成果 2021/3/2734 这是收获的这是收获的 时刻时刻,让我让我 们共享学习们共享学习 的成果的成果 二、用公式法解一元二次方二、用公式法解一元二次方 程的一般步骤程的一般步骤:

25、 1、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。 并写并写 出出a,b,c的值。的值。 2、求出、求出b2-4ac的值。的值。 3、代入、代入求根公式求根公式 : X= (a0, b2-4ac0) 4、写出方程的解、写出方程的解: x1=?, x2=? 2021/3/2735 这是收获的这是收获的 时刻时刻,让我让我 们共享学习们共享学习 的成果的成果 四、计算一定要四、计算一定要细心细心, ,尤其是计尤其是计 算算b b2 2-4ac-4ac的值和代入公式时的值和代入公式时, ,符符 号号不要弄错。不要弄错。 三三、当、当 b b2 2-4ac=0-4ac=0时时, ,一元二次一元二次 方程

26、有方程有两个相等两个相等的实数根。的实数根。 当当 b b2 2-4ac-4ac0 0时时, ,一元二次一元二次 方程有方程有两个不相等两个不相等的实数根。的实数根。 当当 b b2 2-4ac-4ac0 0时时, ,一元二次一元二次 方程方程没有没有实数根。实数根。 2021/3/2736 1、一元二次方程的一般形式是什么、一元二次方程的一般形式是什么? 2、解一元二次方程有哪四种方法、解一元二次方程有哪四种方法? 一般形式一般形式 缺一次项缺一次项 缺常数项缺常数项 缺一次项及常数项缺一次项及常数项 )0(0 2 acbxax ) 0, 0, 0( 0 2 cbacax ) 0, 0, 0

27、( 0 2 cbabxax )0, 0(0 2 cbaax 公式法是公式法是 由由配方法配方法推导推导 而得到而得到 公式法公式法是解是解 一元二次方程一元二次方程 的的通法通法. . 凡形如凡形如 ax2+c=0 (a0, ac0) 或或 a(x+p)2+q=0 (a0, aq0) 的一元二次方程都可用直接开平方法解的一元二次方程都可用直接开平方法解. 配方法、公式法配方法、公式法适用于适用于所有所有一元二次方程一元二次方程; ; 先把方程的常数项移到方程的右边先把方程的常数项移到方程的右边, ,再把左边配成一再把左边配成一 个完全平方式个完全平方式, ,如果右边是非负数如果右边是非负数,

28、,就可以进一步通过直接开就可以进一步通过直接开 平方法来求出它的解平方法来求出它的解. . 公式法公式法是解一元二次方程的是解一元二次方程的通法通法. . 2021/3/2737 解一元二次方程的方法有哪几种解一元二次方程的方法有哪几种? ?根根 据你学习的体会据你学习的体会, ,谈谈通常你是如何选择谈谈通常你是如何选择 解法的解法的, ,并与同学交流并与同学交流. . 公式法公式法是解一元二次方程的是解一元二次方程的通法通法. . 配方法、公式法配方法、公式法适用于适用于所有所有一元二次方程一元二次方程; ; 因式分解法因式分解法适用于适用于某些某些一元二次方程一元二次方程 开平方法开平方法适用于适用于缺项缺项的的一元二次方程一元二次方程; ; 2021/3/2738 课时训练课时训练 1.一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况的根的情况